Полная производная

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то полная производная от функции F в точке является лучшим линейным приближением вблизи этой точки функции относительно своих аргументов. В отличие от частных производных , полная производная аппроксимирует функцию по всем ее аргументам, а не только по одному. Во многих ситуациях это то же самое, что рассматривать все частные производные одновременно. Термин «полная производная» в основном используется, когда f является функцией нескольких переменных, поскольку, когда f является функцией одной переменной, полная производная совпадает с производной функции. ^{[1] :198–203}

«Полная производная» иногда также используется как синоним производной материала в механике жидкости .

Полная производная как линейная карта [ править ]

Позвольте быть открытым подмножеством . Тогда функция называется ( вполне ) дифференцируемой в точке, если существует линейное преобразование такое, что${\ Displaystyle U \ substeq \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f: U \ rightarrow \ mathbf {R} ^ {m}}$${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle df_{a}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{m}}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.}$

Линейное отображение называется ( общее ) производным или ( общее ) дифференциальными по крайней . Другие обозначения для полной производной включают и . Функция ( полностью ) дифференцируема, если ее полная производная существует в каждой точке ее области определения.${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle D_{a}f}$${\displaystyle Df(a)}$

Концептуально определение полной производной выражает идею, которая является наилучшим линейным приближением к точке . Это можно сделать точным путем количественной оценки ошибки линейного приближения, определяемой с помощью . Для этого напишите${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),}$

где - ошибка приближения. Для того, чтобы сказать , что производная в это равносильно заявлению${\displaystyle \varepsilon (h)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle \varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),}$

где - это небольшое обозначение и указывает, что оно намного меньше, чем as . Полная производная - это единственное линейное преобразование, для которого член ошибки настолько мал, и в этом смысле оно является наилучшим линейным приближением к .${\displaystyle o}$${\displaystyle \varepsilon (h)}$${\displaystyle \lVert h\rVert }$${\displaystyle h\to 0}$${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle f}$

Функция дифференцируема тогда и только тогда, когда каждый из ее компонентов дифференцируем, поэтому при изучении полных производных часто можно работать с одной координатой за раз в кодобласти. Однако то же самое нельзя сказать о координатах в области. Верно, что если дифференцируема в , то каждая частная производная существует в . Обратное неверно: может случиться, что все частные производные at существуют, но не дифференцируемы в . Это означает, что функция очень "грубая" до такой степени, что ее поведение не может быть адекватно описано ее поведением в координатных направлениях. Когда${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbf {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$не так уж и грубо, этого не может быть. Точнее, если все частные производные at существуют и непрерывны в окрестности , то дифференцируема в . Когда это происходит, то, вдобавок, полная производная от является линейным преобразованием, соответствующим матрице Якоби частных производных в этой точке. ^[2]${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$

Полная производная как дифференциальная форма [ править ]

Когда рассматриваемая функция является вещественной, полная производная может быть преобразована с использованием дифференциальных форм . Например, предположим, что это дифференцируемая функция переменных . Полная производная at может быть записана через ее матрицу Якоби, которая в данном случае является матрицей-строкой:${\displaystyle f\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} }$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle df_{a}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),&\cdots &,&{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{pmatrix}}.}$

Из свойства линейной аппроксимации полной производной следует, что если

${\displaystyle \Delta x={\begin{pmatrix}\Delta x_{1},&\cdots &,&\Delta x_{n}\end{pmatrix}}^{T}}$

- небольшой вектор (где означает транспонирование, так что этот вектор является вектором-столбцом), то${\displaystyle T}$

${\displaystyle f(a+\Delta x)-f(a)\approx df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\Delta x_{i}.}$

Эвристически это предполагает, что если есть бесконечно малые приращения в направлениях координат, то${\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}$

${\displaystyle df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)dx_{i}.}$

Фактически, понятие бесконечно малого, которое здесь является чисто символическим, может быть дополнено обширной математической структурой. Методы, такие как теория дифференциальных форм , эффективно давать аналитические и алгебраические описания объектов , как бесконечно малых приращений . Например, он может быть вписан как линейный функционал в векторное пространство . Оценка вектора в измеряет, сколько точек в направлении координаты th. Полная производная представляет собой линейную комбинацию линейных функционалов и, следовательно, сама является линейным функционалом. Оценка измеряет, сколько точек в направлении, определенном на${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle i}$${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle df_{a}(h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$, и это направление - градиент. Эта точка зрения делает полную производную примером внешней производной .

Предположим теперь, что это вектор-функция, то есть . В этом случае компонента из являются вещественными функциями, поэтому они связаны дифференциальными форм . Полная производная объединяет эти формы в один объект и, следовательно, является экземпляром векторной дифференциальной формы .${\displaystyle f}$${\displaystyle f\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{m}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle df_{i}}$${\displaystyle df}$

Цепное правило для общих производных [ править ]

Цепное правило имеет особенно элегантную формулировку в терминах полных производных. Он говорит, что для двух функций и полная производная композита при удовлетворяет${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle d(g\circ f)_{a}=dg_{f(a)}\circ df_{a}.}$

Если полные производные от и отождествляются с их матрицами Якоби, то композиция в правой части является простым умножением матриц. Это чрезвычайно полезно в приложениях, поскольку позволяет учитывать по существу произвольные зависимости между аргументами составной функции.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

Пример: дифференциация с прямыми зависимостями [ править ]

Предположим, что f является функцией двух переменных, x и y . Если эти две переменные независимы, так что область определения f есть , то поведение f можно понять в терминах ее частных производных по направлениям x и y . Однако в некоторых ситуациях x и y могут зависеть. Например, может случиться так, что f ограничивается кривой . В этом случае нас действительно интересует поведение составной функции . Частная производная f по x${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$${\displaystyle y=y(x)}$${\displaystyle f(x,y(x))}$не дает истинной скорости изменения f по отношению к изменению x, потому что изменение x обязательно изменяет y . Однако цепное правило для полной производной учитывает такие зависимости. Напишите . Тогда цепное правило гласит${\displaystyle \gamma (x)=(x,y(x))}$

${\displaystyle d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\circ d\gamma _{x_{0}}.}$

Выражая полную производную с помощью якобианских матриц, получаем:

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {\partial x}{\partial x}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {\partial y}{\partial x}}(x_{0}).}$

Подавив оценку в для удобочитаемости, мы также можем записать это как${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x}}.}$

Это дает простую формулу для производной от через частные производные от и производной от .${\displaystyle f(x,y(x))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y(x)}$

Например, предположим

${\displaystyle f(x,y)=xy.}$

Скорость изменения f по отношению к x обычно является частной производной f по x ; в этом случае,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=y.}$

Однако, если y зависит от x , частная производная не дает истинной скорости изменения f при изменении x, поскольку частная производная предполагает, что y фиксирован. Предположим, мы ограничены линией

${\displaystyle y=x.}$

потом

${\displaystyle f(x,y)=f(x,x)=x^{2},}$

а полная производная f по x равна

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=2x,}$

которая, как мы видим, не равна частной производной . Однако вместо немедленной замены y на x мы также можем использовать цепное правило, как указано выше:${\displaystyle \partial f/\partial x}$

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.}$

Пример: дифференциация с косвенными зависимостями [ править ]

Хотя можно часто выполнять замены для устранения косвенных зависимостей, правило цепочки обеспечивает более эффективный и общий метод. Предположим , это функция времени и переменных, которые сами зависят от времени. Тогда производная по времени равна${\displaystyle L(t,x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.}$

Цепное правило выражает эту производную через частные производные функций и производные по времени :${\displaystyle L}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).}$

Это выражение часто используется в физике для калибровочного преобразования в лагранжиана , как два лагранжианами , которые отличаются только от общей производной по времени в зависимости от времени и обобщенных координат приводят к тем же уравнениям движения. Интересный пример касается разрешения причинности в теории симметрии времени Уиллера – Фейнмана . Оператор в скобках (в последнем выражении выше) также называется оператором полной производной (по ).${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

Например, полная производная от равна${\displaystyle f(x(t),y(t))}$

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.}$

Здесь нет термина, поскольку он не зависит напрямую от независимой переменной .${\displaystyle \partial f/\partial t}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$

Полное дифференциальное уравнение [ править ]

Общее дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение , выраженные в терминах полных производных. Поскольку внешняя производная не содержит координат, в том смысле, что это может иметь технический смысл, такие уравнения являются внутренними и геометрическими .

Приложение к системам уравнений [ править ]

В экономике общая производная обычно возникает в контексте системы уравнений. ^{[1] : pp. 217–220.} Например, простая система спроса и предложения могла бы определять количество q продукта, требуемого как функцию D его цены p и дохода потребителей I , последний является экзогенной переменной , и может указать количество, поставляемое производителями, как функцию S его цены и двух внешних переменных затрат на ресурсы r и w . Полученная система уравнений

${\displaystyle q=D(p,I),}$

${\displaystyle q=S(p,r,w),}$

определяет рыночные равновесные значения переменных p и q . Полная производная от p по r , например, дает знак и величину реакции рыночной цены на экзогенную переменную r . В указанной системе существует всего шесть возможных полных производных, также известных в этом контексте как сравнительные статические производные : dp / dr , dp / dw , dp / dI , dq / dr , dq / dw и${\displaystyle dp/dr}$dq / dI . Полные производные находятся путем полного дифференцирования системы уравнений, деления, скажем, на dr , обработки dq / dr и dp / dr как неизвестных, установления dI = dw = 0 и одновременного решения двух полностью дифференцированных уравнений, обычно следующим образом: используя правило Крамера .

См. Также [ править ]

• Производная Фреше - обобщение полной производной

Ссылки [ править ]

• А.Д. Полянин и В.Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание) , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2 
• Из общей производной thesaurus.maths.org

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Полная производная» . MathWorld .
• Рональд Д. Криз (2007) Представление полных производных скалярных функций двух измерений с использованием приподнятых поверхностей и касательных плоскостей от Технологического института Вирджинии