Ограничение первого класса

Первое ограничение класса является динамической величиной в стесненной гамильтонова системе, скобка Пуассона со всеми другими ограничениями обращается в нуле на поверхности связей в фазовом пространстве (поверхность неявно определяется одновременным исчезновением всех ограничений). Чтобы вычислить ограничение первого класса, предполагается, что ограничений второго класса нет или что они были вычислены ранее и их скобки Дирака сгенерированы. ^[1]

Ограничения первого и второго класса были введены Дираком  ( 1950 , стр. 136, 1964 , стр. 17 ) как способ квантования механических систем, таких как калибровочные теории, в которых симплектическая форма вырождена. ^{[2] [3]}

Терминология ограничений первого и второго класса до степени смешения похожа на терминологию первичных и вторичных ограничений , отражая способ их создания. Эти подразделения независимы: ограничения как первого, так и второго класса могут быть либо первичными, либо вторичными, так что в целом это дает четыре различных класса ограничений.

Скобки Пуассона [ править ]

Рассмотрим пуассоново многообразие M с гладким гамильтонианом над ним (для теорий поля M было бы бесконечномерным).

Предположим, у нас есть ограничения

${\ displaystyle f_ {i} (x) = 0,}$

для n гладких функций

${\ Displaystyle \ {е_ {я} \} _ {я = 1} ^ {п}}$

Они будут определены только в общих чертах. Предположим, что всюду на ограниченном множестве все n производных n функций линейно независимы, а также что скобки Пуассона

${\ Displaystyle \ {е_ {я}, е_ {j} \}}$

и

${\ displaystyle \ {f_ {i}, H \}}$

все обращаются в нуль на ограниченном подпространстве.

Это означает, что мы можем написать

${\ displaystyle \ {f_ {i}, f_ {j} \} = \ sum _ {k} c_ {ij} ^ {k} f_ {k}}$

для некоторых гладких функций - есть теорема, показывающая это; и${\ displaystyle c_ {ij} ^ {k}}$

${\ Displaystyle \ {е_ {я}, Н \} = \ сумма _ {j} v_ {я} ^ {j} е_ {j}}$

для некоторых гладких функций .${\ displaystyle v_ {i} ^ {j}}$

Это можно сделать глобально, используя разделение единицы . Затем мы говорим, что у нас есть неприводимая связь первого класса ( неприводимая здесь в смысле, отличном от того, который используется в теории представлений ).

Геометрическая теория [ править ]

Для более элегантным способом, пусть дано векторное расслоение над , с n - мерного волокна . Одет этот вектор сверток с связью . Предположим также, что у нас есть гладкое сечение f этого пучка.${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle V}$

Тогда ковариантная производная от F по отношению к соединению является гладким линейным отображением из касательного расслоения к , который сохраняет базовую точку . Предположим, что это линейное отображение обратимо справа (т. Е. Существует такое линейное отображение , которое является тождественным отображением ) для всех слоев в нулях f . Тогда согласно теореме о неявной функции подпространство нулей f является подмногообразием .${\ displaystyle \ nabla f}$ ${\displaystyle T{\mathcal {M}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (\Delta f)g}$

Обычная скобка Пуассона определяется только через пространство гладких функций над M . Однако, используя соединение, мы можем распространить его на пространство гладких сечений F , если мы будем работать с алгеброй расслоением с градуированной алгеброй из V тензоров как волокна.${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

Предположим также, что под этой скобкой Пуассона (заметим, что это неверно, вообще говоря, для этой «расширенной скобки Пуассона» больше) и на подмногообразии нулей функции f (если эти скобки также оказываются равными нулю всюду, то мы говорим, что ограничения закрыть оболочку ). Оказывается, правильное условие обратимости и условия коммутативности потоков не зависят от выбора соединения. Таким образом, мы можем разорвать соединение при условии, что мы работаем исключительно с ограниченным подпространством.${\displaystyle \{f,f\}=0}$${\displaystyle \{g,g\}=0}$${\displaystyle \{f,H\}=0}$

Интуитивное значение [ править ]

Что все это значит интуитивно? Это означает, что гамильтониан и поток ограничений коммутируют друг с другом на подпространстве со связями; или, в качестве альтернативы, если мы начнем с точки подпространства с ограничениями, то гамильтониан и потоки ограничений приведут точку к другой точке подпространства с ограничениями.

Поскольку мы хотим ограничиться только ограниченным подпространством, это предполагает, что гамильтониан или любая другая физическая наблюдаемая должна быть определена только на этом подпространстве. Эквивалентно, мы можем посмотреть на класс эквивалентности гладких функций над симплектическим многообразием, которые согласовывают подпространство со связями ( другими словами, фактор-алгебру по идеалу, порожденному f ).

Загвоздка в том, что гамильтоновы потоки в ограниченном подпространстве зависят от градиента гамильтониана в нем, а не от его значения. Но из этого есть простой выход.

Посмотрите на орбиты подпространства со связями под действием симплектических потоков, порожденных f . Это дает локальное слоение подпространства, поскольку оно удовлетворяет условиям интегрируемости ( теорема Фробениуса ). Оказывается, если мы начнем с двух разных точек на одной и той же орбите на ограниченном подпространстве и эволюционируем обе из них под двумя разными гамильтонианами, соответственно, которые согласуются с ограниченным подпространством, то временная эволюция обеих точек под соответствующими гамильтоновыми потоками будет всегда находиться на одной и той же орбите в равное время. Также оказывается, что если у нас есть две гладкие функции A ₁ и B ₁, которые являются постоянными на орбитах, по крайней мере, на ограниченном подпространстве (т.е. физических наблюдаемых) (т.е. {A ₁ , f} = {B ₁ , f} = 0 в ограниченном подпространстве) и еще двух A ₂ и B ₂ , которые являются также постоянны по орбитам, так что A ₁ и B ₁ согласованы с A ₂ и B ₂ соответственно по ограниченному подпространству, то их скобки Пуассона {A ₁ , B ₁ } и {A ₂ , B ₂ } также постоянны по орбитам и согласуются над ограниченным подпространством.

В общем, нельзя исключить « эргодические » потоки (что в основном означает, что орбита плотна в некотором открытом множестве) или «субергодические» потоки (которые представляют собой плотную орбиту в некотором подмногообразии размерности, превышающей размерность орбиты). У нас не может быть самопересекающихся орбит.

Для большинства «практических» приложений ограничений первого класса мы не видим таких сложностей: фактор-пространство ограниченного подпространства по f-потокам (другими словами, пространство орбит) достаточно хорошо ведет себя, чтобы действовать как дифференцируемое многообразие. , которое можно превратить в симплектическое многообразие , проецируя на него симплектическую форму M (можно показать, что это корректно определено ). В свете наблюдений о физических наблюдаемых, упомянутых ранее, мы можем работать с этим более «физическим» меньшим симплектическим многообразием, но с 2n меньшими измерениями.

В общем, с факторным пространством немного сложно работать при выполнении конкретных вычислений (не говоря уже о нелокальности при работе с ограничениями диффеоморфизма ), поэтому вместо этого обычно делается нечто подобное. Заметим, что ограниченное подмногообразие является расслоением (но не расслоением вообще) над фактормногообразием. Таким образом, вместо того, чтобы работать с фактор-многообразием, мы можем работать с частью пакета. Это называется фиксацией калибра .

Главная проблема в том , это расслоение может не иметь глобальный раздел в целом. Вот здесь-то и возникает, например, «проблема» глобальных аномалий . Глобальная аномалия отличается от неоднозначности Грибова , когда фиксация калибровки не работает для однозначной фиксации калибровки, в глобальной аномалии нет согласованного определения калибровочного поля. Глобальная аномалия является препятствием для определения квантовой калибровочной теории, открытой Виттеном в 1980 году.

Описанные неприводимые ограничения первого класса. Еще одна сложность состоит в том, что Δf может не быть обратимым справа на подпространствах ограниченного подмногообразия коразмерности 1 или больше (что нарушает более сильное предположение, сформулированное ранее в этой статье). Это происходит, например, в формулировке котетрада общей теории относительности в подпространстве конфигураций, где поле котетрада и форма связи оказываются равными нулю над некоторым открытым подмножеством пространства. Здесь ограничения являются ограничениями диффеоморфизма.

Один из способов обойти это: для приводимых ограничений мы ослабляем условие правой обратимости Δ f до следующего: любая гладкая функция, которая обращается в нуль в нулях f, является послойным сжатием f с (неединственным ) сгладить сечение -векторных пучка , где является двойным векторным пространством с ограничением векторного пространства V . Это называется условием регулярности .${\displaystyle {\bar {V}}}$${\displaystyle {\bar {V}}}$

Ограниченная гамильтонова динамика из лагранжевой калибровочной теории [ править ]

Прежде всего, мы предположим, что действие является интегралом локального лагранжиана, который зависит только с точностью до первой производной полей. Разбор более общих случаев, пока возможный, более сложен. При переходе к гамильтонову формализму мы обнаруживаем, что существуют ограничения. Напомним, что в формализме действий есть конфигурации как в оболочке, так и вне ее . Ограничения, удерживающие оболочку, называются первичными ограничениями, а ограничения, которые удерживаются только оболочкой, называются вторичными ограничениями.

Примеры [ править ]

Рассмотрим динамику единственной точечной частицы массы m без внутренних степеней свободы, движущейся в псевдоримановом пространственно - временном многообразии S с метрикой g . Предположим также, что параметр τ, описывающий траекторию частицы, произвольный (т.е. мы настаиваем на инвариантности репараметризации ). Тогда его симплектическое пространство - кокасательное расслоение T * S с канонической симплектической формой ω .

Если мы координируем T * S его положением x в базовом многообразии S и его положением в кокасательном пространстве p , то у нас будет ограничение

е = м ² - g ( х ) ^-1 ( р , р ) = 0.

Гамильтониан H , как ни странно, H = 0. В свете наблюдения, что гамильтониан определен только с точностью до класса эквивалентности гладких функций, согласованных с подпространством со связями, мы можем вместо этого использовать новый гамильтониан H '= f . Тогда у нас есть интересный случай, когда гамильтониан совпадает с ограничением! Подробнее см. Гамильтоново ограничение .

Теперь рассмотрим случай теории Янга – Миллса для реальной простой алгебры Ли L (с отрицательно определенной формой Киллинга η ), минимально связанной с вещественным скалярным полем σ , которое преобразуется как ортогональное представление ρ с лежащим в основе векторным пространством V под действием L в ( d - 1) + 1 пространстве-времени Минковского . Для l в L пишем

ρ (l) [σ]

как

l [σ]

для простоты. Пусть A - L -значная связная форма теории. Обратите внимание, что A здесь отличается от A, используемого физиками, в i и g раз . Это согласуется с соглашением математиков.

Действие S задается формулой

${\displaystyle S[\mathbf {A} ,\sigma ]=\int d^{d}x{\frac {1}{4g^{2}}}\eta ((\mathbf {g} ^{-1}\otimes \mathbf {g} ^{-1})(\mathbf {F} ,\mathbf {F} ))+{\frac {1}{2}}\alpha (\mathbf {g} ^{-1}(D\sigma ,D\sigma ))}$

где g - метрика Минковского, F - форма кривизны

${\displaystyle d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

(нет i s или g s!), где второй член является формальным сокращением для притворства, что скобка Ли является коммутатором, D - ковариантная производная

Dσ = dσ - A [σ]

а α - ортогональная форма для ρ .

Какова гамильтонова версия этой модели? Итак, во-первых, мы должны нековариантно разделить A на временную составляющую φ и пространственную часть A → . Тогда в результирующем симплектическом пространстве есть сопряженные переменные σ , π _σ (принимающие значения в лежащем в основе векторном пространстве , двойственном представлении ρ ), A → , π → _A , φ и π _φ . Для каждой пространственной точки у нас есть ограничения π _φ = 0 и ограничение Гаусса${\displaystyle {\bar {\rho }}}$

${\displaystyle {\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}-\rho '(\pi _{\sigma },\sigma )=0}$

где, поскольку ρ - сплетник

${\displaystyle \rho :L\otimes V\rightarrow V}$,

ρ '- дуализированный сплетник

${\displaystyle \rho ':{\bar {V}}\otimes V\rightarrow L}$

( L самодуальна через η ). Гамильтониан,

${\displaystyle H_{f}=\int d^{d-1}x{\frac {1}{2}}\alpha ^{-1}(\pi _{\sigma },\pi _{\sigma })+{\frac {1}{2}}\alpha ({\vec {D}}\sigma \cdot {\vec {D}}\sigma )-{\frac {g^{2}}{2}}\eta ({\vec {\pi }}_{A},{\vec {\pi }}_{A})-{\frac {1}{2g^{2}}}\eta (\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-\eta (\pi _{\phi },f)-<\pi _{\sigma },\phi [\sigma ]>-\eta (\phi ,{\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}).}$

Последние два члена представляют собой линейную комбинацию гауссовских ограничений, и у нас есть целое семейство (калибровочно эквивалентных) гамильтонианов, параметризованных f . Фактически, поскольку последние три члена исчезают для состояний со связями, мы можем их отбросить.

Ограничения второго класса [ править ]

В гамильтоновой системе со связями динамическая величина является второстепенной, если ее скобка Пуассона хотя бы с одним ограничением не равна нулю. Таким образом, ограничение, имеющее ненулевую скобку Пуассона хотя бы с одним другим ограничением, является ограничением второго класса .

См. Различные иллюстрации в скобках Дирака .

Пример: частица, ограниченная сферой [ править ]

Прежде чем перейти к общей теории, рассмотрим шаг за шагом конкретный пример, чтобы мотивировать общий анализ.

Начнем с действия, описывающего ньютоновскую частицу массы m, привязанную к сферической поверхности радиуса R в однородном гравитационном поле g . Когда кто-то работает в механике Лагранжа, есть несколько способов реализовать ограничение: можно переключиться на обобщенные координаты, которые явно решают ограничение, или можно использовать множитель Лагранжа, сохраняя таким образом ограниченные избыточные координаты.

В этом случае частица привязана к сфере, поэтому естественным решением было бы использовать угловые координаты для описания положения частицы вместо декартовых координат и решить (автоматически устранить) ограничение таким образом (первый выбор). Вместо этого из педагогических соображений рассмотрите проблему в (избыточных) декартовых координатах с множителем Лагранжа, обеспечивающим соблюдение ограничения.

Действие дано

${\displaystyle S=\int dtL=\int dt\left[{\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-mgz+{\frac {\lambda }{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2})\right]}$

где последний член - член множителя Лагранжа, обеспечивающий ограничение.

Конечно, как указано, мы могли бы просто использовать другие, неизбыточные сферические координаты и записать их как

${\displaystyle S=\int dt\left[{\frac {mR^{2}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}(\theta ){\dot {\phi }}^{2})+mgR\cos(\theta )\right]}$

вместо этого без дополнительных ограничений; но мы рассматриваем предыдущую координацию, чтобы проиллюстрировать ограничения.

В сопряженных импульсах определяются

${\displaystyle p_{x}=m{\dot {x}}}$, , , .${\displaystyle p_{y}=m{\dot {y}}}$${\displaystyle p_{z}=m{\dot {z}}}$${\displaystyle p_{\lambda }=0}$

Обратите внимание, что мы не можем определить •λ с момента.

Гамильтониан задается

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}{\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-L={\frac {p^{2}}{2m}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})}$.

Мы не можем исключить •λ на данном этапе еще нет. Мы здесь лечим •λ как сокращение для функции симплектического пространства, которое нам еще предстоит определить, а не как независимую переменную. Для согласованности обозначений положим u ₁ = •λ впредь. Вышеупомянутый гамильтониан с членом p _λ является «наивным гамильтонианом». Обратите внимание, что, поскольку ограничение на оболочке должно выполняться, на оболочке невозможно отличить наивный гамильтониан от указанного выше гамильтониана с неопределенным коэффициентом, •λ = u ₁ .

У нас есть основное ограничение

р _λ = 0 .

Из соображений согласованности мы требуем, чтобы скобка Пуассона всех ограничений с гамильтонианом обращалась в нуль на подпространстве со связями. Другими словами, ограничения не должны развиваться во времени, если они собираются тождественно равняться нулю согласно уравнениям движения.

Из этого условия согласованности сразу получаем вторичное ограничение

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\{H,p_{\lambda }\}_{\text{PB}}\\&=\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial q_{i}}}\\&={\frac {\partial H}{\partial \lambda }}\\&={\frac {1}{2}}(r^{2}-R^{2})\\&\Downarrow \\0&=r^{2}-R^{2}\end{aligned}}}$

Это ограничение следует добавить в гамильтониан с неопределенным (не обязательно постоянным) коэффициентом u _2, расширив гамильтониан до

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})~.}$

Точно так же из этого вторичного ограничения мы находим третичное ограничение

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\{H,r^{2}-R^{2}\}_{PB}\\&=\{H,x^{2}\}_{PB}+\{H,y^{2}\}_{PB}+\{H,z^{2}\}_{PB}\\&={\frac {\partial H}{\partial p_{x}}}2x+{\frac {\partial H}{\partial p_{y}}}2y+{\frac {\partial H}{\partial p_{z}}}2z\\&={\frac {2}{m}}(p_{x}x+p_{y}y+p_{z}z)\\&\Downarrow \\0&={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}\end{aligned}}}$

Опять же, нужно добавить это ограничение в гамильтониан, поскольку на оболочке никто не может отличить. Поэтому пока гамильтониан выглядит как

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}~,}$

где u ₁ , u ₂ и u ₃ еще полностью не определены.

Обратите внимание, что часто все ограничения, найденные из условий согласованности, называются вторичными ограничениями, а вторичные, третичные, четвертичные и т. Д. Ограничения не различаются.

Мы продолжаем крутить рукоятку, требуя, чтобы у этого нового ограничения была исчезающая скобка Пуассона.

${\displaystyle 0=\{{\vec {p}}\cdot {\vec {r}},\,H\}_{PB}={\frac {p^{2}}{m}}-mgz+\lambda r^{2}-2u_{2}r^{2}.}$

Мы можем отчаиваться и думать, что этому нет конца, но поскольку появился один из новых множителей Лагранжа, это не новое ограничение, а условие, которое фиксирует множитель Лагранжа:

${\displaystyle u_{2}={\frac {\lambda }{2}}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {1}{2}}mgz\right).}$

Включение этого в наш гамильтониан дает нам (после небольшой алгебры)

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+{\frac {1}{2}}mgz(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+u_{1}p_{\lambda }+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}$

Теперь, когда в гамильтониане появились новые члены, следует вернуться и проверить условия согласованности для первичных и вторичных ограничений. Условие согласованности вторичного ограничения дает

${\displaystyle {\frac {2}{m}}{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}+2u_{3}r^{2}=0.}$

Опять же, это не новое ограничение; это только определяет, что

${\displaystyle u_{3}=-{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}}{mr^{2}}}~.}$

На этом этапе больше нет ограничений или условий согласованности, которые нужно проверять !

Собирая все вместе,

${\displaystyle H=\left(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)mgz-{\frac {({\vec {r}}\cdot {\vec {p}})^{2}}{mr^{2}}}+u_{1}p_{\lambda }}$.

При нахождении уравнений движения следует использовать вышеуказанный гамильтониан, и, если вы будете осторожны, чтобы никогда не использовать ограничения перед взятием производных в скобке Пуассона, тогда вы получите правильные уравнения движения. То есть уравнения движения задаются формулами

${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}=\{{\vec {r}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\vec {p}}}=\{{\vec {p}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\lambda }}=\{\lambda ,\,H\}_{PB},\quad {\dot {p}}_{\lambda }=\{p_{\lambda },H\}_{PB}.}$

Прежде чем анализировать гамильтониан, рассмотрим три ограничения:

${\displaystyle \varphi _{1}=p_{\lambda },\quad \varphi _{2}=r^{2}-R^{2},\quad \varphi _{3}={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}.}$

Обратите внимание на нетривиальную структуру скобок Пуассона ограничений. В частности,

${\displaystyle \{\varphi _{2},\varphi _{3}\}=2r^{2}\neq 0.}$

Вышеупомянутая скобка Пуассона не просто не может исчезнуть вне оболочки, что можно было бы ожидать, но даже в оболочке она не равна нулю . Следовательно, φ ₂ и φ ₃ являются ограничениями второго класса, а φ ₁ - ограничениями первого класса. Обратите внимание, что эти ограничения удовлетворяют условию регулярности.

Здесь у нас есть симплектическое пространство, в котором скобка Пуассона не имеет «хороших свойств» на подпространстве со связями. Однако, Дирак заметил , что мы можем превратить лежащее в основе дифференциального многообразия в симплектическом пространстве в многообразии Пуассона с помощью его одноименной модифицированной скобки, называемого Дирак кронштейн , такой , что этот функции Дирака скобка любого (гладкий) с любым всегда второго родом исчезает .

Фактически, эти скобки (проиллюстрированные для этой сферической поверхности в статье о скобках Дирака ) проецируют систему обратно на поверхность ограничений. Если затем кто-то желает канонически квантовать эту систему, то необходимо преобразовать канонические скобки Дирака ^{[4], а} не канонические скобки Пуассона в коммутационные соотношения.

Исследование указанного гамильтониана показывает, что происходит ряд интересных вещей. Следует отметить, что при выполнении ограничений на оболочке расширенный гамильтониан, как и требуется, идентичен наивному гамильтониану. Также отметим, что λ выпала из расширенного гамильтониана. Поскольку φ ₁ является первичным ограничением первого класса, его следует интерпретировать как генератор калибровочного преобразования. Калибровочная свобода - это свобода выбора λ , которая перестала влиять на динамику частицы. Следовательно, λ выпала из гамильтониана, что u ₁ не определено и что φ ₁ = p _λ первоклассный, все они тесно взаимосвязаны.

Обратите внимание, что было бы более естественным не начинать с лагранжиана с множителем Лагранжа, а вместо этого взять r ² - R ² в качестве основного ограничения и продолжить через формализм: результатом будет исключение посторонней динамической величины λ . Однако в нынешней форме этот пример более поучительный.

Пример: действие Proca [ править ]

Другой пример, который мы будем использовать, - это действие Proca . Поля и действие${\displaystyle A^{\mu }=({\vec {A}},\phi )}$

${\displaystyle S=\int d^{d}xdt\left[{\frac {1}{2}}E^{2}-{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}+{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]}$

куда

${\displaystyle {\vec {E}}\equiv -\nabla \phi -{\dot {\vec {A}}}}$

и

${\displaystyle B_{ij}\equiv {\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}}$.

${\displaystyle ({\vec {A}},-{\vec {E}})}$и являются каноническими переменными . Ограничения второго класса:${\displaystyle (\phi ,\pi )}$

${\displaystyle \pi \approx 0}$

и

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}+m^{2}\phi \approx 0}$.

Гамильтониан задается формулой

${\displaystyle H=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}E^{2}+{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-\pi \nabla \cdot {\vec {A}}+{\vec {E}}\cdot \nabla \phi +{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]}$.

См. Также [ править ]

• Кронштейн Дирака
• Голономное ограничение
• Анализ потоков

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Falck, NK; Хиршфельд, AC (1983). «Квантование Дирака-скобки нелинейной системы со связями: жесткий ротатор». Европейский журнал физики . 4 : 5. Bibcode : 1983EJPh .... 4 .... 5F . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 4/1/003 .
• Homma, T .; Inamoto, T .; Миядзаки, Т. (1990). «Уравнение Шредингера для нерелятивистской частицы, связанной с гиперповерхностью в искривленном пространстве». Physical Review D . 42 (6): 2049. Bibcode : 1990PhRvD..42.2049H . DOI : 10.1103 / PhysRevD.42.2049 .