Раздел единства

В математике , А разбиение единицы в виде топологического пространства X представляет собой набор R из непрерывных функций из X в единичном интервале [0,1], что для каждой точки, , ${\ displaystyle x \ in X}$

существует окрестность от х , где все , но конечного числа функций R равны 0, и
сумма всех значений функции при х = 1, то есть . ${\ Displaystyle \; \ сумма _ {\ rho \ in R} \ rho (x) = 1}$

Разбиение единства круга с четырьмя функциями. Кружок разворачивается до отрезка линии (нижняя сплошная линия) для построения графика. Пунктирная линия сверху - это сумма функций в разделе.

Разбиения на единство полезны тем, что часто позволяют распространить локальные конструкции на все пространство. Они также важны для интерполяции данных, обработки сигналов и теории сплайн-функций .

Существование [ править ]

Существование разделов единства принимает две различные формы:

Для любого открытого покрытия { U _i } _{i ∈ I} пространства существует такое разбиение {ρ _i } _{i ∈ I,} индексированное над тем же множеством I , что supp ρ _i ⊆ U _i . Такое разбиение называется подчиненным открытой крышке { U _i } _i .
Если пространство локально компактно, то для любого открытого покрытия { U _i } _{i ∈ I} пространства существует разбиение {ρ _j } _{j ∈ J,} индексированное над возможно различным индексным множеством J такое, что каждое ρ _j имеет компактный носитель и для каждого J ∈ J , зирр р _J ⊆ U _я для некоторого я ∈ I .

Таким образом, каждый выбирает, чтобы опоры индексировались открытой крышкой, или компактные опоры. Если пространство компактно , то существуют разбиения, удовлетворяющие обоим требованиям.

Конечное открытое покрытие всегда имеет подчиненное непрерывное разбиение единицы, если пространство локально компактно и хаусдорфово. ^[1] Паракомпактность пространства - необходимое условие, гарантирующее существование разбиения единства, подчиненного любому открытому покрытию . В зависимости от категории, к которой принадлежит помещение, это также может быть достаточным условием. ^[2] В конструкции используются смягчители (функции рельефа), которые существуют в непрерывных и гладких многообразиях , но не в аналитических многообразиях . Таким образом, для открытого покрытия аналитического многообразия аналитическое разбиение единицы, подчиненное этому открытому покрытию, обычно не существует.Смотрите аналитическое продолжение .

Если Р и Т разбиения единицы для пространств X и Y , соответственно, то множество всех пар является разбиение единицы для декартово произведение пространства X × Y . Тензорное произведение функций действует как . ${\ Displaystyle \ {\ rho \ otimes \ tau: \ \ rho \ in R, \ \ tau \ in T \}}$ ${\ Displaystyle (\ rho \ otimes \ tau) (x, y) = \ rho (x) \ tau (y)}$

Пример [ править ]

Мы можем построить разделение на единицу , посмотрев на диаграмму дополнения точки, отправляемой в с центром . Теперь позвольте быть функцией выдавливания на, определяемой ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ ${\ displaystyle p \ in S ^ {1}}$ $S^{1}-\{p\}$ $\mathbb {R}$ $q\in S^{1}$ $\Phi$ $\mathbb {R}$

$\Phi (x)={\begin{cases}\exp \left({\frac {1}{x^{2}-1}}\right)&x\in (-1,1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

тогда обе функции и могут быть однозначно расширены путем установки . Тогда множество образует разбиение на единицу . $1-\Phi$ $S^{1}$ $\Phi (p)=0$ $\{(S^{1}-\{p\},\Phi ),(S^{1}-\{q\},1-\Phi )\}$ $S^{1}$

Определения вариантов [ править ]

Иногда используется менее ограничительное определение: сумма всех значений функции в определенной точке должна быть только положительной, а не 1 для каждой точки в пространстве. Однако, имея такой набор функций, можно получить разбиение единицы в строгом смысле слова делением на сумму; разбиение становится где , что хорошо определено, поскольку в каждой точке только конечное число членов отличны от нуля. Более того, некоторые авторы отказываются от требования, чтобы опоры были локально конечными, требуя только этого для всех . ^[3] $\{\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }$ $\{\sigma ^{-1}\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }$ $\sigma (x):=\sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)$ $\sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty$ $x$

Приложения [ править ]

Разбиение единицы может использоваться для определения интеграла (относительно формы объема ) функции, определенной над многообразием: сначала определяется интеграл функции, поддержка которой содержится в единственном координатном фрагменте многообразия; затем используется разбиение единицы для определения интеграла от произвольной функции; наконец, показано, что определение не зависит от выбранного разбиения единицы.

Разбиение единицы можно использовать, чтобы показать существование римановой метрики на произвольном многообразии.

Метод наискорейшего спуска использует разбиение единицы для построения асимптотики интегралов.

Фильтр Линквица – Райли представляет собой пример практической реализации разделения единицы для разделения входного сигнала на два выходных сигнала, содержащих только высокочастотные или низкочастотные компоненты.

Эти многочлены Bernstein фиксированной степени т представляют собой семейство т + 1 линейно независимых многочленов, разбиение единицы для единичного интервала . $[0,1]$

Разделение единицы используется для установления глобальных гладких приближений для функций Соболева в ограниченных областях. ^[4]

См. Также [ править ]

Гладкость § Гладкие разбиения единицы
Аксиома склеивания
Прекрасная связка

Ссылки [ править ]

^ Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 40. ISBN 978-0-07-054234-1.
^ Aliprantis, Charalambos D .; Граница, Ким С. (2007). Бесконечный анализ размерностей: путеводитель автостопом (3-е изд.). Берлин: Springer. п. 716. ISBN 978-3-540-32696-0.
^ Стрихарц, Роберт С. (2003). Справочник по теории распределения и преобразованиям Фурье . Сингапур: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-238-421-9. OCLC 54446554 .
^ Эванс, Лоуренс (2010-03-02), "Пространства Соболева", Дифференциальные уравнения с частными , Graduate Studies по математике, 19 , Американского математического общества, стр 253-309,. Дои : 10,1090 / GSM / 019/05 , ISBN 9780821849743

Ту, Лоринг В. (2011), Введение в многообразия , Universitext (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4419-7400-6 , ISBN 978-1-4419-7399-3, см. главу 13

Внешние ссылки [ править ]

Общая информация о разделении единства на [Mathworld]
Приложения разделения единицы в [Planet Math]

[1] Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 40. ISBN 978-0-07-054234-1.

[2] Aliprantis, Charalambos D .; Граница, Ким С. (2007). Бесконечный анализ размерностей: путеводитель автостопом (3-е изд.). Берлин: Springer. п. 716. ISBN 978-3-540-32696-0.

[3] Стрихарц, Роберт С. (2003). Справочник по теории распределения и преобразованиям Фурье . Сингапур: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-238-421-9. OCLC 54446554 .

[4] Эванс, Лоуренс (2010-03-02), "Пространства Соболева", Дифференциальные уравнения с частными , Graduate Studies по математике, 19 , Американского математического общества, стр 253-309,. Дои : 10,1090 / GSM / 019/05 , ISBN 9780821849743

[1]