Тавтологическая одноформа

В математике , то тавтологическая один-форма представляет собой специальная 1-форма , определенная на кокасательном расслоении в виде многообразия . В физике он используется для установления соответствия между скоростью точки в механической системе и ее импульсом, тем самым обеспечивая мост между лагранжевой механикой и гамильтоновой механикой (на многообразии ). ${\ displaystyle T ^ {*} Q}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle Q}$

Внешняя производная этой формы определяет симплектическую форму дает структуру симплектического многообразия . Тавтологическая одна форма играет важную роль в связывании формализма гамильтоновой механики и лагранжевой механики . Тавтологическая одна формы иногда также называют лиувиллевскую один-формой , то Пуанкар одна формой , то канонической одна формы , или симплектическим потенциалом . Аналогичным объектом является каноническое векторное поле на касательном расслоении . ${\ displaystyle T ^ {*} Q}$

Чтобы определить тавтологическую единичную форму, выберите координатную карту на и каноническую систему координат на. Выберите произвольную точку По определению котангенсного расслоения, где и Тавтологическая единая форма задается формулой ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle T ^ {*} Q}$ ${\ displaystyle U.}$ ${\ displaystyle m \ in T ^ {*} Q.}$ ${\ Displaystyle м = (д, р),}$ ${\ displaystyle q \ in Q}$ ${\ displaystyle p \ in T_ {q} ^ {*} Q.}$ ${\ displaystyle \ theta _ {m}: T_ {m} T ^ {*} Q \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ theta _ {m} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} dq ^ {i},}

с и являясь координатным представлением ${\ displaystyle n = \ mathop {\ text {dim}} Q}$ ${\ displaystyle (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) \ in U \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle p.}$

Любые координаты , сохраняющие это определение, с точностью до полного дифференциала ( точной формы ), могут быть названы каноническими координатами; преобразования между различными каноническими системами координат известны как канонические преобразования . ${\ displaystyle T ^ {*} Q}$

Каноническая симплектическая форма , также известная как Пуанкар два-форма , задаются

\omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}

Распространение этой концепции на обычные пучки волокон известно как форма припоя . По соглашению, фраза «каноническая форма» используется всякий раз, когда форма имеет уникальное каноническое определение, а термин «припаянная форма» - всякий раз, когда необходимо сделать произвольный выбор. В алгебраической геометрии и сложной геометрии термин «канонический» не приветствуется из-за путаницы с каноническим классом , а термин «тавтологический» предпочтительнее, как в тавтологической связке .

Физическая интерпретация [ править ]

Под переменными подразумеваются обобщенные координаты , так что точка - это точка в конфигурационном пространстве . Касательное пространство соответствует скоростям, так что если он движется по траектории , мгновенная скорость в точке соответствует точке $q_{i}$ $q\in Q$ $TQ$ $q$ $q(t)$ $t=0$

\left.{\frac {dq(t)}{dt}}\right|_{t=0}={\dot {q}}\in TQ

на касательном многообразии для данного положения системы в точке . Скорости подходят для лагранжевой формулировки классической механики, но в гамильтоновой формулировке работают с импульсами, а не со скоростями; тавтологическая одноформа - это устройство, преобразующее скорости в импульсы. $TQ$ $q\in Q$

То есть тавтологическая однократная форма присваивает числовое значение импульсу для каждой скорости и более: она делает так, что они указывают «в одном направлении» и линейно, так что величины растут пропорционально. Он называется «тавтологическим» именно потому, что «конечно» скорость и импульсы обязательно пропорциональны друг другу. Это своего рода припой , потому что он «склеивает» или «спаивает» каждую скорость с соответствующим импульсом. Выбор склейки уникален; каждый вектор импульса по определению соответствует только одному вектору скорости. Тавтологическую единичную форму можно рассматривать как средство перехода от лагранжевой механики к гамильтоновой. $p$ ${\dot {q}}$

Определение без координат [ править ]

Тавтологическую 1-форму можно также довольно абстрактно определить как форму на фазовом пространстве . Позвольте быть многообразием и быть кокасательным расслоением или фазовым пространством . Позволять $Q$ $M=T^{*}Q$

\pi :M\to Q

- проекция канонического расслоения, и пусть

\mathrm {d} \pi :TM\to TQ

- индуцированное касательное отображение . Позвольте быть точкой . Поскольку это кокасательное расслоение, мы можем понимать отображение касательного пространства в точке : $m$ $M$ $M$ $m$ $q=\pi (m)$

m:T_{q}Q\to \mathbb {R}

.

То есть у нас есть то, что находится в волокне . Тогда тавтологическая одноформа в точке определяется как $m$ $q$ $\theta _{m}$ $m$

\theta _{m}=m\circ \mathrm {d} \pi _{m}

.

Это линейная карта

\theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R}

и другие

\theta :M\to T^{*}M

.

Симплектический потенциал [ править ]

Симплектический потенциал обычно определяется немного более свободно, а также определяется только локально: это любая одна форма, такая что ; в действительности симплектические потенциалы отличаются от канонической 1-формы замкнутой формой . $\phi$ $\omega =-d\phi$

Свойства [ править ]

Тавтологическая одноформа - это единственная форма, которая «отменяет» откат . То есть, пусть будет 1-формой на это раздел Для произвольной 1-формы на поднятии пути , по определению, здесь, является прямым образом из Like является 1-формой на Тавтологическую одной форме является единственным форма со свойством, что для каждой 1-формы на $\beta$ $Q.$ $\beta$ $\beta :Q\to T^{*}Q.$ $\omega$ $T^{*}Q,$ $\omega$ $\beta$ $\beta ^{*}\omega :=\omega \circ \beta _{*}.$ $\beta _{*}:TQ\to TT^{*}Q$ $\beta .$ $\beta ,$ $\beta ^{*}\omega$ $Q.$ $\theta$ $\beta ^{*}\theta =\beta ,$ $\beta$ $Q.$

Доказательство.

Для диаграммы на (где пусть - координаты того места, где координаты волокна связаны с линейным базисом. По предположению, для каждого $(\{q^{i}\}_{i=1}^{n},U)$ $Q$ $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}),$ $\{p_{i},q^{i}\}_{i=1}^{n}$ $T^{*}Q,$ $\{p_{i}\}_{i=1}^{n}$ $\{dq^{i}\}_{i=1}^{n}.$ ${\mathbf {q} }=(q^{1},\ldots ,q^{n})\in U,$

\beta ({\mathbf {q} })=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}(\mathbf {q} )\,dq^{i},

или же

\mathbf {q} =(q^{1},\ldots ,q^{n})\ {\stackrel {\beta }{\to }}\ (\underbrace {q^{1},\ldots ,q^{n}} _{\mathbf {q} },\underbrace {\beta _{1}(\mathbf {q} ),\ldots ,\beta _{n}(\mathbf {q} } _{\mathbf {p} })).

Следует, что

\beta _{*}\left({\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\Biggl |}_{\mathbf {q} }\right)={\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\Biggl |}_{\beta (\mathbf {q} )}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \beta _{j}}{\partial q^{i}}}{\Biggl |}_{\mathbf {q} }\cdot {\frac {\partial }{\partial p_{j}}}{\Biggl |}_{\beta (\mathbf {q} )}

откуда следует, что

(\beta ^{*}\,dq^{i})\left({\partial /\partial q^{j}}\right)_{\mathbf {q} }=dq^{i}\left[\beta _{*}\left({\partial /\partial q^{j}}\right)_{\mathbf {q} }\right]=\delta _{ij}.

Шаг 1. У нас есть

{\begin{aligned}(\beta ^{*}\theta )\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }&=\theta \left(\beta _{*}\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }\right)=\left(\sum _{j=1}^{n}p_{j}dq^{j}\right)\left(\beta _{*}\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }\right)\\&=\beta _{i}(\mathbf {q} )=\beta \left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }.\end{aligned}}

Шаг 1'. Для полноты изложения приведем бескординатное доказательство того, что для любой 1-формы $\beta ^{*}\theta =\beta ,$ $\beta .$

Заметим, что, интуитивно говоря, для каждого и линейного отображения в определении проецирует касательное пространство на его подпространство. Как следствие, для каждого и $q\in Q$ $p\in T_{q}Q,$ $d\pi _{(p,q)}$ $\theta$ $T_{(p,q)}T^{*}Q$ $T_{q}Q.$ $q\in Q$ $v\in T_{q}Q,$

d\pi _{\beta (q)}(\beta _{*q}v)=v,

где экземпляр в точке ie $\beta _{*q}$ $\beta _{*}$ $q\in Q,$

\beta _{*q}:T_{q}Q\to T_{\beta (q)}T^{*}Q.

Применяя безкоординатное определение для получения $\theta$ $\theta _{\beta (q)},$

(\beta ^{*}\theta )_{q}v=\theta _{\beta (q)}(\beta _{*q}v)=\beta (q)(d\pi _{\beta (q)}(\beta _{*q}v))=\beta (q)v.

Шаг 2. Достаточно показать, что если для каждой одноформной формы Пусть $\alpha =0$ $\beta ^{*}\alpha =0,$ $\beta .$

\alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\,dq^{i}+\sum _{i=1}^{n}\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\,dp_{i},

где Подставляя в тождество, получаем $\alpha _{p^{i}},\alpha _{q^{i}}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}\times U,\mathbb {R} ).$ $v=\left(\partial /\partial q_{i}\right)_{\mathbf {q} }$ $\alpha (\beta _{*}v)=0$

\alpha (\partial /\partial q^{i})_{\beta (\mathbf {q} )}+\sum _{j=1}^{n}(\partial \beta _{j}/\partial q^{i})_{\mathbf {q} }\cdot \alpha (\partial /\partial p_{j})_{\beta (\mathbf {q} )}=0,

или, что то же самое, для любого выбора функций $n$ $p_{i}=\beta _{i}(\mathbf {q} ),$

\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )+\sum _{j=1}^{n}\partial p_{j}/\partial q^{i}\cdot \alpha _{p_{j}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0.

Пусть где В этом случае для каждого и $\beta =\sum _{j=1}^{n}c_{j}dq^{j},$ $c_{j}={\text{const}}.$ $\beta _{j}=c_{j}.$ $\mathbf {q} \in U$ $c_{j}\in \mathbb {R} ,$

\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ){\bigl |}_{j=1\ldots n}^{p_{j}=c_{j}}=0.

Это показывает , что на и личность $\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0$ $\mathbb {R} ^{n}\times U,$

\sum _{j=1}^{n}\partial p_{j}/\partial q^{i}\cdot \alpha _{p_{j}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0

должно выполняться для произвольного выбора функций Если (с указанием верхнего индекса), то и тождество становится $p_{i}=\beta _{i}(\mathbf {q} ).$ $\beta =\sum _{j=1}^{n}c_{j}q^{j}dq^{j}$ ${}^{j}$ $\beta _{j}=c_{j}q^{j},$

\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ){\bigl |}_{j=1\ldots n}^{p_{j}=c_{j}q^{j}}=0,

для каждого и Поскольку мы видим , что до тех пор , как для всех С другой стороны, функция непрерывна, и , следовательно , на $\mathbf {q} \in U$ $c_{j}\in \mathbb {R} .$ $c_{j}=p^{j}/q^{j},$ $\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0,$ $q^{j}\neq 0$ $j.$ $\alpha _{p_{i}}$ $\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0$ $\mathbb {R} ^{n}\times U.$

Итак, посредством коммутации между обратным движением и внешней производной,

\beta ^{*}\omega =-\beta ^{*}d\theta =-d(\beta ^{*}\theta )=-d\beta

.

Действие [ править ]

Если является гамильтонианом на кокасательном расслоении и является его гамильтоновым потоком , то соответствующее действие задается формулой $H$ $X_{H}$ $S$

S=\theta (X_{H})

.

Говоря более прозаично, гамильтонов поток представляет собой классическую траекторию механической системы, подчиняющейся уравнениям движения Гамильтона-Якоби . Гамильтонов поток является интегралом гамильтонова векторного поля, поэтому можно записать, используя традиционные обозначения для переменных действие-угол :

S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}

с интегралом понимается как берутся по коллектору , определенного путем проведения энергетической константы: . $E$ $H=E={\text{const}}$

О метрических пространствах [ править ]

Если многообразие имеет риманову или псевдориманову метрику , то соответствующие определения могут быть даны в терминах обобщенных координат . В частности, если мы возьмем метрику за карту $Q$ $g$

g:TQ\to T^{*}Q

,

затем определите

\Theta =g^{*}\theta

а также

\Omega =-d\Theta =g^{*}\omega

В обобщенных координатах на , один имеет $(q^{1},\ldots ,q^{n},{\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})$ $TQ$

\Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}

а также

\Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}

Метрика позволяет определить сферу единичного радиуса в . Каноническая единичная форма, ограниченная этой сферой, образует контактную структуру ; структура контактов может использоваться для генерации геодезического потока для этой метрики. $T^{*}Q$

Ссылки [ править ]

Ральф Абрахам и Джерролд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон ISBN 0-8053-0102-X См. Раздел 3.2 .