Ковариантное преобразование

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Ковариантное преобразование»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) Ведущий раздел этой статьи может быть слишком длинным для всей статьи . Помогите, переместив какой-нибудь материал из него в основную часть статьи. Пожалуйста, прочтите руководство по макету и рекомендации по разделу, чтобы убедиться, что в разделе по-прежнему содержатся все важные детали. Пожалуйста, обсудите этот вопрос на странице обсуждения статьи . ( Ноябрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В физике , ковариантны преобразование является правилом , которое определяет , как определенные объекты, такие как векторы или тензоры , изменение под изменением базиса . Преобразование, которое описывает новые базисные векторы как линейную комбинацию старых базисных векторов, определяется как ковариантное преобразование . Обычно индексы, идентифицирующие базисные векторы, размещаются как более низкие индексы, как и все объекты, которые преобразуются одинаково. Обратное к ковариантному преобразованию - это контравариантное преобразование . Когда вектор должен быть инвариантнымпри изменении основы, то есть он должен представлять тот же геометрический или физический объект, имеющий ту же величину и направление, что и раньше, его компоненты должны трансформироваться в соответствии с правилом контраварианта. Обычно индексы, идентифицирующие компоненты вектора, помещаются как верхние индексы, как и все индексы объектов, которые преобразуются одинаково. Сумма по индексам попарного совпадения продукта с одинаковыми нижним и верхним индексами инвариантна относительно преобразования.

Сам вектор - это геометрическая величина, в принципе не зависящая (инвариантная) от выбранного базиса. Вектор v задается, скажем, в компонентах v ⁱ на выбранном базисе e _i . С другой стороны, скажем, e ′ _j , один и тот же вектор v имеет разные компоненты v ′ ^j и

${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ sum _ {i} v ^ {i} {\ mathbf {e}} _ {i} = \ sum _ {j} {v '\,} ^ {j} \ mathbf {e} '_ {j}.}$

Как вектор, v должен быть инвариантным для выбранной системы координат и независимым от любого выбранного базиса, то есть его «реальное» направление и величина должны быть одинаковыми независимо от базисных векторов. Если мы выполняем изменение базиса путем преобразования векторов e _i в базисные векторы e _j , мы также должны обеспечить преобразование компонентов v ⁱ в новые компоненты v ^j для компенсации.

Необходимое преобразование v называется правилом контравариантного преобразования .

В показанном примере вектор описывается двумя разными системами координат: прямоугольной системой координат (черная сетка) и радиальной системой координат (красная сетка). Базисные векторы были выбраны для обеих систем координат: e _x и e _y для прямоугольной системы координат и e _r и e _φ для радиальной системы координат. Радиальные базисные векторы e _r и e _φ кажутся повернутыми против часовой стрелки относительно прямоугольных базисных векторов e _x и e _y . Ковариантное преобразование,${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i\in \{x,y\}}v^{i}{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j\in \{r,\phi \}}{v'\,}^{j}\mathbf {e} '_{j}.}$выполняется по отношению к базисным векторам, таким образом, вращение против часовой стрелки происходит от первых базисных векторов ко вторым базисным векторам.

Координаты v должны быть преобразованы в новую систему координат, но сам вектор v , как математический объект, остается независимым от выбранного базиса, появляясь указывающим в том же направлении и с той же величиной, инвариантным к изменению координат. . Контравариантное преобразование обеспечивает это, компенсируя вращение между различными основаниями. Если мы рассмотрим v в контексте радиальной системы координат, кажется, что она повернута больше по часовой стрелке относительно базисных векторов e _r и e _φ . по сравнению с тем, как это выглядело относительно прямоугольных базисных векторов e _x и e _y. Таким образом, необходимое контравариантное преобразование в v в этом примере - это вращение по часовой стрелке.

Примеры ковариантного преобразования [ править ]

Производная функции преобразуется ковариантно [ править ]

Явный вид ковариантного преобразования лучше всего вводить с помощью свойств преобразования производной функции. Рассмотрим скалярную функцию f (например, температуру в некотором месте в пространстве), определенную на множестве точек p , идентифицируемых в данной системе координат (такой набор называется многообразием ). Если мы примем новую систему координат , то для каждого I , оригинальная координата может быть выражена как функция от новых координат, так можно выразить производную е в старых координатах в терминах новых координат, используя правило цепи из производная, как${\displaystyle x^{i},\;i=0,1,\dots }$${\displaystyle {x'}^{j},j=0,1,\dots }$${\displaystyle {x}^{i}}$${\displaystyle x^{i}\left({x'}^{j}\right),j=0,1,\dots }$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {x}^{i}}}={\frac {\partial f}{\partial {x'}^{j}}}\;{\frac {\partial {x'}^{j}}{\partial {x}^{i}}}}$

Это явная форма правила ковариантного преобразования . В обозначении нормальной производной по координатам иногда используется запятая, как показано ниже.

${\displaystyle f_{,i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$

где индекс i помещается как нижний индекс из-за ковариантного преобразования.

Базисные векторы преобразуются ковариантно [ править ]

Вектор можно выразить с помощью базисных векторов. Для определенной системы координат мы можем выбрать векторы, касательные к координатной сетке. Этот базис называется координатным.

Чтобы проиллюстрировать свойства преобразования, снова рассмотрим набор точек p , идентифицируемых в данной системе координат, где ( многообразие ). Скалярная функция f , которая присваивает действительное число каждой точке p в этом пространстве, является функцией координат . Кривая - это однопараметрический набор точек c , скажем, с параметром кривой λ, c (λ). Касательный вектор v к кривой - это производная вдоль кривой с производной, взятой в рассматриваемой точке p . Обратите внимание, что мы можем рассматривать касательный вектор v как оператор${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle i=0,1,\dots }$${\displaystyle f\;\left(x^{0},x^{1},\dots \right)}$${\displaystyle dc/d\lambda }$( производная по направлению ), которую можно применить к функции

${\displaystyle \mathbf {v} [f]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {df}{d\lambda }}={\frac {d\;\;}{d\lambda }}f(c(\lambda ))}$

Параллель между касательным вектором и оператором также может быть вычислена в координатах

${\displaystyle \mathbf {v} [f]={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$

или с точки зрения операторов ${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {\partial \;\;}{\partial x^{i}}}={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}\mathbf {e} _{i}}$

где мы написали , касательные векторы к кривым, которые являются просто координатной сеткой.${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial /\partial x^{i}}$

Если мы примем новую систему координат, то для каждого i старая координата может быть выражена как функция новой системы, поэтому пусть будет базисными, касательными векторами в этой новой системе координат. Мы можем выразить в новой системе, применив цепное правило к x . В зависимости от координат находим следующее преобразование${\displaystyle {x'}^{i},\;i=0,1,\dots }$${\displaystyle {x^{i}}}$${\displaystyle x^{i}\left({x'}^{j}\right),j=0,1,\dots }$${\displaystyle \mathbf {e} '_{i}={\partial }/{\partial {x'}^{i}}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {e} '_{i}={\frac {\partial }{\partial {x'}^{i}}}={\frac {\partial x^{j}}{\partial {x'}^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}={\frac {\partial x^{j}}{\partial {x'}^{i}}}\mathbf {e} _{j}}$

что действительно совпадает с ковариантным преобразованием производной функции.

Контравариантное преобразование [ править ]

Эти компоненты а (касательном) вектора преобразования по-другому, называется контравариантным преобразования. Рассмотрим касательный вектор v и назовем его компоненты по базису . На другом основании мы называем компоненты , поэтому${\displaystyle v^{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} '_{i}}$${\displaystyle {v'}^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}={v'}^{i}\mathbf {e} '_{i}}$

в котором

${\displaystyle v^{i}={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}\;{\mbox{ and }}\;{v'}^{i}={\frac {d{x'}^{i}}{d\lambda }}}$

Если выразить новые компоненты через старые, тогда

${\displaystyle {v'}^{i}={\frac {d{x'}^{i}}{d\lambda \;\;}}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{j}}}{v}^{j}}$

Это явная форма преобразования, называемого контравариантным преобразованием, и мы отметим, что это другое и просто обратное ковариантному правилу. Чтобы отличить их от ковариантных (касательных) векторов, сверху ставится индекс.

Дифференциальные формы трансформируются контравариантно [ править ]

Пример контравариантного преобразования дается дифференциальной формой df . Для F в зависимости от координат , DF может быть выражен в терминах . Дифференциалы dx преобразуются по контравариантному правилу, поскольку${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle dx^{i}}$

${\displaystyle d{x'}^{i}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial {x}^{j}}}{dx}^{j}}$

Двойные свойства [ править ]

Сущности, которые преобразуются ковариантно (например, базисные векторы), и сущности, которые преобразуются контравариантно (например, компоненты векторных и дифференциальных форм), «почти одинаковы», но все же они разные. У них есть «двойственные» свойства. То, что стоит за этим, математически известно как двойственное пространство, которое всегда сочетается с данным линейным векторным пространством .

Возьмем любое векторное пространство T. Функция f на T называется линейной, если для любых векторов v , w и скаляра α:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} )\\f(\alpha \mathbf {v} )&=\alpha f(\mathbf {v} )\end{aligned}}}$

Простым примером является функция, которая присваивает вектору значение одного из его компонентов (называемая функцией проекции ). Он имеет вектор в качестве аргумента и присваивает действительное число, значение компонента.

Все такие скалярнозначные линейные функции вместе образуют векторное пространство, называемое двойственным пространством к T. Сумма f + g снова является линейной функцией для линейных f и g , и то же самое верно для скалярного умножения α f .

Учитывая базис для T, мы можем определить базис, называемый дуальным базисом для двойственного пространства, естественным образом, взяв набор линейных функций, упомянутых выше: функции проекции. Каждая функция проекции (индексированная ω) производит число 1 при применении к одному из базисных векторов . Например, дает 1 и ноль в другом месте. Применение этой линейной функции к вектору дает (используя ее линейность)${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \omega ^{0}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$${\displaystyle {\omega }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \omega ^{0}(\mathbf {v} )=\omega ^{0}(v^{i}\mathbf {e} _{i})=v^{i}\omega ^{0}(\mathbf {e} _{i})=v^{0}}$

так что просто значение первой координаты. По этой причине она называется функцией проекции .

Существует столько же двойственных базисных векторов, сколько и базисных векторов , поэтому двойственное пространство имеет ту же размерность, что и само линейное пространство. Это «почти то же самое пространство», за исключением того, что элементы двойственного пространства (называемые дуальными векторами ) преобразуются ковариантно, а элементы касательного векторного пространства преобразуются контравариантно.${\displaystyle \omega ^{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

Иногда вводятся дополнительные обозначения, где действительное значение линейной функции σ на касательном векторе u задается как

${\displaystyle \sigma [\mathbf {u} ]:=\langle \sigma ,\mathbf {u} \rangle }$

где действительное число. Это обозначение подчеркивает билинейность формы. Она линейна по σ, поскольку это линейная функция, и линейна по u, поскольку это элемент векторного пространства.${\displaystyle \langle \sigma ,\mathbf {u} \rangle }$

Ко- и контравариантные компоненты тензора [ править ]

Без координат [ править ]

Тензор от типа ( г , ев ) может быть определен как вещественнозначные полилинейными функции г двойных векторов и с векторами. Поскольку векторы и двойственные векторы могут быть определены независимо от системы координат, тензор, определенный таким образом, не зависит от выбора системы координат.

Обозначение тензора:

${\displaystyle {\begin{aligned}&T\left(\sigma ,\ldots ,\rho ,\mathbf {u} ,\ldots ,\mathbf {v} \right)\\\equiv {}&{T^{\sigma \ldots \rho }}_{\mathbf {u} \ldots \mathbf {v} }\end{aligned}}}$

для двойственных векторов (дифференциальных форм) ρ , σ и касательных векторов . Во второй записи различие между векторами и дифференциальными формами более очевидно.${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$

С координатами [ править ]

Поскольку тензор линейно зависит от своих аргументов, он полностью определяется, если известны значения на основе и${\displaystyle \omega ^{i}\ldots \omega ^{j}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\ldots \mathbf {e} _{l}}$

${\displaystyle T(\omega ^{i},\ldots ,\omega ^{j},\mathbf {e} _{k}\ldots \mathbf {e} _{l})={T^{i\ldots j}}_{k\ldots l}}$

Числа называются компонентами тензора по выбранному базису .${\displaystyle {T^{i\ldots j}}_{k\ldots l}}$

Если мы выберем другой базис (который является линейной комбинацией исходного базиса), мы сможем использовать линейные свойства тензора и обнаружим, что компоненты тензора в верхних индексах преобразуются как двойственные векторы (так контравариантные), тогда как нижние индексы преобразуются как базис касательных векторов и, таким образом, ковариантны. Для тензора ранга 2 можно проверить, что

${\displaystyle {A'}_{ij}={\frac {\partial x^{l}}{\partial {x'}^{i}}}{\frac {\partial x^{m}}{\partial {x'}^{j}}}A_{lm}}$ ковариантный тензор

${\displaystyle {A'\,}^{ij}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{l}}}{\frac {\partial {x'}^{j}}{\partial x^{m}}}A^{lm}}$ контравариантный тензор

Для смешанного ко- и контравариантного тензора ранга 2

${\displaystyle {A'\,}^{i}{}_{j}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{l}}}{\frac {\partial x^{m}}{\partial {x'}^{j}}}A^{l}{}_{m}}$ смешанный ко- и контравариантный тензор

См. Также [ править ]

• Ковариация и контравариантность векторов
• Общая ковариация
• Ковариация Лоренца