Паракомпактное пространство

В математике , паракомпакт является топологическим пространством , в котором каждое открытом покрытии имеет открытое уточнение , которое локально конечен . Эти пространства были введены Дьедонне (1944) . Любое компактное пространство паракомпактно. Каждый паракомпактный хаусдорфовый является нормальным , и хаусдорфовая паракомпактность тогда и только тогда , когда оно допускает разбиение единицы , подчиненных на любую открытую крышку. Иногда паракомпактные пространства определяют так, чтобы они всегда были хаусдорфовы.

Каждое замкнутое подпространство паракомпакта паракомпактно. Хотя компактные подмножества хаусдорфовых пространств всегда замкнуты, это неверно для паракомпактных подмножеств. Пространство, каждое подпространство которого является паракомпактным, называется наследственно паракомпактным . Это эквивалентно требованию, чтобы каждое открытое подпространство было паракомпактным.

Теорема Тихонова (которая утверждает, что произведение любого набора компактных топологических пространств компактно) не обобщается на паракомпактные пространства в том смысле, что произведение паракомпактных пространств не обязательно должно быть паракомпактным. Однако продукт паракомпактного пространства и компактного пространства всегда паракомпактен.

Каждое метрическое пространство паракомпактно. Топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно является паракомпактным и локально метризуемым хаусдорфовым пространством .

Определение [ править ]

Покрытие из множества представляет собой совокупность подмножеств из которых объединение содержит . В символах, если является индексированным семейством подмножеств , то является покрытием, если ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle U = \ {U _ {\ alpha}: \ alpha \ in A \}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle X \ substeq \ bigcup _ {\ alpha \ in A} U _ {\ alpha}.}

Покрытие топологического пространства является открытым, если все его члены являются открытыми множествами . Утонченность крышки пространства является новым покрытием того же пространства таким образом, что каждый набор в новой обложке является подмножеством некоторого множества в старой крышке. В символах, крышка является уточнением крышки , если и только если для любого дюйма , существует некоторые в таком , что . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle V = \ {V _ {\ beta}: \ beta \ in B \}}$ ${\ Displaystyle U = \ {U _ {\ alpha}: \ alpha \ in A \}}$ ${\ displaystyle V _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle U _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle V _ {\ beta} \ substeq U _ {\ alpha}}$

Открытое покрытие пространства является локально конечным , если каждая точка пространства имеет окрестность , которая пересекается лишь конечное число множеств в чехле. В символах, локально конечна тогда и только тогда, когда для любого в , существует некоторая окрестность из таких , что множество ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle U = \ {U _ {\ alpha}: \ alpha \ in A \}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle V (х)}$ ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle \ left \ {\ alpha \ in A: U _ {\ alpha} \ cap V (x) \ neq \ varnothing \ right \}}

конечно. Топологическое пространство теперь называется паракомпактным, если каждое открытое покрытие имеет локально конечное открытое измельчение. ${\ displaystyle X}$

Примеры [ править ]

Любое компактное пространство паракомпактно.
Каждое регулярное пространство Линделёфа паракомпактно. ^[1] В частности, всякое локально компактное хаусдорфово пространство второй счетности паракомпактно.
Линия Соргенфрея паракомпактна, хотя она не является ни компактной, ни локально компактной, ни счетной, ни метризуемой.
Каждый комплекс CW паракомпактен ^[2]
( Теорема А. Х. Стоуна ) Каждое метрическое пространство паракомпактно. ^[3] Ранние доказательства были несколько сложными, но элементарное нашел М. Э. Рудин . ^[4] Существующие доказательства этого требуют аксиомы выбора для неразделимого случая. Было показано, что теории ZF недостаточно для ее доказательства даже после добавления более слабой аксиомы зависимого выбора . ^[5]

Некоторые примеры помещений, которые не являются паракомпактными, включают:

Самый известный контрпример - длинная линия , которая представляет собой непаракомпактное топологическое многообразие . (Длинная строка локально компактна, но не имеет второго счета.)
Другие контрпример является продуктом из несчетного множества копий бесконечного дискретного пространства . Любое бесконечное множество, несущее конкретную точечную топологию , не является паракомпактным; на самом деле это даже не метакомпакт .
Многообразие прюферова не является паракомпактной поверхностью.
Теорема о волынке показывает, что существует 2 ^{ℵ ₁} классов изоморфизма непаракомпактных поверхностей.
Самолет Соргенфрея не паракомпактный несмотря на произведение двух паракомпактов.

Свойства [ править ]

Паракомпактность слабо наследственна, т. Е. Каждое замкнутое подпространство паракомпактного пространства паракомпактно. Это также может быть расширено на подпространства F-сигма .

Регулярное пространство паракомпактно , если каждое открытое покрытие допускает локально конечное покрытие. (Здесь уточнение не обязательно должно быть открытым.) В частности, каждое регулярное пространство Линделёфа паракомпактно.
( Теорема Смирнова о метризации ) Топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно, хаусдорфово и локально метризуемо.
Теорема Майкла о выборе утверждает, что полунепрерывные снизу мультифункции из X в непустые замкнутые выпуклые подмножества банаховых пространств допускают непрерывный выбор тогда и только тогда, когда X паракомпактно.

Хотя продукт паракомпактных пространств не обязательно должен быть паракомпактным, верно следующее:

Произведение паракомпактного пространства и компактного пространства паракомпактно.
Произведение метакомпактного пространства и компактного пространства метакомпактно.

Оба эти результата можно доказать с помощью леммы о трубке, которая используется при доказательстве компактности произведения конечного числа компактных пространств.

Паракомпактные хаусдорфовые пространства [ править ]

Иногда требуется, чтобы паракомпактные пространства также были хаусдорфовыми, чтобы расширить их свойства.

( Теорема Жана Дьедонне ) Любое паракомпактное хаусдорфово пространство нормально .
Каждое паракомпактное хаусдорфово пространство является сжимающимся пространством , то есть каждое открытое покрытие паракомпактного хаусдорфова пространства имеет сжатие: другое открытое покрытие, индексируемое тем же множеством, так что замыкание каждого множества в новом покрытии лежит внутри соответствующего множества в старая обложка.
На паракомпактных пактах, пучок когомологии и Чех равны. ^[6]

Разделы единства [ править ]

Важнейшей особенностью паракомпактных хаусдорфовых пространств является то, что они нормальны и допускают разбиения единицы, подчиненные любому открытому покрытию. Это означает следующее: если X - паракомпактное хаусдорфово пространство с заданным открытым покрытием, то существует набор непрерывных функций на X со значениями в единичном интервале [0, 1] такой, что:

для каждой функции F : X → R из коллекции, существует открытое множество U от крышки таким образом, что поддержка из F содержится в U ;
для каждой точку х в X , существует окрестность V из й таким образом, что все , кроме конечного числа функций в коллекции тождественно равно 0 в V и сумма функций ненулевых тождественна 1 в V .

Фактически, пространство T ₁ хаусдорфово и паракомпактно тогда и только тогда, когда оно допускает разбиения единицы, подчиненные любому открытому покрытию (см. Ниже ). Это свойство иногда используется для определения паракомпактных пространств (по крайней мере, в случае Хаусдорфа).

Разбиения на единство полезны тем, что часто позволяют распространить локальные конструкции на все пространство. Например, интеграл дифференциальных форм на паракомпактных многообразиях сначала определяется локально (где многообразие выглядит как евклидово пространство, а интеграл хорошо известен), а затем это определение распространяется на все пространство через разбиение единицы.

Доказательство того, что паракомпактные хаусдорфовы пространства допускают разбиения единицы [ править ]

Хаусдорфово пространство паракомпактно тогда и только тогда, когда каждое открытое покрытие допускает подчиненное разбиение единицы. Если направление является прямым. Теперь для направления « только если» мы делаем это в несколько этапов. ${\ Displaystyle X \,}$

Лемма 1. Если это локально конечное открытое покрытие, то для каждого существуют открытые множества , такие что каждое и является локально конечным уточнением.

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} \,}

{\ Displaystyle W_ {U} \,}

{\ Displaystyle U \ в {\ mathcal {O}} \,}

{\ displaystyle {\ bar {W_ {U}}} \ substeq U \,}

{\ displaystyle \ {W_ {U}: U \ in {\ mathcal {O}} \} \,}

Лемма 2: Если это локально конечное открытое покрытие, то существуют непрерывные функции такие, что и такие, что является непрерывной функцией, которая всегда отлична от нуля и конечна.

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} \,}

{\ displaystyle f_ {U}: от X \ до [0,1] \,}

\operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,

f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

Теорема: в паракомпактном хаусдорфовом пространстве , если - открытое покрытие, то существует подчиненное ему разбиение единицы.

X\,

{\mathcal {O}}\,

Доказательство (лемма 1):

Позвольте быть набором открытых множеств, встречающихся только с конечным числом множеств в , и чье замыкание содержится в множестве в . В качестве упражнения можно проверить, что это дает открытое уточнение, поскольку паракомпактные хаусдорфовы пространства регулярны и поскольку они локально конечны. Теперь заменим на локально конечное открытое уточнение. Можно легко проверить, что каждый набор в этом уточнении имеет то же свойство, что и исходная обложка.

{\mathcal {V}}\,

{\mathcal {O}}\,

{\mathcal {O}}

{\mathcal {O}}\,

{\mathcal {V}}\,

Теперь определимся . Свойство гарантий, что каждое содержится в каком-то . Следовательно , это открытая доработка . Поскольку мы имеем , это покрытие сразу локально конечно.

W_{U}=\bigcup \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\}\,

{\mathcal {V}}\,

A\in {\mathcal {V}}

W_{U}

\{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,

{\mathcal {O}}\,

W_{U}\subseteq U

Теперь мы хотим показать это каждому . Для каждого мы это докажем . Так как мы выбрали локально конечно, существует окрестность из таких , что лишь конечного числа множеств имеют непустое пересечение с , и мы отмечаем те , в определении . Следовательно, мы можем разложить на две части: те, кто пересекается , и остальные, которые не пересекаются , что означает, что они содержатся в замкнутом множестве . Теперь у нас есть . Так как и у нас есть для каждого . А так как является дополнением к окрестности , то тоже не входит в . Следовательно, у нас есть

{\bar {W_{U}}}\subseteq U\,

x\notin U

x\notin {\bar {W_{U}}}

{\mathcal {V}}

V[x]

x

{\mathcal {V}}

V[x]

A_{1},...,A_{n},...\in {\mathcal {V}}

W_{U}

W_{U}

A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}

V[x]

A\in {\mathcal {V}}

C:=X\setminus V[x]

{\bar {W_{U}}}\subseteq {\bar {A_{1}}}\cup ...\cup {\bar {A_{n}}}\cup C

{\bar {A_{i}}}\subseteq U

x\notin U

x\notin {\bar {A_{i}}}

i

C

x

x

C

x\notin {\bar {W_{U}}}

.

$\blacksquare \,$ (Лем 1)

Доказательство (лемма 2):

Применяя лемму 1, пусть будут непрерывными отображениями с и (по лемме Урысона для непересекающихся замкнутых множеств в нормальных пространствах, которыми является паракомпактное хаусдорфово пространство). Обратите внимание, что под поддержкой функции мы здесь подразумеваем точки, не отображаемые в ноль (а не замыкание этого множества). Чтобы показать, что это всегда конечно и не равно нулю, возьмем и позволим окрестности встречи только конечного числа множеств ; таким образом, принадлежит только конечному числу множеств ; таким образом, для всех, кроме конечного множества ; более того для некоторых , таким образом ; так конечно а . Чтобы установить непрерывность, возьмите, как прежде, и пусть , что конечно; тогда

f_{U}:X\to [0,1]\,

f_{U}\upharpoonright {\bar {W}}_{U}=1\,

\operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,

f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

x\in X\,

N\,

x\,

{\mathcal {O}}\,

x\,

{\mathcal {O}}\,

f_{U}(x)=0\,

U\,

x\in W_{U}\,

U\,

f_{U}(x)=1\,

f(x)\,

\geq 1\,

x,N\,

S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,

f\upharpoonright N=\sum _{U\in S}f_{U}\upharpoonright N\,

, которая является непрерывной функцией; следовательно, прообраз под окрестностью будет окрестностью .

f\,

f(x)\,

x\,

$\blacksquare \,$ (Лем 2)

Доказательство (теорема):

Возьмем локально конечное подпокрытие Изысканность покрова: . Применяя лемму 2, мы получаем непрерывные функции с (таким образом, обычная замкнутая версия носителя содержится в некоторых для каждого ; для которых их сумма составляет непрерывную функцию, которая всегда конечна, не равна нулю (следовательно, является непрерывной положительной, конечнозначной Таким образом, заменив каждое на , у нас теперь - все вещи остаются неизменными - их сумма везде . Наконец, поскольку , если рассматривать как окрестность встречи только конечное множество множеств , мы имеем почти все, кроме конечного множества, так как каждое

{\mathcal {O}}^{*}\,

\{V{\text{ open }}:(\exists {U\in {\mathcal {O}}}){\bar {V}}\subseteq U\}\,

f_{W}:X\to [0,1]\,

\operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,

U\in {\mathcal {O}}\,

W\in {\mathcal {O}}^{*}\,

1/f\,

f_{W}\,

f_{W}/f\,

1\,

x\in X\,

N\,

x\,

{\mathcal {O}}^{*}\,

f_{W}\upharpoonright N=0\,

W\in {\mathcal {O}}^{*}\,

\operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,

. Таким образом, у нас есть разделение единства, подчиненное исходной открытой крышке.

$\blacksquare \,$ (Thm)

Связь с компактностью [ править ]

Существует сходство между определениями компактности и паракомпактности: для паракомпактности «субпокрытие» заменяется на «открытое уточнение», а «конечное» - на «локально конечное». Оба эти изменения значительны: если мы возьмем определение паракомпакта и заменим «открытое уточнение» обратно на «подпокрытие» или «локально конечное» обратно на «конечное», мы получим компактные пространства в обоих случаях.

Паракомпактность имеет мало общего с понятием компактности, а скорее связана с разбиением объектов топологического пространства на управляемые части.

Сравнение свойств с компактностью [ править ]

Паракомпактность похожа на компактность в следующих отношениях:

Каждое замкнутое подмножество паракомпактного пространства паракомпактно.
Каждый паракомпактный хаусдорфовый является нормальным .

Он отличается в следующих отношениях:

Паракомпактное подмножество хаусдорфового пространства не должно быть замкнутым. Фактически, для метрических пространств все подмножества паракомпактны.
Продукт паракомпактных пространств не обязательно должен быть паракомпактным. Квадрат вещественной прямой R в нижнем пределе топологии является классическим примером этого.

Варианты [ править ]

Существует несколько вариантов понятия паракомпактности. Чтобы определить их, нам сначала нужно расширить список терминов выше:

Топологическое пространство - это:

метакомпактным, если каждое открытое покрытие имеет открытое поточечное конечное измельчение.
ортокомпактным, если каждое открытое покрытие имеет такое открытое уточнение, что пересечение всех открытых множеств вокруг любой точки в этом уточнении открыто.
полностью нормально, если каждая открытая крышка имеет открытое звездное измельчение , и полностью T _4, если оно полностью нормально и T 1 (см. аксиомы разделения ).

Наречие « счетно » может быть добавлено к любому из прилагательных «паракомпакт», «метакомпакт» и «полностью нормальный», чтобы требование применялось только к счетным открытым обложкам.

Каждое паракомпактное пространство метакомпактно, а каждое метакомпактное пространство ортокомпактно.

Определение релевантных терминов для вариантов [ править ]

Для данной крышки и точки звездочка точки на крышке представляет собой объединение всех множеств в крышке, содержащих точку. В символах звезда x в U = { U _α : α в A } - это

\mathbf {U} ^{*}(x):=\bigcup _{U_{\alpha }\ni x}U_{\alpha }.

Обозначения звезды не стандартизированы в литературе, и это только одна возможность.

Звездно вписана крышка пространства X является новым покрытием того же пространства таким образом , что для любой точки в пространстве, звезда точки в новой обложке является подмножеством некоторого множества в старой крышке. В символах V является звездным уточнением U = { U _α : α в A } тогда и только тогда, когда для любого x в X существует U _α в U , такое, что V ^* ( x ) содержится в U _α .
Крышка пространства X является точечно конечным , если каждая точка пространства принадлежит лишь конечное число наборов в крышке. В символах U поточечно конечно тогда и только тогда, когда для любого x из X множество конечно. $\left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}$

Как следует из названия, полностью нормальное пространство - это нормально . Каждое полностью пространство T ₄ паракомпактно. Фактически для хаусдорфовых пространств паракомпактность и полная нормальность эквивалентны. Таким образом, полностью T _4- пространство - это то же самое, что паракомпактное хаусдорфово пространство.

Без свойства Хаусдорфа паракомпактные пространства не обязательно полностью нормальны. Примером может служить любое нерегулярное компактное пространство.

Историческая справка: полностью нормальные пространства были определены до паракомпактных пространств в 1940 году Джоном У. Тьюки. ^[7] Доказательство того, что все метризуемые пространства вполне нормальны, несложно. Когда А.Х. Стоун доказал, что для хаусдорфовых пространств полная нормальность и паракомпактность эквивалентны, он неявно доказал, что все метризуемые пространства паракомпактны. Позднее Эрнест Майкл дал прямое доказательство последнего факта, а М.Е. Рудин дал другое, элементарное, доказательство.

См. Также [ править ]

а-паракомпактное пространство
Паранормальное пространство

Заметки [ править ]

^ Майкл, Эрнест (1953). «Заметка о паракомпактных пространствах» (PDF) . Труды Американского математического общества . 4 (5): 831–838. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1953-0056905-8 . ISSN 0002-9939 .
^ Хэтчер, Аллен , векторные расслоения и K-теория , предварительная версия доступна на домашней странице автора
^ Стоун, AH Паракомпактность и пространства продуктов . Бык. Амер. Математика. Soc. 54 (1948), 977–982
^ Рудин, Мэри Эллен. Новое доказательство паракомпактности метрических пространств . Труды Американского математического общества, Vol. 20, No. 2 (февраль 1969 г.), стр. 603.
↑ C. Good, IJ Tree и WS Watson. О теореме Стоуна и аксиоме выбора . Труды Американского математического общества, Vol. 126, No. 4. (апрель 1998 г.), стр. 1211–1218.
^ Брылински, Жан-Люк (2007), Пространства петель, характеристические классы и геометрическое квантование , Progress in Mathematics, 107 , Springer, p. 32, ISBN 9780817647308.
^ * Тьюки, Джон У. (1940). Сходимость и единообразие топологии . Анналы математических исследований. 2 . Princeton University Press, Princeton, NJ pp. Ix + 90. Руководство по ремонту 0002515 .

Ссылки [ править ]

Дьедонне, Жан (1944), "Une généralisation des espaces compacts", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 23 : 65–76, ISSN 0021-7824 , MR 0013297
Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах младший , Контрпримеры в топологии (2-е изд.) , Springer Verlag , 1978, ISBN 3-540-90312-7 . С. 23.
Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-486-43479-6.
Мэтью, Ахил. «Топология / Паракомпактность» .

Внешние ссылки [ править ]

"Паракомпактное пространство" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Майкл, Эрнест (1953). «Заметка о паракомпактных пространствах» (PDF) . Труды Американского математического общества . 4 (5): 831–838. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1953-0056905-8 . ISSN 0002-9939 .

[2] Хэтчер, Аллен , векторные расслоения и K-теория , предварительная версия доступна на домашней странице автора

[3] Стоун, AH Паракомпактность и пространства продуктов . Бык. Амер. Математика. Soc. 54 (1948), 977–982

[4] Рудин, Мэри Эллен. Новое доказательство паракомпактности метрических пространств . Труды Американского математического общества, Vol. 20, No. 2 (февраль 1969 г.), стр. 603.

[5] C. Good, IJ Tree и WS Watson. О теореме Стоуна и аксиоме выбора . Труды Американского математического общества, Vol. 126, No. 4. (апрель 1998 г.), стр. 1211–1218.

[6] Брылински, Жан-Люк (2007), Пространства петель, характеристические классы и геометрическое квантование , Progress in Mathematics, 107 , Springer, p. 32, ISBN 9780817647308.

[7] * Тьюки, Джон У. (1940). Сходимость и единообразие топологии . Анналы математических исследований. 2 . Princeton University Press, Princeton, NJ pp. Ix + 90. Руководство по ремонту 0002515 .