Крепление манометра

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитостатический потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля.
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер
v т е

В физике из калибровочных теорий , фиксации калибровки (называемый также выбора калибровочных ) обозначает математическую процедуру для преодоления избыточных степеней свободы в полевых переменных. По определению калибровочная теория представляет каждую физически отличную конфигурацию системы как класс эквивалентности подробных конфигураций локального поля. Любые две детализированные конфигурации в одном и том же классе эквивалентности связаны калибровочным преобразованием , эквивалентным сдвигупо нефизическим осям в конфигурационном пространстве. Большинство количественных физических предсказаний калибровочной теории может быть получено только при наличии последовательного рецепта подавления или игнорирования этих нефизических степеней свободы.

Хотя нефизические оси в пространстве детальных конфигураций являются фундаментальным свойством физической модели, специального набора направлений, «перпендикулярных» им, не существует. Следовательно, существует огромная свобода действий при взятии «поперечного сечения», представляющего каждую физическую конфигурацию конкретной подробной конфигурацией (или даже их взвешенным распределением). Разумная установка калибра может значительно упростить вычисления, но становится все труднее по мере того, как физическая модель становится более реалистичной; его применение в квантовой теории поля чревато осложнениями, связанными с перенормировкой , особенно когда вычисления продолжаются до более высоких порядков . Исторически сложилось так, что поисклогически согласованные и вычислительно поддающиеся обработке процедуры фиксации калибровки и попытки продемонстрировать их эквивалентность перед лицом ошеломляющего множества технических трудностей были основным двигателем математической физики с конца девятнадцатого века до наших дней. ^{[ необходима цитата ]}

Свобода измерения [ править ]

Архитипичная калибровочная теория является Хэвисайд - Гиббс формулировкой континуума электродинамики с точкой зрения электромагнитного потенциала , который представлен здесь в пространстве / время асимметричной Хевисайда обозначения. Электрическое поле Е и магнитное поле B из уравнений Максвелла содержат только «физические» степени свободы, в том смысле , что каждая математическая степень свободы в конфигурации электромагнитного поля имеет отдельно измеримый эффект на движениях пробных зарядов в непосредственной близости. Эти переменные "напряженности поля" можно выразить через электрический скалярный потенциал ${\ displaystyle \ varphi}$и магнитный векторный потенциал A через соотношения:

${\ displaystyle {\ mathbf {E}} = - \ nabla \ varphi - {\ frac {\ partial {\ mathbf {A}}} {\ partial t}} \ ,, \ quad {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}.}$

Если преобразование

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {A} + \ nabla \ psi}$

( 1 )

сделано, то B остается неизменным, так как (с тождеством )${\ Displaystyle \ набла \ раз \ набла \ пси = 0}$

${\ displaystyle {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times ({\ mathbf {A}} + \ nabla \ psi) = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}}$.

Однако это преобразование изменяет E согласно

${\displaystyle {\mathbf {E} }=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}-\nabla {\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}=-\nabla \left(\varphi +{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}\right)-{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}}$.

Если другое изменение

${\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}}$

( 2 )

делается то E также остается прежним. Следовательно, поля E и B не изменятся, если взять любую функцию ψ ( r , t ) и одновременно преобразовать A и φ с помощью преобразований ( 1 ) и ( 2 ).

Конкретный выбор скалярного и векторного потенциалов - это калибровка (точнее, калибровочный потенциал ), а скалярная функция ψ, используемая для изменения калибровки, называется калибровочной функцией . Существование произвольного числа калибровочных функций ψ ( r , t ) соответствует калибровочной свободе U (1) этой теории. Крепление калибра может быть выполнено разными способами, некоторые из которых мы покажем ниже.

Хотя о классическом электромагнетизме сейчас часто говорят как о калибровочной теории, изначально он не задумывался в этих терминах. На движение классического точечного заряда влияет только напряженность электрического и магнитного полей в этой точке, а потенциалы можно рассматривать как простое математическое устройство для упрощения некоторых доказательств и расчетов. Только после появления квантовой теории поля нельзя было сказать, что сами потенциалы являются частью физической конфигурации системы. Первым следствием, которое было точно предсказано и экспериментально подтверждено, был эффект Ааронова – Бома , не имеющий классического аналога. Тем не менее, калибровочная свобода в этих теориях все еще верна. Например, эффект Ааронова – Бома зависит от линейного интеграла от A вокруг замкнутого контура, и этот интеграл не изменяется на

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi \,.}$

Фиксация калибровки в неабелевых калибровочных теориях, таких как теория Янга – Миллса и общая теория относительности , - довольно сложная тема; подробнее см. неоднозначность Грибова , призрак Фаддеева – Попова и связка кадров .

Иллюстрация [ править ]

Глядя на цилиндрический стержень, можно определить, закручен ли он? Если стержень имеет идеально цилиндрическую форму, то круговая симметрия поперечного сечения не позволяет определить, скручен он или нет. Однако, если бы по длине стержня была проведена прямая линия, то можно было бы легко сказать, есть ли скручивание, посмотрев на состояние линии. Проведение линии является фиксацией датчика . Проведение линии нарушает симметрию калибра, т. Е. Круговую симметрию U (1) поперечного сечения в каждой точке стержня. Линия эквивалентна калибровочной функции ; это не обязательно должно быть прямым. Практически любая линия является допустимой фиксацией калибра, т. Е. Существует большая свобода калибровки.. Чтобы определить, перекручен ли стержень, нужно сначала узнать калибр. Физические величины, такие как энергия кручения, не зависят от калибровки, т. Е. Калибровочно инвариантны .

Кулоновский калибр [ править ]

Кулоновское датчик (также известный как поперечной калибровке ) используется в квантовой химии и физике конденсированных сред и определяется условием калибровочной (точнее, датчик фиксации состояния)

${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=0\,.}$

Это особенно полезно для «полуклассических» расчетов в квантовой механике, в которых векторный потенциал квантован, а кулоновское взаимодействие - нет.

Кулоновская калибровка обладает рядом свойств:

Датчик Лоренца [ править ]

Датчик Лоренца дается в СИ единицах, путем:

${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}$

и в гауссовых единицах :

${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$

Это можно переписать как:

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$

где это электромагнитный потенциал , ∂ _ц на 4-градиента [ с использованием метрики подпись (+, -, -, -)].${\displaystyle A^{\mu }=\left[\,{\tfrac {1}{c}}\varphi ,\,\mathbf {A} \,\right]}$

Он уникален среди калибровок ограничений в сохранении явной лоренц-инвариантности . Обратите внимание, однако, что эта калибровка была первоначально названа в честь датского физика Людвига Лоренца, а не в честь Хендрика Лоренца ; это часто неправильно написано "датчик Лоренца". (Ни один из них не был первым, кто использовал его в расчетах; он был введен в 1888 году Джорджем Ф. Фитцджеральдом .)

Калибровка Лоренца приводит к следующим неоднородным волновым уравнениям для потенциалов:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\varphi }={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\mathbf {A} }=\mu _{0}\mathbf {J} }$

Из этих уравнений видно, что в отсутствие тока и заряда решения представляют собой потенциалы, которые распространяются со скоростью света.

Калибровка Лоренца в некотором смысле неполна : остается подпространство калибровочных преобразований, которое также может сохранять ограничение. Эти оставшиеся степени свободы соответствуют калибровочным функциям, которые удовлетворяют волновому уравнению

${\displaystyle {\partial ^{2}\psi \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi }$

Эти оставшиеся калибровочные степени свободы распространяются со скоростью света. Чтобы получить полностью фиксированную калибровку, необходимо добавить граничные условия вдоль светового конуса экспериментальной области.

Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца упрощаются до

${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=\mu _{0}j^{\nu }}$

где есть четыре тока .${\displaystyle j^{\nu }=\left[\,c\,\rho ,\,\mathbf {j} \,\right]}$

Два решения этих уравнений для одной и той же токовой конфигурации отличаются решением вакуумного волнового уравнения

${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0}$.

В этой форме ясно, что компоненты потенциала по отдельности удовлетворяют уравнению Клейна – Гордона , и, следовательно, калибровочное условие Лоренца допускает поперечно, продольно и «времяподобные» поляризованные волны в четырехпотенциале. Поперечные поляризации соответствуют классическому излучению, т. Е. Поперечно поляризованным волнам в напряженности поля. Чтобы подавить «нефизические» продольные и временные поляризационные состояния, которые не наблюдаются в экспериментах на классических масштабах расстояний, необходимо также использовать вспомогательные ограничения, известные как тождества Уорда . Классически эти тождества эквивалентны уравнению неразрывности

${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}$.

Многие различия между классической и квантовой электродинамикой можно объяснить той ролью, которую продольная и временная поляризации играют во взаимодействиях между заряженными частицами на микроскопических расстояниях.

¨R _£ , манометры [ править ]

В R _£ , датчики являются обобщением Лоренц калибровочных теорий , применимых к выраженной в терминах принципа действия с плотностью лагранжиана . Вместо того, чтобы фиксировать калибровку путем априорного ограничения калибровочного поля с помощью вспомогательного уравнения, к «физическому» (калибровочно-инвариантному) лагранжиану добавляется член, нарушающий калибровку.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=-{\frac {\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}}{2\xi }}}$

Выбор параметра ξ определяет выбор калибровки. Калибровка Ландау классически эквивалентна Lorenz калибровка: оно получается в пределе • £ ,  → 0 , но отодвигает не принимая этот предел до тех пор , после того , как теория была квантуется. Это улучшает строгость некоторых доказательств существования и эквивалентности. Большинство вычислений в квантовой теории поля проще всего в калибровке Фейнмана – 'Хоофта , в которой ξ = 1 ; некоторые из них более удобны в использовании других калибровок R _ξ , таких как калибровка Йенни ξ = 3 .

Эквивалентная формулировка калибровки R _ξ использует вспомогательное поле , скалярное поле B без независимой динамики:

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=B\,\partial _{\mu }A^{\mu }+{\frac {\xi }{2}}B^{2}}$

Вспомогательное поле, иногда называемое полем Наканиши – Лаутрупа , может быть исключено "завершением квадрата" для получения предыдущей формы. С математической точки зрения вспомогательное поле представляет собой разновидность бозона Голдстоуна , и его использование имеет преимущества при идентификации асимптотических состояний теории и особенно при обобщении за пределы КЭД.

Исторически, использование датчиков R _ξ было значительным техническим достижением в расширении вычислений квантовой электродинамики за пределы однопетлевого порядка . Помимо сохранения явной лоренц-инвариантности , предписание R _ξ нарушает симметрию относительно локальных калибровочных преобразований , сохраняя при этом соотношение функциональных мер любых двух физически различных калибровочных конфигураций . Это позволяет заменять переменныев котором бесконечно малые возмущения вдоль «физических» направлений в конфигурационном пространстве полностью отцепили от тех , по «нефизических» направлениях, что позволяет последним всасываться в физически бессмысленной нормализации этого функционального интеграла . Когда ξ конечно, каждая физическая конфигурация (орбита группы калибровочных преобразований) представлена ​​не одним решением уравнения связи, а гауссовым распределением с центром на экстремуме члена нарушения калибровки. С точки зрения правил Фейнмана теории фиксированной калибровки, это проявляется как вклад в пропагатор фотонов для внутренних линий от виртуальных фотонов нефизическихполяризация .

Фотонный пропагатор, который является мультипликативным фактором, соответствующим внутреннему фотону в разложении диаграммы Фейнмана при расчете КЭД, содержит множитель g _μν, соответствующий метрике Минковского . Разложение этого множителя в виде суммы по поляризациям фотонов включает члены, содержащие все четыре возможные поляризации. Поперечно поляризованное излучение может быть математически выражено как сумма по базису с линейной или круговой поляризацией . Точно так же можно комбинировать продольную и временную калибровочные поляризации для получения «прямой» и «обратной» поляризации; это форма координат светового конусав котором метрика недиагональна. Разложение фактора g _μν по круговой поляризации (спин ± 1) и координатам светового конуса называется суммой спинов . Спиновые суммы могут быть очень полезны как для упрощения выражений, так и для получения физического понимания экспериментальных эффектов, связанных с различными членами в теоретических расчетах.

Ричард Фейнман использовал аргументы примерно в этом направлении в основном для обоснования процедур расчета, которые давали согласованные, конечные и высокоточные результаты для важных наблюдаемых параметров, таких как аномальный магнитный момент электрона. Хотя его аргументам иногда не хватало математической строгости даже по стандартам физиков и приукрашивали такие детали, как вывод тождеств Уорда-Такахаши квантовой теории, его вычисления работали, и Фримен Дайсон вскоре продемонстрировал, что его метод по существу эквивалентен методам Джулиана Швингера. и Син-Итиро Томонага , с которым Фейнман разделил Нобелевскую премию по физике 1965 года .

Прямое и обратное поляризованное излучение можно опустить в асимптотических состояниях квантовой теории поля (см. Тождество Уорда – Такахаши ). По этой причине, а также поскольку их появление в спиновых суммах можно рассматривать как простой математический прием в КЭД (во многом как электромагнитный четырехпотенциал в классической электродинамике), о них часто говорят как о «нефизических». Но в отличие от ограничений на основе калибровочных процедур фиксации выше, R _£ , калибровочные обобщается хорошо неабелевы калибровочных групп , такие как SU (3) из КхДа. Связи между осями физических и нефизических возмущений не исчезают полностью при соответствующей замене переменных; чтобы получить правильные результаты, необходимо учесть нетривиальный якобиан вложения осей калибровочной свободы в пространство детальных конфигураций. Это приводит к явному появлению в диаграммах Фейнмана калибровочных бозонов с прямой и обратной поляризацией, а также к призракам Фаддеева – Попова , которые еще более «нефизичны» в том смысле, что они нарушают теорему спиновой статистики . Связь между этими объектами и причины, по которым они не появляются как частицы в квантовомеханическом смысле, становятся более очевидными в формализме квантования BRST .

Максимальная абелева калибровка [ править ]

В любой неабелевой калибровочной теории любая максимальная абелева калибровка является неполной калибровкой, которая фиксирует калибровочную свободу вне максимальной абелевой подгруппы . Примеры

• Для калибровочной теории SU (2) в D-измерениях максимальная абелева подгруппа является подгруппой U (1). Если выбрать такую, порожденную матрицей Паули σ ₃ , то максимальная абелева калибровка - это та, которая максимизирует функцию

${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}\right]\,,}$

куда

${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\sigma _{a}\,.}$

• Для калибровочной теории SU (3) в D-измерениях максимальная абелева подгруппа является подгруппой U (1) × U (1). Если выбрана калибровка, порожденная матрицами Гелл-Манна λ ₃ и λ ₈ , то максимальная абелева калибровка - это та, которая максимизирует функцию

${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{4}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{5}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{6}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{7}\right)^{2}\right]\,,}$

куда

${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\lambda _{a}}$

Это регулярно применяется в высших алгебрах (групп в алгебрах), например, в алгебре Клиффорда, и так же регулярно.

Менее используемые датчики [ править ]

В литературе появились различные другие датчики, которые могут быть полезны в определенных ситуациях. ^[1]

Калибровка Вейля [ править ]

Датчик Вейля (также известный как гамильтонова или временная калибровка ) является неполным датчик , полученным с помощью выбора

${\displaystyle \varphi =0}$

Он назван в честь Германа Вейля . Он устраняет призрак с отрицательной нормой , лишен явной лоренц-инвариантности и требует продольных фотонов и ограничения на состояния. ^[4]

Многополярный датчик [ править ]

Калибровочное условие мультиполярной калибровки (также известной как линейная калибровка , точечная калибровка или калибровка Пуанкаре (названная в честь Анри Пуанкаре )):

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {A} =0}$.

Это еще одна калибровка, в которой потенциалы могут быть просто выражены через мгновенные поля

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {r} \times \int \limits _{0}^{1}\mathbf {B} (u\mathbf {r} ,t)udu}$

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {r} \cdot \int \limits _{0}^{1}\mathbf {E} (u\mathbf {r} ,t)du.}$

Датчик Фока – Швингера [ править ]

Калибровочное условие калибровки Фока – Швингера (названной в честь Владимира Фока и Джулиана Швингера ; иногда также называется релятивистской калибровкой Пуанкаре ):

${\displaystyle x^{\mu }A_{\mu }=0}$

где x ^μ - четырехвектор положения .

Датчик Дирака [ править ]

Нелинейное калибровочное условие Дирака (названное в честь Поля Дирака ):

${\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=k^{2}}$

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Ландау, Лев ; Лифшиц, Евгений (2007). Классическая теория полей . Амстердам: Эльзевьер Баттерворт Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-2768-9.
• Джексон, JD (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-30932-X.