Угловое ускорение / перемещение / частота / скорость
Ученые
Кеплер
Галилео
Гюйгенс
Ньютон
Хоррокс
Галлей
Даниэль Бернулли
Иоганн Бернулли
Эйлер
д'Аламбер
Clairaut
Лагранж
Лаплас
Гамильтон
Пуассон
Коши
Раут
Liouville
Appell
Гиббс
Купман
фон Нейман
Физический портал
Категория
v
т
е
Гамильтонова механика возникла в 1833 году как переформулировка лагранжевой механики . Введенная сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном , гамильтонова механика заменяет (обобщенные) скорости, используемые в лагранжевой механике, на (обобщенные) импульсы . Обе теории дают интерпретацию классической механики и описывают одни и те же физические явления.
Гамильтонова механика тесно связана с геометрией (в частности, симплектической геометрией и пуассоновскими структурами ) и служит связующим звеном между классической и квантовой механикой .
СОДЕРЖАНИЕ
1 Обзор
1.1 Координаты фазового пространства (p, q) и гамильтониан H
1.2 От уравнения Эйлера-Лагранжа к уравнениям Гамильтона
1.3 От принципа стационарного действия к уравнениям Гамильтона
1.4 Основная физическая интерпретация
2 Пример
3 Вывод уравнений Гамильтона
4 Свойства гамильтониана H
5 Гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле
5.1. Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле.
6 От симплектической геометрии к уравнениям Гамильтона
6.1 Геометрия гамильтоновых систем
6.2 Римановы многообразия
6.3 Субримановы многообразия
6.4 алгебры Пуассона
6.5 Обобщение на квантовую механику через скобку Пуассона
7 См. Также
8 ссылки
9 Дальнейшее чтение
10 Внешние ссылки
Обзор
Координаты фазового пространства (p, q) и гамильтониан H
Позвольте быть механической системой с пространством конфигурации и гладким лагранжианом. Выберите стандартную систему координат на . Величины называются импульсами . (Также обобщенные импульсы , сопряженные импульсы и канонические импульсы ). Для момента времени преобразования Лежандра определяются как отображение , которое мы будем предполагать , чтобы иметь гладкую обратный Для системы с степенями свободы, лагранжевая механика определяет энергетическую функцию
Обратное преобразованию Лежандра превращается в функцию, известную как гамильтониан . Формально,
откуда следует, что
где скорости находятся из ( -мерного) уравнения, которое, по предположению, однозначно разрешимо для ( -мерной) пары , называется координатами фазового пространства . (Также канонические координаты ).
Замечание по терминологии. Некоторые источники определяют преобразование Лежандра как функционал, зависящий от времени.
где, как и раньше, функция удовлетворяет При последнем определении гамильтониан является преобразованием Лежандра лагранжиана
От уравнения Эйлера-Лагранжа к уравнениям Гамильтона
В координатах фазового пространства ( -мерное) уравнение Эйлера-Лагранжа
превращается в уравнения Гамильтона в -мерности
От принципа стационарного действия к уравнениям Гамильтона
Пусть - множество гладких путей, для которых и Функционал действия определяется через
где и (см. выше). Путь является стационарной точкой из (и , следовательно, уравнение движения) , если и только если путь в фазовом пространстве координат удовлетворяет уравнениям Гамильтона.
Основная физическая интерпретация
Простая интерпретация гамильтоновой механики происходит из ее приложения к одномерной системе, состоящей из одной частицы массы m . Значение гамильтониана - это полная энергия системы, то есть сумма кинетической и потенциальной энергии , традиционно обозначаемых T и V соответственно. Здесь р есть импульс мв и д координата пространства. потом
T является функцией только p , в то время как V является функцией только q (т. Е. T и V являются склерономными ).
В этом примере производная импульса p по времени равна силе Ньютона , и поэтому первое уравнение Гамильтона означает, что сила равна отрицательному градиенту потенциальной энергии. Производная q по времени - это скорость, поэтому второе уравнение Гамильтона означает, что скорость частицы равна производной ее кинетической энергии по ее импульсу.
Пример
Основная статья: Сферический маятник
Сферический маятник состоит из массы m, движущейся без трения по поверхности сферы . Единственные силы, действующие на массу, - это реакция сферы и гравитации . Сферические координаты используются для описания положения массы в терминах ( r , θ , φ ), где r фиксировано, r = l .
Сферический маятник : углы и скорости.
Лагранжиан этой системы равен [1]
Таким образом, гамильтониан
куда
а также
В терминах координат и импульсов гамильтониан имеет вид
Уравнения Гамильтона дают временную эволюцию координат и сопряженных импульсов в четырех дифференциальных уравнениях первого порядка:
.
Импульс , соответствующий вертикальной составляющей углового момента , является константой движения. Это следствие вращательной симметрии системы относительно вертикальной оси. Азимут, отсутствующий в гамильтониане, является циклической координатой , что означает сохранение его сопряженного импульса.
Вывод уравнений Гамильтона
Уравнения Гамильтона могут быть получены путем смотреть на то, как полный дифференциал от лагранжиана зависит от времени, обобщенные позиции д я и обобщенные скорости Q I : [2]
Обобщенные импульсы определялись как
Если это подставить в полный дифференциал лагранжиана, получится
Это можно переписать как
что после перестановки приводит к
Член в левой части - это просто гамильтониан, который был определен ранее, поэтому
Также возможно вычислить полный дифференциал гамильтониана H по времени напрямую, аналогично тому, что было проделано с лагранжианом L выше, что дает:
Из двух предыдущих независимых уравнений следует, что их правые части равны между собой. Результат
Поскольку этот расчет был выполнен вне оболочки (т.е. без учета уравнений движения), можно связать соответствующие члены с обеих сторон этого уравнения, чтобы получить:
На оболочке уравнения Лагранжа показывают, что
Перестановка этого дает
Таким образом, уравнения Гамильтона таковы:
Уравнения Гамильтона состоят из 2 n дифференциальных уравнений первого порядка , а уравнения Лагранжа состоят из n уравнений второго порядка. Уравнения Гамильтона обычно не уменьшают сложность нахождения явных решений, но они все же предлагают некоторые преимущества: важные теоретические результаты могут быть получены, потому что координаты и импульсы являются независимыми переменными с почти симметричными ролями.
У уравнений Гамильтона есть еще одно преимущество перед уравнениями Лагранжа: если система имеет симметрию, такую, что координата не входит в гамильтониан, соответствующий импульс сохраняется, и эту координату можно игнорировать в других уравнениях системы. Это эффективно сокращает задачу с n координат до ( n - 1) координат. В рамках лагранжиана результат о сохранении соответствующего импульса по-прежнему следует немедленно, но все обобщенные скорости по-прежнему присутствуют в лагранжиане. Систему уравнений в n координатах еще предстоит решить. [3] Лагранжиан и гамильтониан подходы обеспечивают основу для более глубоких результатов в теории классической механики и для формулировок квантовой механики.
Свойства гамильтониана H
Значение гамильтониана - это полная энергия системы тогда и только тогда, когда функция энергии имеет то же свойство. (См. Определение
на решениях уравнений Гамильтона.
Действительно, и все, кроме последнего члена, отменяется.
не изменяется при точечных преобразованиях , т.е. плавных изменениях пространственных координат. (Следует из инвариантности функции энергии относительно точечных преобразований. Инвариантность можно установить непосредственно).
(См. Вывод уравнений Гамильтона).
(Сравните уравнения Гамильтона и Эйлера-Лагранжа или см. Вывод уравнений Гамильтона).
если и только если
Координата, для которой это верно, называется циклической (или игнорируемой ). Каждая циклическая координата уменьшает число степеней свободы по причинам соответствующий импульс , чтобы быть консервативными, и делает уравнения Гамильтона проще решить.
Гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле
Достаточной иллюстрацией гамильтоновой механики является гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле . В декартовых координатах лагранжиан из нерелятивистской классической частицы в электромагнитном поле (в единицах СИ ):
где q - электрический заряд частицы, φ - электрический скалярный потенциал , а A i - компоненты векторного магнитного потенциала, которые все могут явно зависеть от и .
Этот лагранжиан в сочетании с уравнением Эйлера – Лагранжа дает закон силы Лоренца
и называется минимальной связью .
Следует отметить , что значения скалярного потенциала и векторного потенциала будет меняться в течение калибровочного преобразования , [4] , а сам лагранжиан будет подобрать дополнительные термины , как хорошо; Но дополнительные члены в лагранжиане складываются в полную производную по времени скалярной функции и, следовательно, не изменяют уравнение Эйлера – Лагранжа.
В канонических импульсах задаются следующим образом:
Обратите внимание, что канонические импульсы не являются калибровочно-инвариантными и физически не измеримыми. Однако кинетический импульс :
калибровочно инвариантен и физически измерим.
Гамильтониан, как преобразование Лежандра лагранжиана, поэтому:
Это уравнение часто используется в квантовой механике .
Под калибровочным преобразованием :
где f ( r , t) - любая скалярная функция пространства и времени, вышеупомянутый лагранжиан, канонические импульсы и гамильтоново преобразование, например:
который по-прежнему дает то же уравнение Гамильтона:
В квантовой механике волновая функция также будет подвергаться локальному преобразованию группы U (1) [5] во время калибровочного преобразования, что означает, что все физические результаты должны быть инвариантными относительно локальных преобразований U (1).
Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле
Релятивистский лагранжиан для частицы ( масса покоя и заряд ) определяется по формуле:
Таким образом, канонический импульс частицы равен
то есть сумма кинетического импульса и потенциального импульса.
Решая для скорости, мы получаем
Итак, гамильтониан
Это приводит к уравнению силы (эквивалентному уравнению Эйлера – Лагранжа )
из которого можно вывести
Приведенный выше вывод использует тождество векторного исчисления :
Эквивалентное выражение для гамильтониана как функции релятивистского (кинетического) импульса :
Это имеет то преимущество, что кинетический импульс можно измерить экспериментально, тогда как канонический импульс нельзя. Обратите внимание , что гамильтониан ( полная энергия ) можно рассматривать как сумму релятивистской энергии (кинетический + отдых) , плюс к потенциальной энергии , .
От симплектической геометрии к уравнениям Гамильтона
Геометрия гамильтоновых систем.
Гамильтониан может индуцировать симплектическую структуру на гладком четномерном многообразии M 2 n несколькими различными, но эквивалентными способами, наиболее известными из которых являются следующие: [6]
Как замкнутая невырожденная симплектическая 2-форма ω. Согласно теореме Дарбу , в небольшой окрестности любой точки на M в подходящих локальных координатах существует симплектическая форма
Тогда локальные координаты p , q называются каноническими или симплектическими .
Форма позволяет построить естественный изоморфизм в касательном пространстве и кокасательное пространство Это делается путем сопоставления вектора к 1-форме , где для произвольной связи с билинейностью и невырожденностью и тем фактом , что отображение действительно линейный изоморфизм . Этот изоморфизм естественен в том смысле, что он не меняется при изменении координат. Повторяя для каждого, мы получаем изоморфизм между бесконечномерным пространством гладких векторных полей и пространством гладких 1-форм. Для каждого и
(В алгебраических терминах можно было бы сказать, что -модули и изоморфны). Если тогда для каждого фиксированного и называется гамильтоновым векторным полем . Соответствующее дифференциальное уравнение на
называется уравнением Гамильтона . Здесь и - (зависящее от времени) значение векторного поля при
Гамильтонова система может пониматься как расслоение E во времени R , причем слои E t , t ∈ R , являются пространством позиций. Таким образом, лагранжиан является функцией на расслоении струй J над E ; послойное преобразование Лежандра лагранжиана дает функцию на двойственном расслоении с течением времени, слой в точке t которой является кокасательным пространством T ∗ E t , которое имеет естественную симплектическую форму, и эта последняя функция является гамильтонианом. Соответствие между лагранжевой и гамильтоновой механиками достигается с помощью тавтологической одноформы .
Любая гладкая вещественнозначная функция H на симплектическом многообразии может использоваться для определения гамильтоновой системы . Функция H известна как «гамильтониан» или «функция энергии». Тогда симплектическое многообразие называется фазовым пространством . Гамильтониан индуцирует специальное векторное поле на симплектическом многообразии, известное как гамильтоново векторное поле .
Гамильтоново векторное поле индуцирует гамильтонов поток на многообразии. Это однопараметрическое семейство преобразований многообразия (параметр кривых обычно называют «временем»); в Другими словами, изотопии из симплектоморфизмов , начиная с единицы. По теореме Лиувилля каждый симплектоморфизм сохраняет форму объема на фазовом пространстве . Набор симплектоморфизмов, индуцированных гамильтоновым потоком, обычно называют «гамильтоновой механикой» гамильтоновой системы.
Симплектическая структура индуцирует скобку Пуассона . Скобка Пуассона придает пространству функций на многообразии структуру алгебры Ли .
Если F и G - гладкие функции на M, то гладкая функция ω 2 ( IdG , IdF ) определена правильно; она называется скобкой Пуассона функций F и G и обозначается { F , G }. Скобка Пуассона обладает следующими свойствами:
билинейность
антисимметрия
( Правило Лейбница )
( Тождество Якоби )
невырожденность: если точка x на M не является критической для F, то существует гладкая функция G такая, что .
Для функции f
если существует распределение вероятностей , ρ , то (поскольку пространственная фазовая скорость имеет нулевую дивергенцию и вероятность сохраняется), можно показать, что ее конвективная производная равна нулю, и поэтому
Это называется теоремой Лиувилля . Каждая гладкая функция G над симплектическим многообразием порождает однопараметрическое семейство симплектоморфизмов, и если { G , H } = 0 , то G сохраняется и симплектоморфизмы являются преобразованиями симметрии .
Гамильтониан может иметь несколько сохраняющихся величин G i . Если симплектическое многообразие имеет размерность 2 n и существует n функционально независимых сохраняющихся величин G i, находящихся в инволюции (т. Е. { G i , G j } = 0 ), то гамильтониан интегрируем по Лиувиллю . Теорема Лиувилля – Арнольда утверждает, что локально любой интегрируемый по Лиувиллю гамильтониан можно преобразовать с помощью симплектоморфизма в новый гамильтониан с сохраняющимися величинами G i в качестве координат; новые координаты называютсяКоординаты действие-угол . Преобразованный гамильтониан зависит только от G i , поэтому уравнения движения имеют простой вид
для некоторой функции F . [7] Существует целая область, посвященная малым отклонениям от интегрируемых систем, регулируемых теоремой КАМ .
Интегрируемость гамильтоновых векторных полей - открытый вопрос. В общем, гамильтоновы системы хаотичны ; плохо определены понятия меры, полноты, интегрируемости и устойчивости.
Римановы многообразия
Важным частным случаем являются те гамильтонианы, которые являются квадратичными формами , то есть гамильтонианы, которые можно записать как
где ⟨,⟩ q - плавно меняющееся внутреннее произведение на волокнах T∗ qQ , котангенсное пространство к точке q в конфигурационном пространстве , иногда называемое кометрикой. Этот гамильтониан полностью состоит из кинетического члена .
Если рассматривать риманово многообразие или псевдориманово многообразие , риманова метрика индуцирует линейный изоморфизм между касательным и кокасательным расслоениями. (См. Музыкальный изоморфизм ). Используя этот изоморфизм, можно определить кометку. (В координатах матрица, определяющая кометку, является обратной матрицей, определяющей метрику.) Тогда решения уравнений Гамильтона – Якоби для этого гамильтониана будут такими же, как геодезические на многообразии. В частности, гамильтонов поток в этом случае - это то же самое, что геодезический поток. Существование таких решений и полнота множества решений подробно обсуждаются в статье о геодезических . См. Также Геодезические как гамильтоновы потоки .
Субримановы многообразия
Когда комета вырождена, она необратима. В этом случае нет риманова многообразия, как нет метрики. Однако гамильтониан все еще существует. В случае, когда комета вырождена в каждой точке q многообразия конфигурационного пространства Q , так что ранг кометы меньше размерности многообразия Q , получается субриманово многообразие .
Гамильтониан в этом случае известен как субриманов гамильтониан . Каждый такой гамильтониан однозначно определяет комету, и наоборот. Отсюда следует, что каждое субриманово многообразие однозначно определяется своим субримановым гамильтонианом, и что верно обратное: каждое субриманово многообразие имеет единственный субриманов гамильтониан. Существование субримановых геодезических дается теоремой Чоу – Рашевского .
Непрерывная вещественнозначная группа Гейзенберга представляет собой простой пример субриманова многообразия. Для группы Гейзенберга гамильтониан имеет вид
p z не входит в гамильтониан.
Алгебры Пуассона
Гамильтоновы системы можно обобщать по-разному. Вместо того , чтобы просто смотреть на алгебру из гладких функций над симплектическим многообразием , гамильтонова механика может быть сформулирована на общих коммутативных унитальных реальные алгебрах Пуассона . Состояние представляет собой непрерывный линейный функционал на алгебре Пуассона (снабжённым подходящей топологии ), что для любого элемента А алгебры, 2 сопоставляется неотрицательное вещественное число.
Дальнейшее обобщение дает динамика Намбу .
Обобщение на квантовую механику через скобку Пуассона
Приведенные выше уравнения Гамильтона хорошо подходят для классической механики , но не для квантовой механики , поскольку обсуждаемые дифференциальные уравнения предполагают, что можно указать точное положение и импульс частицы одновременно в любой момент времени. Однако уравнения можно далее обобщить, чтобы затем применить к квантовой механике, а также к классической механике, путем деформации алгебры Пуассона над p и q до алгебры скобок Мойала .
В частности, более общая форма уравнения Гамильтона гласит
где f - некоторая функция от p и q , а H - гамильтониан. Чтобы узнать правила вычисления скобки Пуассона, не прибегая к дифференциальным уравнениям, см. Алгебру Ли ; скобка Пуассона - это скобка Ли в алгебре Пуассона . Эти скобки Пуассона затем могут быть расширены до скобок Мойала, составляющих неэквивалентную алгебру Ли, как доказал Хильбранд Дж. Греневольд , и, таким образом, описывают квантово-механическую диффузию в фазовом пространстве (см. Формулировку фазового пространства и преобразование Вигнера-Вейля). Этот более алгебраический подход не только позволяет в конечном итоге расширить вероятностные распределения в фазовом пространстве до квазивероятностных распределений Вигнера , но и в классической постановке простой скобки Пуассона также дает больше возможностей, помогая анализировать соответствующие сохраняющиеся величины в системе.
Смотрите также
Каноническое преобразование
Классическая теория поля
Гамильтонова теория поля
Ковариантная гамильтонова теория поля
Классическая механика
Теория динамических систем
Уравнение Гамильтона – Якоби
Уравнение Гамильтона – Якоби – Эйнштейна.
Лагранжева механика
Уравнения Максвелла
Гамильтониан (квантовая механика)
Квантовые уравнения Гамильтона
Квантовая теория поля
Гамильтонова оптика
Теория де Дондера – Вейля
Геометрическая механика
Рутианская механика
Механика намбу
Гамильтонова механика жидкости
Гамильтоново векторное поле
использованная литература
↑ Ландау и Лифшиц, 1976 , стр. 33–34.
^ Этот вывод соответствует линиям, приведенным в Арнольд 1989 , стр. 65–66.
^ Goldstein, Poole & Safko 2002 , стр. 347-349
^ Srednicki, Марк (январь 2007). Квантовая теория поля . Кембриджское ядро . DOI : 10,1017 / cbo9780511813917 . ISBN 9780511813917. Проверено 8 мая 2020 .
Ландау Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1976). Механика . Курс теоретической физики . 1 . Сайкс, Дж. Б. (Джон Брэдбери), Белл, Дж. С. (3-е изд.). Оксфорд. ISBN 0-08-021022-8. OCLC 2591126 .
Abraham, R .; Марсден, Дж. Э. (1978). Основы механики (2-е изд., Перераб., Англ. И сбросное изд.). Ридинг, Массачусетс: Benjamin / Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-0102-X. OCLC 3516353 .
Арнольд, VI ; Козлов, В.В.; Neĩshtadt, AI (1988). «Математические аспекты классической и небесной механики». Энциклопедия математических наук, динамические системы III . 3 . Аносов, Д.В. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-17002-2. OCLC 16404140 .
Арнольд В.И. (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. OCLC 18681352 .
Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П. Младший; Сафко, Джон Л. (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско: Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-31611-0. OCLC 47056311 .