В математике , в частности , топологии , в крышке о наличии множества представляет собой набор множеств, объединение которых включает как подмножество . Формально, еслиэто индексированное семейство множеств тогда это прикрытие если
Покрытие в топологии
Крышки обычно используются в контексте топологии . Если множество X является топологическим пространством , то крышка С из X представляет собой набор подмножеств U а из X , объединение которых есть все пространство Х . В этом случае мы говорим , что C покрывает X , или , что множества U а покрытие X . Кроме того , если Y представляет собой подмножество X , то крышка из Y представляет собой набор подмножеств X , объединение которых содержит Y , т.е., С является покрытием Y , если
Пусть C будет покрытие топологического пространства X . Подпокрытие из C представляет собой подмножество C , которые все еще покрывает X .
Мы говорим, что C -открытое покрытие, если каждый из его членов являетсяоткрытым множеством(т.е. каждыйUαсодержится вT, гдеT- топология наX).
Покрытие X называется локально конечным, если каждая точка X имеет окрестность, которая пересекает только конечное число множеств в покрытии. Формально C = { U α } локально конечно, если для любогосуществует некоторая окрестность N ( x ) точки x такая, что множество
конечно. Покрытие X называется точечным конечным, если каждая точка X содержится только в конечном числе множеств покрытия. Покрытие точечно конечно, если оно локально конечно, хотя обратное не всегда верно.
Уточнение
Утонченность крышки топологического пространства это новая обложка из так что каждый набор в содержится в некотором наборе в . Формально,
- это уточнение если для всех Существует такой, что
Другими словами, есть карта уточнения удовлетворение для каждого Эта карта используется, например, в Чеха из. [1]
Любое подкрытие - это тоже изящество, но не всегда верно обратное. Дополнительное покрытие сделано из наборов, которые есть в обложке, но без некоторых из них; тогда как уточнение производится из любых наборов, которые являются подмножествами наборов в обложке.
Отношение уточнения является предпорядком на множестве покрытий.
Вообще говоря, уточнение данной структуры - это еще одно, что в некотором смысле содержит ее. Примеры можно найти при разбиении интервала (одно уточнение существование ), рассматривая топологии ( стандартная топология в евклидовом пространстве является уточнением тривиальной топологии ). При разбиении симплициальных комплексов (первое барицентрическое подразделение симплициального комплекса является уточнением) ситуация немного иная: каждый симплекс более тонкого комплекса является гранью некоторого симплекса более грубого, и оба имеют равные лежащие в основе многогранники.
Еще одно понятие изысканности - это звездная утонченность .
Подкрытие
Простой способ получить дополнительную обложку - опустить наборы, содержащиеся в другом наборе обложки. Рассмотрим конкретно открытые крышки. Позволять быть топологической основой а также быть открытой крышкой Первый дубль потом это уточнение . Далее для каждого мы выбираем содержащий (требуя аксиомы выбора). потом под прикрытием Следовательно, мощность подпокрытия открытого покрытия может быть такой же малой, как мощность любого топологического базиса. Поэтому , в частности , второй счетности предполагает пространство является Линделёф .
Компактность
Язык покрытий часто используется для определения нескольких топологических свойств, связанных с компактностью . Топологическое пространство X называется
- Компактный
- если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие (или, что то же самое, каждое открытое покрытие имеет конечное измельчение);
- Линделёф
- если каждое открытое покрытие имеет счетное дополнительное покрытие (или, что то же самое, каждое открытое покрытие имеет счетное уточнение);
- Метакомпакт
- если каждое открытое покрытие имеет точечно-конечное открытое измельчение;
- Паракомпакт
- если каждое открытое покрытие допускает локально конечное открытое измельчение.
Дополнительные варианты см. В статьях выше.
Размер покрытия
Говорят, что топологическое пространство X имеет размерность покрытия n, если каждое открытое покрытие X имеет точечно-конечное открытое уточнение, такое что никакая точка X не входит в более чем n + 1 множества в уточнении, и если n - минимальное значение для чего это верно. [2] Если такого минимального n не существует, пространство называется бесконечной покрывающей размерностью.
Смотрите также
Заметки
- Перейти ↑ Bott, Tu (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . п. 111.
- ^ Мункрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2.
Рекомендации
- Введение в топологию, второе издание , Теодор В. Гамлен и Роберт Эверист Грин. Дувр Публикации 1999. ISBN 0-486-40680-6
- Общая топология , Джон Л. Келли . D. Van Nostrand Company, Inc., Принстон, Нью-Джерси. 1955 г.
Внешние ссылки
- "Покрытие (множества)" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]