Барицентрическое подразделение

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Барицентрическое подразделение» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

По геометрии , то барицентрическое подразделение является стандартным способом деления произвольного выпуклого многоугольника в треугольники , выпуклый многогранника в тетраэдры , или, в общем, выпуклый многогранник в симплексы с той же размерностью , путем соединения барицентров их лиц в конкретном путь.

Это имя также используется в топологии для аналогичной операции с клеточными комплексами . Результат топологически эквивалентен геометрической операции, но детали имеют произвольную форму и размер. Это пример правила конечного подразделения .

Обе операции имеют ряд приложений в математике и геометрическом моделировании , особенно когда некоторая функция или форма должны быть аппроксимированы кусочно , например сплайном .

Барицентрическое подразделение симплекса [ править ]

Барицентрическое подразделение 2-симплекса или треугольника

Барицентрическое подразделение (далее БКШ ) -мерного симплекса состоит из ( n + 1)! -мерные симплексы. Каждая часть с вершинами может быть связана с перестановкой вершин таким образом, что каждая вершина является барицентром точек . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle v_ {0}, v_ {1}, \ dots, v_ {n}}$ ${\ displaystyle p_ {0}, p_ {1}, \ dots, p_ {n}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ ${\ displaystyle p_ {0}, p_ {1}, \ dots, p_ {i}}$

4 этапа барицентрического деления

В частности, BCS одной точки (0-мерного симплекса) состоит из самой этой точки. BCS линейного сегмента (1-симплекс) состоит из двух меньших сегментов, каждый из которых соединяет одну конечную точку (0-мерная грань) с его средней точкой (1-мерная грань). ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$

BCS треугольника делит его на шесть треугольников; каждая часть имеет одну вершину в центре масс , другая - в середине некоторой стороны, а последняя - в одной из исходных вершин. ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle v_ {2}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle v_ {1}}$ ${\ displaystyle v_ {0}}$

BCS тетраэдра делит его на 24 тетраэдра; каждая часть имеет одну вершину в центре , одну на некоторой грани, одну вдоль некоторого ребра и последнюю вершину в некоторой вершине . ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$

Важной особенностью БКШ является то, что максимальный диаметр -мерного симплекса уменьшается как минимум в раз . ^[1] ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {n + 1}}}$

Барицентрическое разбиение выпуклого многогранника [ править ]

Другой способ определения BCS симплекса , чтобы ассоциировать каждую часть последовательности из граней в , с увеличением размеров, таким образом, что является гранью из за от 0 до . Тогда каждая вершина соответствующей части является барицентром грани . ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle F_ {0}, F_ {1}, \ dots, F_ {n}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle F_ {i}}$ ${\ Displaystyle F_ {я + 1}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle n-1}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ ${\ displaystyle F_ {i}}$

Это альтернативное определение может быть расширено до БКШ произвольного -мерного выпуклого многогранника на ряд -симплексов. Таким образом, БКШ в пятиугольника , например, имеет 10 треугольников: каждый треугольник связан с тремя элементами из - соответственно, угол , в сторону падающего на этот угол, и сам по себе. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle F_ {0}, F_ {1}, F_ {2}}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$

Точно так же BCS куба состоит из 48 тетраэдров, каждый из которых связан с последовательностью вложенных элементов - вершиной, ребром, гранью и всем кубом. Обратите внимание, что есть 8 вариантов для , 3 для (дано ) и 2 для (дано ). ${\ displaystyle F_ {0}, F_ {1}, F_ {2}, F_ {3}}$ ${\ displaystyle F_ {0}}$ ${\ displaystyle F_ {1}}$ ${\ displaystyle F_ {0}}$ ${\ displaystyle F_ {2}}$ ${\ displaystyle F_ {0}, F_ {1}}$

Барицентрическое подразделение в топологии [ править ]

Барицентрическое подразделение - важный инструмент в теории симплициальных гомологий , где оно используется как средство получения более тонких симплициальных комплексов (содержащих исходные, т.е. с большим количеством симплексов). Это, в свою очередь, имеет решающее значение для теоремы о симплициальной аппроксимации , которая примерно заявляет, что можно аппроксимировать любую непрерывную функцию между многогранниками (конечным) симплициальным отображением , учитывая достаточное количество подразделений соответствующих симплициальных комплексов, которые они реализуют. В конечном счете, этот метод аппроксимации является стандартным элементом доказательства того, что группы симплициальных гомологий являются топологическими инвариантами. ^[1]^[2]

Обобщение барицентрического подразделения также может быть определено для клеточного комплекса . Неформально такой объект можно представить как совокупность одного или нескольких кусков резины ( ячеек ), каждый из которых имеет форму выпуклого многогранника, которые склеены друг с другом своими гранями - возможно, с большим растяжением и скручиванием.

В топологической версии BCS каждая ячейка заменяется набором резиновых симплексов, также склеенных своими гранями и, возможно, деформированных. Процедура: (1) выбрать для каждой ячейки карту деформации, которая преобразует ее в геометрический выпуклый многогранник, сохраняя его инцидентность и топологические связи; (2) выполнить геометрическую БКШ на этом многограннике; а затем (3) сопоставьте полученное подразделение с исходными ячейками.

Результат барицентрического подразделения, рассматриваемый как абстрактный симплициальный комплекс , является примером комплекса флагов . Он имеет по одной вершине для каждой ячейки исходного комплекса ячеек и по одной ячейке максимальной размерности для каждого флага (совокупности ячеек разных размеров, связанных друг с другом включением) исходного комплекса ячеек.

Приложения [ править ]

Барицентрическое подразделение в основном используется для замены произвольно сложного выпуклого многогранника или топологического клеточного комплекса совокупностью частей, все из которых имеют ограниченную сложность ( фактически, симплексы ). Типичное применение моделирование формы автомобиля тело с помощью сплайна - с кусочно-определенного многочленом функции. Алгебра таких функций становится намного проще и легче для программирования, если каждый «кусок» представляет собой «топологический треугольник», то есть присоединяется ровно к трем другим частям. Однако пользователь-человек может счесть более естественным спроектировать форму, объединяя участки с более свободными формами и топологиями. Барицентрическое подразделение - удобный способ преобразовать эту «удобную» модель в «удобную для компьютера».

Повторное барицентрическое деление [ править ]

При аппроксимации математической функции или поверхности сплайном точность аппроксимации обычно определяется размером куска - чем больше куски, тем больше ошибка. Таким образом, часто бывает необходимо разделить большие части на более мелкие, чтобы достичь заданной точности.

Теоретически для этой цели можно использовать BCS, поскольку он обладает тем свойством, что самое длинное ребро любого куска меньше самого длинного ребра исходного многогранника на коэффициент меньше . Следовательно, применяя BCS достаточно много раз, можно сделать самую большую кромку сколь угодно малой. ${\ Displaystyle п / (п + 1)}$

Однако на практике BCS не очень подходит для этой цели. Во-первых, каждое приложение после первого умножает количество симплексов на . BCS также умножает степень каждой исходной вершины на , а степень каждого ребра - на . Более того, BCS разделит все симплексы, даже те, которые уже достаточно малы. Наконец, каждый этап BCS также делает симплексы не только меньше, но и «тоньше», то есть имеет тенденцию увеличивать их соотношение сторон (соотношение между самым длинным и самым коротким краем). По всем этим причинам на практике редко применяют более одного раунда BCS, вместо этого используются другие схемы подразделения. ${\ Displaystyle (п + 1)!}$ ${\ displaystyle n!}$ ${\ Displaystyle (п-1)!}$

Относительное барицентрическое подразделение [ править ]

Для симплициальных комплексов определяется относительное барицентрическое подразделение по модулю, которое состоит из тех симплексов, вершины которых связаны с последовательностью собственных граней и барицентров симплексов в . ${\ Displaystyle L \ подмножество K}$ ${\ displaystyle K ^ {*}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle L}$ $v_{0}\dots v_{k}B(S'_{1})\dots B(S'_{l})$ $S_{0}<\cdots <S_{k}$ $L$ $B(S'_{i})$ $K\setminus L$

Ясно, что остается подкомплексом . Только симплексы не сжимаются. $L$ $K^{*}$ $L$

Связанные понятия [ править ]

Ложное барицентрическое подразделение [ править ]

Иногда термин «барицентрическое подразделение» неправильно используется для любого подразделения многогранника на симплексы, у которых одна вершина находится в центре тяжести многогранника , а противоположная грань - на границе . Хотя это свойство справедливо для истинного барицентрического подразделения, оно также справедливо и для других подразделений, которые не являются BCS. $P$ $P$ $P$

Например, если сделать прямой разрез от центра тяжести треугольника до каждого из его трех углов, получится разделение на три треугольника. Обобщая эту идею, мы получаем схему разбиения -мерного симплекса на симплексы. Однако это подразделение не является BCS. $n$ $n+1$

Симплициальные множества [ править ]

Барицентрическое деление также может быть определено для симплициальных множеств способом, который совместим (по отношению к функтору топологической реализации) с указанным выше делением симплексов. ^[3]

Теория графов [ править ]

Термин барицентрическое деление также используется в теории графов ( Barycentric_Subdivision (теория графов) ).

Примечания [ править ]

^ a b Мункрес, Джеймс Р.: Элементы алгебраической топологии
^ Гиблин, PJ: Графы, поверхности и гомологии
^ Goerss, PG; Jardine, JF (1999), Simplicial Homotopy Theory , Progress in Mathematics, 174 , Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, п. 182

См. Также [ править ]

Аполлоническая сеть
Клеточный комплекс
Метод конечных элементов
Генерация сетки
Многогранник
Сплайн

[Munkres-1] Мункрес, Джеймс Р.: Элементы алгебраической топологии

[2] Гиблин, PJ: Графы, поверхности и гомологии

[3] Goerss, PG; Jardine, JF (1999), Simplicial Homotopy Theory , Progress in Mathematics, 174 , Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, п. 182