В дифференциальной геометрии , А структура Пуассона на гладком многообразии является скобкой Ли ( в этом частном случае называемой скобкой Пуассона ) на алгебреиз гладких функций на, в соответствии с правилом Лейбница
- .
Эквивалентно, определяет структуру алгебры Ли на векторном пространстве из гладких функций на такой, что - векторное поле для каждой гладкой функции (изготовление в алгебру Пуассона ).
Пуассон структура была введена Андре Лихнеровичем в 1977 году [1] Они были дополнительно изучены в классической работе Алан Вайнштейна , [2] , где многие основные структурные теоремы были доказаны, и которые оказали огромное влияние на развитии геометрии Пуассона - который сегодня глубоко связан с некоммутативной геометрией , интегрируемыми системами , топологическими теориями поля и теорией представлений , и это лишь некоторые из них.
Структуры Пуассона названы в честь французского математика Симеона Дени Пуассона .
Определение
Для определения пуассоновских структур существуют две основные точки зрения: переключаться между ними принято и удобно, и мы сделаем это ниже.
Как скобка
Позволять - гладкое многообразие и пусть обозначим вещественную алгебру гладких вещественнозначных функций на , где умножение определяется поточечно. Скобка Пуассона (или структура Пуассона ) на является -билинейная карта
определяя структуру алгебры Пуассона на, т.е. удовлетворяющие следующим трем условиям:
Первые два условия гарантируют, что определяет структуру алгебры Ли на , а третий гарантирует, что для каждого , линейная карта является выводом алгебры , т. е. определяет векторное поле называется гамильтоновым векторным полем, связанным с.
Выбор некоторых локальных координат , любая скобка Пуассона имеет вид
Как бивектор
Пуассона бивектор на гладком многообразии это бивекторное поле удовлетворяющий нелинейному уравнению в частных производных , где
обозначает скобку Схоутена – Нийенхейса на мультивекторных полях. Выбор некоторых локальных координат, любой бивектор Пуассона имеет вид
Эквивалентность определений
Позволять - билинейная кососимметричная скобка, удовлетворяющая правилу Лейбница; тогда функция можно описать как
- ,
для уникального гладкого бивекторного поля . Наоборот, для любого гладкого бивекторного поля на , та же формула определяет билинейную кососимметричную скобку что автоматически подчиняется правилу Лейбница.
Наконец, следующие условия эквивалентны
- удовлетворяет тождеству Якоби (следовательно, это скобка Пуассона)
- удовлетворяет (следовательно, это бивектор Пуассона)
- карта является гомоморфизмом алгебр Ли, т. е. гамильтоновы векторные поля удовлетворяют
- график определяет структуру Дирака, т.е. лагранжево подрасслоение которая закрывается стандартной скобкой Куранта .
Симплектические листья
Пуассоново многообразие естественным образом разбивается на правильно погруженные симплектические многообразия, возможно, различных размерностей, называемые его симплектическими слоями . Они возникают как максимальные интегральные подмногообразия вполне интегрируемого сингулярного слоения, натянутого на гамильтоновы векторные поля.
Ранг пуассоновской структуры
Напомним, что любое бивекторное поле можно рассматривать как косой гомоморфизм . Изображение состоит поэтому из значений всех гамильтоновых векторных полей, вычисленных на каждом .
Оценка по в какой-то момент - ранг индуцированного линейного отображения . Точканазывается регулярным для пуассоновой структуры на тогда и только тогда, когда ранг постоянна в открытой окрестности точки ; в противном случае она называется особой точкой . Регулярные точки образуют открытое плотное подпространство; когда, т.е. карта имеет постоянный ранг, пуассонова структура называется обычным . Примеры регулярных пуассоновых структур включают тривиальные и невырожденные структуры (см. Ниже).
Обычный случай
Для регулярного пуассоновского многообразия образ является регулярным распределением ; легко проверить , что это инволютивно, следовательно, по теореме Фробениуса ,допускает перегородку на листья. Более того, бивектор Пуассона хорошо ограничивается каждым слоем, которые, таким образом, становятся симплектическими многообразиями.
Необычный случай
Для нерегулярного пуассоновского многообразия ситуация более сложная, поскольку распределение сингулярно, т. е. векторные подпространства имеют разные габариты.
Интегральное подмногообразие для линейно связное подмногообразие удовлетворение для всех . Интегральные подмногообразия являются автоматически правильно погружаемыми многообразиями, а максимальные интегральные подмногообразия называются листья из.
Причем каждый лист имеет естественную симплектическую форму определяется условием для всех а также . Соответственно, один говорит о симплектическом листьев из. Причем как пространство регулярных точек и его дополнение насыщены симплектическими листами, поэтому симплектические листы могут быть как регулярными, так и особенными.
Теорема Вайнштейна о расщеплении
Чтобы показать существование симплектических листов и в нерегулярном случае, можно использовать теорему Вайнштейна о расщеплении (или теорему Дарбу-Вайнштейна). [2] Он утверждает, что любое пуассоново многообразие локально разбивается вокруг точки как произведение симплектического многообразия и поперечное пуассоново подмногообразие исчезновение в . Точнее, если, есть локальные координаты такой, что бивектор Пуассона разбивается как сумма
Примеры
Тривиальные пуассоновы структуры
Каждый коллектор несет тривиальную пуассоновскую структуру, эквивалентно описываемому бивектором . Каждая точка поэтому является нульмерным симплектическим листом.
Невырожденные пуассоновы структуры.
Бивекторное поле называется невырожденным, еслиявляется изоморфизмом векторных расслоений. Невырожденные бивекторные поля Пуассона - это на самом деле то же самое, что и симплектические многообразия. .
Действительно, существует биективное соответствие между невырожденными бивекторными полями и невырожденные 2-формы , данный
Линейные пуассоновы структуры
Структура Пуассона в векторном пространстве называется линейной, если скобка двух линейных функций по-прежнему линейна. Класс векторных пространств с линейными пуассоновыми структурами фактически совпадает с классом (двойственных) алгебр Ли.
Действительно, двойственное любой конечномерной алгебры Ли носит линейную скобку Пуассона, известную в литературе под названиями Ли-Пуассона, Кирилло-Пуассон или ККС ( Костант - Кириллов - Souriau ) структуры:
,
где и производные интерпретируются как элементы двузначного . Эквивалентно, бивектор Пуассона может быть локально выражен как
Наоборот, любая линейная пуассонова структура на должна быть такой формы, т.е. существует естественная структура алгебры Ли, индуцированная на чья скобка Ли-Пуассона восстанавливает .
Симплектические листы структуры Ли - Пуассона на являются орбиты коприсоединенного действия в на .
Другие примеры и конструкции
- Любое постоянное бивекторное поле в векторном пространстве автоматически является пуассоновской структурой; действительно, все три члена в якобиаторе равны нулю, так как это скобка с постоянной функцией.
- Любое бивекторное поле на двумерном многообразии автоматически является пуассоновой структурой; действительно, является 3-векторным полем, которое всегда равно нулю в размерности 2.
- Декартово произведение двух пуассоновых многообразий а также снова является пуассоновым многообразием.
- Позволять - (регулярное) слоение размерности на а также замкнутая двуформа слоения, для которой степень никуда не исчезает. Это однозначно определяет регулярную пуассоновскую структуру на требуя, чтобы симплектические листы быть листьями из снабженный индуцированной симплектической формой .
- Позволять - группа Ли, действующая на пуассоновом многообразиидиффеоморфизмами Пуассона. Если действие свободное и собственное, фактормногообразие наследует пуассоновскую структуру из (а именно, он единственный такой, что погружение - отображение Пуассона).
Когомологии Пуассона
В когомологии Пуассона пуассонова многообразия - это группы когомологий коцепного комплекса [1]
Использование морфизма , получается морфизм из комплекса де Рама к комплексу Пуассона , индуцируя групповой гомоморфизм . В невырожденном случае это становится изоморфизмом, так что пуассоновские когомологии симплектического многообразия полностью восстанавливают свои когомологии де Рама .
Когомологии Пуассона в общем случае трудно вычислить, но группы низкой степени содержат важную геометрическую информацию о структуре Пуассона:
- - пространство функций Казимира , т.е. гладких функций, коммутирующих по Пуассону со всеми остальными (или, что то же самое, гладких функций, постоянных на симплектических листах)
- - пространство векторных полей Пуассона по модулю гамильтоновых векторных полей
- - пространство бесконечно малых деформаций пуассоновой структуры по модулю тривиальных деформаций
- - это пространство препятствий для распространения бесконечно малых деформаций до реальных деформаций.
Карты Пуассона
Гладкое отображение между пуассоновыми многообразиями называется отображением Пуассона, если оно учитывает пуассоновы структуры, т. е. выполняется одно из следующих эквивалентных условий (см. различные определения пуассоновых структур выше):
- скобки Пуассона а также удовлетворить для каждого и гладкие функции
- бивекторные поля а также находятся -связанные, т.е.
- гамильтоновы векторные поля, ассоциированные с каждой гладкой функцией находятся -связанные, т.е.
- дифференциал является морфизмом Дирака.
Анти-Пуассон карта удовлетворяет аналогичные условия со знаком минус на одной стороне.
Пуассоновы многообразия являются объектами категории , с отображениями Пуассона в качестве морфизмов. Если отображение Пуассона также является диффеоморфизмом, то мы называем Пуассона -диффеоморфизм .
Примеры
- Учитывая многообразие Пуассона произведения , канонические проекции , для , являются отображениями Пуассона.
- Отображение включения симплектического листа или открытого подпространства является отображением Пуассона.
- Даны две алгебры Ли а также , двойственный к любому гомоморфизму алгебр Ли индуцирует отображение Пуассона между линейными пуассоновскими структурами.
Следует отметить, что понятие отображения Пуассона принципиально отличается от понятия симплектического отображения . Например, с их стандартными симплектическими структурами не существует пуассоновских отображений, тогда как симплектических отображений предостаточно.
Симплектические реализации
Симплектическая реализация на пуассоновское многообразие M состоит из симплектического многообразия вместе с отображением Пуассона которое является сюръективным погружением. Грубо говоря, роль симплектической реализации состоит в том, чтобы «избавиться от сингуляров» сложного (вырожденного) пуассонова многообразия путем перехода к большему, но более простому (невырожденному).
Отметим, что некоторые авторы определяют симплектические реализации без этого последнего условия (так, например, включение симплектического листа в симплектическое многообразие является примером) и называют полной симплектической реализацией, гдеявляется сюръективным погружением. Примеры (полных) симплектических реализаций включают следующее:
- Для тривиальной пуассоновой структуры , берется котангенсное расслоение , с его канонической симплектической структурой и проекцией.
- Для невырожденной пуассоновой структуры один берет сама и личность .
- Для структуры Ли-Пуассона на , берется котангенсное расслоение группы Ли интеграция и двойная карта дифференциала при тождестве (левого или правого) перевода .
Симплектическая реализация называется полным, если для любого полного гамильтонова векторного поля, векторное поле также полный. Хотя симплектические реализации всегда существуют для любого пуассонова многообразия (доступно несколько различных доказательств), [2] [3] [4] полные реализации играют фундаментальную роль в проблеме интегрируемости пуассоновых многообразий (см. Ниже). [5]
Интегрирование пуассоновых многообразий.
Любое пуассоново многообразие индуцирует структуру алгеброида Ли на его кокасательном расслоении. Карта привязки задается а скобка Ли на определяется как
- симплектическое слоение - это обычное (сингулярное) слоение, индуцированное якорем алгеброида Ли
- симплектические листы - это орбиты алгеброида Ли
- структура Пуассона на регулярен именно тогда, когда ассоциированный алгеброид Ли является
- группы когомологий Пуассона совпадают с группами когомологий алгеброидов Ли с коэффициентами в тривиальном представлении.
Крайне важно отметить, что алгеброид Ли не всегда интегрируется с группоидом Ли.
Симплектические группоиды
Симплектический группоид является группоидом Ли вместе с симплектической формой которая также является мультипликативной (т.е. совместимой со структурой группоида). Эквивалентно графиксчитается лагранжевым подмногообразием в. [6]
Основная теорема утверждает, что базовое пространство любого симплектического группоида допускает единственную пуассоновскую структуру так что исходная карта и целевая карта являются, соответственно, пуассоновым отображением и антипуассоновым отображением. Более того, алгеброид Ли изоморфен котангенсному алгеброиду ассоциированный с пуассоновым многообразием . [7] Наоборот, если котангенсное расслоение пуассонова многообразия интегрируем в некоторый группоид Ли , тогда автоматически является симплектическим группоидом. [8]
Соответственно, проблема интегрируемости пуассоновского многообразия состоит в нахождении симплектического группоида, интегрирующего его кокасательный алгеброид; когда это происходит, мы говорим, что структура Пуассона интегрируема .
Хотя любое пуассоново многообразие допускает локальное интегрирование (т. Е. Симплектический группоид, где умножение определяется только локально), [7] существуют общие топологические препятствия к его интегрируемости, исходящие из теории интегрируемости алгеброидов Ли. [9] Используя такие препятствия, можно показать, что пуассоново многообразие интегрируемо тогда и только тогда, когда оно допускает полную симплектическую реализацию. [5]
Подмногообразия
Пуассона Подмногообразие изявляется погруженным подмногообразием такая, что карта погружения является отображением Пуассона. Точно так же можно спросить, что каждое гамильтоново векторное поле, для , касается .
Это определение очень естественно и удовлетворяет нескольким хорошим свойствам, например, поперечное пересечение двух подмногообразий Пуассона снова является подмногообразием Пуассона. Однако есть и несколько проблем:
- Подмногообразия Пуассона редки: например, единственными подмногообразиями Пуассона симплектического многообразия являются открытые множества;
- определение не ведет себя функториально: если - отображение Пуассона, трансверсальное пуассоновскому подмногообразию из , подмногообразие из не обязательно Пуассон.
Чтобы преодолеть эти проблемы, часто используется понятие трансверсали Пуассона (первоначально названное косимплектическим подмногообразием). [2] Это можно определить как подмногообразие который поперечен всякому симплектическому листу и такое, что пересечение является симплектическим подмногообразием в . Отсюда следует, что любая трансверсаль Пуассона наследует каноническую пуассоновскую структуру из . В случае невырожденного пуассонова многообразия (единственный симплектический лист которого само), трансверсали Пуассона - это то же самое, что и симплектические подмногообразия.
Более общие классы подмногообразий играют важную роль в пуассоновской геометрии, включая подмногообразия Ли-Дирака, подмногообразия Пуассона-Дирака, коизотропные подмногообразия и предпуассоновы подмногообразия. [10]
Смотрите также
- Многообразие Намбу-Пуассона
- Группа Пуассона – Ли
- Супермногообразие Пуассона
- Формула квантования Концевича
Рекомендации
- ^ a b Lichnerowicz, A. (1977). "Различные варианты Пуассона и другие ассоциации Ли" . J. Diff. Геом. 12 (2): 253–300. DOI : 10.4310 / JDG / 1214433987 . Руководство по ремонту 0501133 .
- ^ а б в г Вайнштейн, Алан (1983-01-01). «Локальная структура пуассоновых многообразий» . Журнал дифференциальной геометрии . 18 (3). DOI : 10.4310 / JDG / 1214437787 . ISSN 0022-040X .
- ^ Карасев, М.В. (30.06.1987). «Аналоги объектов теории групп Ли для нелинейных скобок Пуассона» . Математика СССР-Известия . 28 (3): 497–527. DOI : 10.1070 / im1987v028n03abeh000895 . ISSN 0025-5726 .
- ^ Крайник, Мариус; Маркут, Иоан (2011). «О существовании симплектических реализаций» . Журнал симплектической геометрии . 9 (4): 435–444. DOI : 10.4310 / JSG.2011.v9.n4.a2 . ISSN 1540-2347 .
- ^ а б Крайник, Мариус; Фернандес, Руи Лоха (1 января 2004 г.). «Интегрируемость скобок Пуассона» . Журнал дифференциальной геометрии . 66 (1). DOI : 10.4310 / JDG / 1090415030 . ISSN 0022-040X .
- ^ Вайнштейн, Алан (1987-01-01). «Симплектические группоиды и пуассоновы многообразия» . Бюллетень Американского математического общества . 16 (1): 101–105. DOI : 10.1090 / S0273-0979-1987-15473-5 . ISSN 0273-0979 .
- ^ а б Альберт, Клод; Дазорд, Пьер (1991). Дазорд, Пьер; Вайнштейн, Алан (ред.). "Groupoïdes de Lie et Groupoïdes Symplectiques" . Симплектическая геометрия, группоиды и интегрируемые системы . Публикации Института исследований математических наук (на французском языке). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer США. 20 : 1–11. DOI : 10.1007 / 978-1-4613-9719-9_1 . ISBN 978-1-4613-9719-9.
- ^ Liu, Z. -J .; Сюй, П. (1996-01-01). «Биалгеброиды точной лжи и группоиды Пуассона» . Геометрический и функциональный анализ GAFA . 6 (1): 138–145. DOI : 10.1007 / BF02246770 . ISSN 1420-8970 . S2CID 121836719 .
- ^ Крайник, Мариус; Фернандес, Руи (2003-03-01). «Интегрируемость скобок Ли» . Анналы математики . 157 (2): 575–620. DOI : 10.4007 / анналы.2003.157.575 . ISSN 0003-486X .
- ^ Замбон, Марко (2011). Эбелинг, Вольфганг; Хулек, Клаус; Смочик, Кнут (ред.). «Подмногообразия в геометрии Пуассона: обзор» . Комплексная и дифференциальная геометрия . Труды Спрингера по математике. Берлин, Гейдельберг: Springer. 8 : 403–420. DOI : 10.1007 / 978-3-642-20300-8_20 . ISBN 978-3-642-20300-8.
Книги и обзоры
- Bhaskara, KH; Вишванат К. (1988). Алгебры Пуассона и многообразия Пуассона . Лонгман. ISBN 0-582-01989-3.
- Каннас да Силва, Ана ; Вайнштейн, Алан (1999). Геометрические модели некоммутативных алгебр . Конспект лекций по математике в Беркли, 10.
- Dufour, J.P .; Зунг, NT (2005). Пуассоновы структуры и их нормальные формы . 242 . Биркхойзер Успехи в математике.
- Крайник, Мариус ; Лоха Фернандес, Руи ; Маркуш, Иоан (2021 г.). Лекции по пуассоновской геометрии (PDF) . Аспирантура по математике . Американское математическое общество (в печати).Предыдущая версия доступна на [1] .
- Гийемен, Виктор ; Штернберг, Шломо (1984). Симплектические методы в физике . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-24866-3.
- Либерманн, Полетт ; Марл, К.-М. (1987). Симплектическая геометрия и аналитическая механика . Дордрехт: Рейдел. ISBN 90-277-2438-5.
- Вайсман, Идзу (1994). Лекции по геометрии пуассоновых многообразий . Birkhäuser.См. Также обзор Пин Сюй в бюллетене AMS.
- Вайнштейн, Алан (1998). «Геометрия Пуассона». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 9 (1–2): 213–238. DOI : 10.1016 / S0926-2245 (98) 00022-9 .