Структурные константы

Используя кросс-произведение в качестве скобки Ли, алгебра трехмерных вещественных векторов является алгеброй Ли, изоморфной алгебрам Ли SU (2) и SO (3). Структурные константы:, где - антисимметричный символ Леви-Чивиты .${\ displaystyle f ^ {abc} = \ epsilon ^ {abc}}$${\ displaystyle \ epsilon ^ {abc}}$

В математике , что структурные константы или структурные коэффициенты А.Н. алгебры над полем используется для явного указания произведения двух базисных векторов в алгебре в качестве линейной комбинации . Учитывая структурные константы, результирующее произведение является билинейным и может быть однозначно расширено на все векторы в векторном пространстве, таким образом однозначно определяя произведение для алгебры.

Структурные константы используются всякий раз, когда необходимо указать явную форму алгебры. Таким образом, они часто используются при обсуждении алгебр Ли в физике , поскольку базисные векторы указывают определенные направления в физическом пространстве или соответствуют определенным частицам . Напомним, что алгебры Ли - это алгебры над полем, причем билинейное произведение задается скобкой или коммутатором Ли .

Определение [ править ]

Учитывая набор базисных векторов для основного векторного пространства алгебры, структурные константы или структурные коэффициенты выражают умножение пар векторов как линейную комбинацию :${\ Displaystyle \ {\ mathbf {е} _ {я} \}}$ ${\displaystyle c_{ij}^{\;k}}$${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\sum _{k}c_{ij}^{\;\;k}\mathbf {e} _{k}}$.

Верхний и нижний индексы часто не различаются, если алгебра не наделена какой-либо другой структурой, которая потребовала бы этого (например, псевдоримановой метрикой на алгебре неопределенной ортогональной группы so ( p , q )). То есть структурные константы часто записываются с верхними или нижними индексами. Таким образом, различие между верхним и нижним является условием, напоминающим читателю, что нижние индексы ведут себя как компоненты двойственного вектора , т.е. ковариантны при изменении базиса , в то время как верхние индексы контравариантны .

Очевидно, что структурные константы зависят от выбранного базиса. Для алгебр Ли одно часто используемое соглашение о базисе выражается в терминах лестничных операторов, определенных подалгеброй Картана ; это представлено ниже в статье после некоторых предварительных примеров.

Пример: алгебры Ли [ править ]

Для алгебры Ли базисные векторы называются генераторами алгебры, а произведение задается скобкой Ли . То есть, алгебра продукт будет определен как скобка Ли: для двух векторов и в алгебре, продукт В частности, алгебра продукт не должен быть перепутан с матрицей продуктом, и , таким образом , иногда требуется альтернативное обозначение.${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\cdot B\equiv [A,B].}$${\displaystyle \cdot }$

В этом случае нет особой необходимости различать верхний и нижний индексы; они могут быть записаны полностью или полностью вниз. В физике обычно используются обозначения для генераторов и или (игнорируя различие между верхним и нижним) для структурных констант. Скобка Ли пар образующих представляет собой линейную комбинацию образующих из множества, т. Е.${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle f_{ab}^{\;\;c}}$${\displaystyle f^{abc}}$

${\displaystyle [T_{a},T_{b}]=\sum _{c}f_{ab}^{\;\;c}T_{c}}$.

Путем линейного расширения структурные константы полностью определяют скобки Ли всех элементов алгебры Ли.

Все алгебры Ли удовлетворяют тождеству Якоби . Для базисных векторов это можно записать как

${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0}$

и это непосредственно приводит к соответствующему тождеству в терминах структурных констант:

${\displaystyle f_{ad}^{\;\;e}f_{bc}^{\;\;d}+f_{bd}^{\;\;e}f_{ca}^{\;\;d}+f_{cd}^{\;\;e}f_{ab}^{\;\;d}=0.}$

Вышеупомянутая и оставшаяся часть этой статьи используют соглашение Эйнштейна о суммировании для повторяющихся индексов.

Структурные константы играют роль в представлениях алгебры Ли и фактически дают в точности матричные элементы присоединенного представления . Форма Киллинга и инвариант Казимира также имеют особенно простую форму, когда записываются в терминах структурных констант.

Структурные константы часто появляются в приближении формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа для произведения двух элементов группы Ли . Для малых элементов алгебры Ли структура группы Ли около единицы задается формулой ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)\approx \exp(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]).}$

Обратите внимание на коэффициент 1/2. Они также появляются в явных выражениях для дифференциалов, таких как ; см. подробности в формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа # Бесконечно малый случай .${\displaystyle e^{-X}de^{X}}$

Примеры алгебры Ли [ править ]

${\displaystyle {{\mathfrak {s}}u}(2)}$и ${\displaystyle {{\mathfrak {s}}o}(3)}$[ редактировать ]

Алгебра из специальной унитарной группы SU (2) трехмерно, с генераторами , заданных матриц Паули . Генераторы группы SU (2) удовлетворяют коммутационным соотношениям (где - символ Леви-Чивиты ):${\displaystyle {{\mathfrak {s}}u}(2)}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle \epsilon ^{abc}}$

${\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\epsilon ^{abc}\sigma _{c}}$

где

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

В этом случае структурные константы равны . Обратите внимание, что константа 2i может быть включена в определение базисных векторов; таким образом, определяя , можно с равным успехом написать${\displaystyle f^{abc}=2i\epsilon ^{abc}}$${\displaystyle t_{a}=-i\sigma _{a}/2}$

${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=\epsilon ^{abc}t_{c}}$

Это подчеркивает, что алгебра Ли группы Ли SU (2) изоморфна алгебре Ли группы SO (3) . Это приводит структурные константы в соответствие с константами группы вращения SO (3) . То есть коммутатор для операторов углового момента обычно записывается как${\displaystyle {{\mathfrak {s}}u}(2)}$${\displaystyle {{\mathfrak {s}}o}(3)}$

${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=\epsilon ^{ijk}L_{k}}$

где

${\displaystyle L_{x}=L_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle L_{y}=L_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle L_{z}=L_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

написаны так, чтобы подчиняться правилу правой руки для вращений в трехмерном пространстве.

Разница в множителе 2i между этими двумя наборами структурных констант может приводить в бешенство, поскольку включает в себя некоторые тонкости. Так, например, двумерному комплексному векторному пространству можно придать реальную структуру . Это приводит к двум неэквивалентным двумерный фундаментальным представлениям о , которые изоморфны, но являются комплексно сопряженными представлениями ; оба, однако, считаются реальными репрезентациями именно потому, что они действуют в пространстве с реальной структурой . ^[1] В случае трех измерений существует только одно трехмерное представление, присоединенное представление , которое является${\displaystyle {{\mathfrak {s}}u}(2)}$реальное представительство ; точнее, это то же самое, что и его двойное представление , показанное выше. То есть, транспонирование само по себе минус:${\displaystyle L_{k}^{T}=-L_{k}.}$

В любом случае группы Ли считаются действительными именно потому, что можно записать структурные константы так, чтобы они были чисто действительными.

${\displaystyle {{\mathfrak {s}}u}(3)}$[ редактировать ]

Менее тривиальный пример дается SU (3) : ^[2]

Его генераторами T в определяющем представлении являются:

${\displaystyle T^{a}={\frac {\lambda ^{a}}{2}}.\,}$

где , как матрицы Гелл-Манна , являются SU (3) аналогом матрицы Паули для SU (2):${\displaystyle \lambda \,}$

${\displaystyle \lambda ^{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda ^{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda ^{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda ^{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda ^{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda ^{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda ^{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda ^{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.}$

Они подчиняются отношениям

${\displaystyle \left[T^{a},T^{b}\right]=if^{abc}T^{c}\,}$

${\displaystyle \{T^{a},T^{b}\}={\frac {1}{3}}\delta ^{ab}+d^{abc}T^{c}.\,}$

Структурные константы полностью антисимметричны. Их дают:

${\displaystyle f^{123}=1\,}$

${\displaystyle f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2}}\,}$

${\displaystyle f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}},\,}$

и все другие, не связанные с ними перестановкой индексов, равны нулю.${\displaystyle f^{abc}}$

D принимают значения:

${\displaystyle d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}$

${\displaystyle d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,}$

${\displaystyle d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{2}}.\,}$

Примеры из других алгебр [ править ]

Полиномы Холла [ править ]

Полиномы Холла - это структурные константы алгебры Холла .

Алгебры Хопфа [ править ]

В дополнение к произведению, копроизведение и антипод алгебры Хопфа могут быть выражены в терминах структурных констант. Подключения аксиома , которая определяет условие согласованности на алгебре Хопфа, может быть выражена как отношение между этими различными структурными константами.

Приложения [ править ]

• Группа Ли абелева именно тогда, когда все структурные константы равны 0.
• Группа Ли реальна именно тогда, когда действительны ее структурные константы.
• Структурные константы полностью антисимметричные по всем индексам , если и только если алгебра Ли является прямой суммой из простых компактных алгебр Ли .
• Нильпотентная группа Ли допускает решетку тогда и только тогда , когда ее алгебра Ли допускает базис с рациональными структурными константами: это критерий Мальцева . Не все нильпотентные группы Ли допускают решетки; для более подробной информации см. также Рагхунатан. ^[3]
• В КХДЕ , символ представляет собой датчик ковариантного тензора глюонных напряженностей поля , аналогичный тензор напряженности электромагнитного поля , F ^μν , в квантовой электродинамике . Выдается: ^[4]${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}\,}$

${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{\mu }^{b}{\mathcal {A}}_{\nu }^{c}\,,}$

где f _abc - структурные константы SU (3). Обратите внимание, что правила отжимания или опускания индексов a , b или c тривиальны , (+, ... +), так что f ^abc = f _abc = f
_Ьстогда как для индексов μ или ν используются нетривиальные релятивистские правила, соответствующие, например, метрической сигнатуре (+ - - -).

Выбор основы алгебры Ли [ править ]

Один из традиционных подходов к обеспечению основы алгебры Ли заключается в использовании так называемых «лестничных операторов», которые появляются как собственные векторы подалгебры Картана . Здесь кратко описывается построение этого базиса с использованием общепринятых обозначений. Альтернативную конструкцию (конструкцию Серра ) можно найти в статье о полупростой алгебре Ли .

Для алгебры Ли подалгебра Картана является максимальной абелевой подалгеброй. По определению, он состоит из тех элементов, которые коммутируют друг с другом. Ортонормирована базис может быть свободно выбран на ; напишите эту основу как с${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle H_{1},\cdots ,H_{r}}$

${\displaystyle \langle H_{i},H_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

где - внутренний продукт в векторном пространстве. Размерность этой подалгебры называется рангом алгебры. В присоединенном представлении матрицы взаимно коммутируют и могут быть одновременно диагонализованы. Матрицы имеют (одновременные) собственные векторы ; те, у которых собственное значение ненулевое , условно обозначаются . Вместе с этим они охватывают все векторное пространство . Тогда коммутационные соотношения имеют вид${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathrm {ad} (H_{i})}$${\displaystyle \mathrm {ad} (H_{i})}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle E_{\alpha }}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [H_{i},H_{j}]=0\quad {\mbox{and}}\quad [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }}$

Собственные векторы определены только до общего масштаба; одна обычная нормализация - установить ${\displaystyle E_{\alpha }}$

${\displaystyle \langle E_{\alpha },E_{-\alpha }\rangle =1}$

Это позволяет записать оставшиеся коммутационные соотношения в виде

${\displaystyle [E_{\alpha },E_{-\alpha }]=\alpha _{i}H_{i}}$

а также

${\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]=N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta }}$

с этим последним при условии , что корни ( как определено ниже) суммы на ненулевое значение: . Иногда называют лестничными операторами , так как они обладают этим свойством повышения / понижения стоимости .${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle \alpha +\beta \neq 0}$${\displaystyle E_{\alpha }}$${\displaystyle \beta }$

Для данного , их столько, сколько есть, и поэтому можно определить вектор , этот вектор называется корнем алгебры. Корни алгебр Ли появляются в регулярных структурах (например, в простых алгебрах Ли корни могут иметь только две разные длины); подробности см. в корневой системе .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle \alpha =\alpha _{i}H_{i}}$

Структурные константы обладают тем свойством, что они не равны нулю только тогда, когда являются корнем. Кроме того, они антисимметричны:${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }}$${\displaystyle \alpha +\beta }$

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{\beta ,\alpha }}$

и всегда можно выбрать так, чтобы

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{-\alpha ,-\beta }}$

Они также подчиняются условиям коцикла: ^[5]

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=N_{\beta ,\gamma }=N_{\gamma ,\alpha }}$

когда бы то ни было , а также что${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =0}$

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }N_{\gamma ,\delta }+N_{\beta ,\gamma }N_{\alpha ,\delta }+N_{\gamma ,\alpha }N_{\beta ,\delta }=0}$

всякий раз, когда .${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =0}$

Ссылки [ править ]