Симплектическое многообразие

В дифференциальной геометрии , предмет математики , А симплектическое многообразие является гладким многообразием , , снабженная замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой , называется симплектическая форма . Изучение симплектических многообразий называется симплектической геометрией или симплектической топологией . Симплектические многообразия естественным образом возникают в абстрактных формулировках классической механики и аналитической механики как кокасательные расслоения многообразий. Например, в гамильтоновой формулировке${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$классической механики, которая обеспечивает одну из основных мотиваций для этой области, множество всех возможных конфигураций системы моделируется как многообразие, и кокасательное расслоение этого многообразия описывает фазовое пространство системы.

Мотивация [ править ]

Симплектические многообразия возникают из классической механики ; в частности, они являются обобщением фазового пространства замкнутой системы. ^[1] Таким же образом , что уравнения Гамильтон позволяют вывести эволюцию во время системы из набора дифференциальных уравнений , симплектическая форма должна позволить получить векторное поле , описывающее поток системы с дифференциальным дНо о наличии функция Гамильтона Н . ^[2] Итак, нам потребуется линейное отображение TM → T ^∗ M или, что то же самое, элемент из T ^∗ M⊗ Т ^* М . Полагая ω обозначает сечение из T ^* M ⊗ T ^* M , требование о том , ш быть невырожденным гарантирует , что для каждого дифференциала дНа существует единственное соответствующее векторное поле V _Н такие , что дНо = ω ( V _H , ·) . Поскольку нужно, чтобы гамильтониан был постоянным вдоль линий тока, необходимо иметь dH ( V _H ) = ω ( V _H, V _H ) = 0 , откуда следует, что ω является альтернированной и, следовательно, 2-формой. Наконец, один делает требование ω не должны изменяться под поточных линий, то есть , что производная Ли от со вдоль V _H обращается в нуль. Применяя формулу Картана , это составляет (здесь является интерьер продукта ): ${\displaystyle \iota _{X}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V_{H}}(\omega )=0\;\Leftrightarrow \;\mathrm {d} (\iota _{V_{H}}\omega )+\iota _{V_{H}}\mathrm {d} \omega =\mathrm {d} (\mathrm {d} \,H)+\mathrm {d} \omega (V_{H})=\mathrm {d} \omega (V_{H})=0}$

так что, повторяя это рассуждение для различных гладких функций, таких, что соответствующее пространство покрывает касательное пространство в каждой точке, в которой применяется аргумент, мы видим, что требование об обращении в нуль производной Ли вдоль потоков, соответствующих произвольным гладким функциям , эквивалентно требованию что ω должно быть замкнутым .${\displaystyle H}$${\displaystyle V_{H}}$${\displaystyle V_{H}}$${\displaystyle H}$

Определение [ править ]

Симплектическая форма на гладком многообразии является замкнутой невырожденной дифференциальной 2-форма . ^{[3] [4]} Здесь невырожденный означает, что для каждой точки кососимметрическое спаривание на касательном пространстве, определенном с помощью , невырождено. То есть, если существует такое, что для всех , то . Поскольку в нечетных размерностях кососимметричные матрицы всегда сингулярны, требование невырожденности подразумевает, что они имеют четную размерность. ^{[3] [4]} Замкнутое условие означает, что внешняя производная от${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle X\in T_{p}M}$${\displaystyle \omega (X,Y)=0}$${\displaystyle Y\in T_{p}M}$${\displaystyle X=0}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega }$исчезает. Симплектическое многообразие представляет собой пару , где является гладким многообразием и является симплектической формой. Назначение симплектической формы называется давая в симплектическую структуру .${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Примеры [ править ]

Симплектические векторные пространства [ править ]

Позвольте быть базисом Мы определяем нашу симплектическую форму ω на этом базисе следующим образом:${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{2n}\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}$

${\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})={\begin{cases}1&j-i=n{\text{ with }}1\leqslant i\leqslant n\\-1&i-j=n{\text{ with }}1\leqslant j\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

В этом случае симплектическая форма сводится к простой квадратичной форме . Если I _n обозначает единичную матрицу n × n, то матрица Ω этой квадратичной формы задается блочной матрицей 2 n × 2 n :

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}$

Котангенсные связки [ править ]

Позвольте быть гладким многообразием размерности . Тогда тотальное пространство кокасательного расслоения имеет естественную симплектическую форму, называемую двумя-формой Пуанкаре или канонической симплектической формой${\displaystyle Q}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}}$

Здесь любые локальные координаты на и послойные координаты относительно котангенсных векторов . Котасательные расслоения - естественные фазовые пространства классической механики. Точка различения верхнего и нижнего индексов определяется случаем многообразия, имеющего метрический тензор , как и в случае римановых многообразий . Верхний и нижний индексы трансформируются против и ковариантно при изменении системы координат. Фраза «послойные координаты относительно котангенсных векторов» предназначена для того, чтобы передать, что импульсы « спаяны » со скоростями${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n})}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})}$${\displaystyle dq^{1},\ldots ,dq^{n}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle dq^{i}}$. Пайка - это выражение идеи о том, что скорость и импульс коллинеарны, поскольку оба движутся в одном направлении и различаются масштабным коэффициентом.

Кэлеровы многообразия [ править ]

Кэлерово многообразие является симплектическим многообразием оснащен совместимой интегрируемой комплексной структурой. Они образуют особый класс комплексных многообразий . Большой класс примеров взят из сложной алгебраической геометрии . Любое гладкое комплексное проективное многообразие имеет симплектическую форму, которая является ограничением формы Фубини-Штуди на проективное пространство .${\displaystyle V\subset \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Лагранжиан и другие подмногообразия [ править ]

Существует несколько естественных геометрических понятий подмногообразия симплектического многообразия .${\displaystyle (M,\omega )}$

• симплектические подмногообразия в (потенциально любой четной размерности) - это такие подмногообразия , которые являются симплектической формой на .${\displaystyle M}$${\displaystyle S\subset M}$${\displaystyle \omega |_{S}}$${\displaystyle S}$

• изотропные подмногообразия - это подмногообразия, в которых симплектическая форма ограничивается нулем, т. е. каждое касательное пространство является изотропным подпространством касательного пространства объемлющего многообразия. Аналогично, если каждое касательное подпространство к подмногообразию коизотропно (двойственное к изотропному подпространству), подмногообразие называется коизотропным .

• Лагранжевы подмногообразия симплектического многообразия являются подмногообразиями , где ограничение симплектической формы , чтобы исчезает, то есть и . Лагранжевы подмногообразия - это максимальные изотропные подмногообразия.${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle L\subset M}$${\displaystyle \omega |_{L}=0}$${\displaystyle {\text{dim }}L={\tfrac {1}{2}}\dim M}$

Наиболее важным случаем изотропных подмногообразий является случай лагранжевых подмногообразий . Лагранжево подмногообразие по определению является изотропным подмногообразием максимальной размерности, а именно половиной размерности объемлющего симплектического многообразия. Одним из основных примеров является то, что график симплектоморфизма в симплектическом многообразии произведения ( M × M , ω × - ω ) является лагранжевым. Их пересечения демонстрируют свойства жесткости, которыми не обладают гладкие многообразия; гипотеза Арнольд дает сумму Подмногообразие в числах Беттикак оценка снизу числа самопересечений гладкого лагранжевого подмногообразия, а не как эйлерова характеристика в гладком случае.

Примеры [ править ]

Пусть помечены глобальные координаты. Тогда мы можем снабдить канонической симплектической формой ${\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}).}$${\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}$

${\displaystyle \omega =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\cdots +\mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} y_{n}.}$

Существует стандартное лагранжево подмногообразие, задаваемое формулой . Форма обращается в нуль, потому что у нас есть любая пара касательных векторов. Чтобы пояснить, рассмотрим случай . Тогда и Обратите внимание , что , когда мы расширяем это из${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}\to \mathbb {R} _{\mathbf {x} ,\mathbf {y} }^{2n}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}}$${\displaystyle X=f_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},Y=g_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},}$${\displaystyle \omega (X,Y)=0.}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle X=f(x)\partial _{x},Y=g(x)\partial _{x},}$${\displaystyle \omega =\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y.}$

${\displaystyle \omega (X,Y)=\omega (f(x)\partial _{x},g(x)\partial _{x})={\frac {1}{2}}f(x)g(x)(\mathrm {d} x(\partial _{x})\mathrm {d} y(\partial _{x})-\mathrm {d} y(\partial _{x})\mathrm {d} x(\partial _{x}))}$

Оба термина имеют коэффициент, равный 0 по определению.${\displaystyle \mathrm {d} y(\partial _{x})}$

Кокасательное расслоение многообразия локально моделируется на пространстве аналогично первому примеру. Можно показать, что мы можем склеить эти аффинные симплектические формы, следовательно, это расслоение образует симплектическое многообразие. Более нетривиальный пример лагранжевого подмногообразия - нулевое сечение кокасательного расслоения многообразия. Например, пусть

${\displaystyle X=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y^{2}-x=0\}.}$

Тогда мы можем представить как${\displaystyle T^{*}X}$

${\displaystyle T^{*}X=\{(x,y,\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\in \mathbb {R} ^{4}:y^{2}-x=0,2y\mathrm {d} y-\mathrm {d} x=0\}}$

где мы рассматриваем символы как координаты. Мы можем рассматривать подмножество, где находятся координаты и , что дает нам нулевое сечение. Этот пример можно повторить для любого многообразия, определяемого множеством исчезающих гладких функций и их дифференциалов .${\displaystyle \mathrm {d} x,\mathrm {d} y}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}=T^{*}\mathbb {R} ^{2}.}$${\displaystyle \mathrm {d} x=0}$${\displaystyle \mathrm {d} y=0}$${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$${\displaystyle \mathrm {d} f_{1},\ldots ,df_{k}}$

Другой полезный класс лагранжевых подмногообразий можно найти с помощью теории Морса. По заданной функции Морса и достаточно малому можно построить лагранжево подмногообразие, заданное исчезающим множеством . Для функции Морса общего положения у нас есть лагранжево пересечение, заданное формулой .${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)\subset T^{*}M}$${\displaystyle M\cap \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)={\text{Crit}}(f)}$

Специальные лагранжевы подмногообразия [ править ]

В случае кэлеровых многообразий (или Калаби-Яу ) , мы можем сделать выбор в качестве голоморфной п-формы, где есть реальная часть и мнимая. Лагранжево подмногообразие называется специальным, если помимо указанного лагранжевого условия ограничение на обращается в нуль. Другими словами, реальная часть, ограниченная на количество, приводит к включению формы объема . Следующие примеры известны как специальные лагранжевы подмногообразия:${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}+\mathrm {i} \Omega _{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Omega _{1}}$${\displaystyle \Omega _{2}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \Omega _{2}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \Omega _{1}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

1. комплексные лагранжевы подмногообразия гиперкелеровых многообразий ,
2. неподвижные точки вещественной структуры многообразий Калаби-Яу.

Гипотеза SYZ была доказана для специальных лагранжевых подмногообразий, но в целом она открыта и вносит большой вклад в изучение зеркальной симметрии . см. ( Hitchin 1999 )

Лагранжево расслоение [ править ]

Лагранжево расслоение симплектического многообразия М является расслоением , где все волокна являются лагранжевыми подмногообразиями. Поскольку M четномерно, мы можем взять локальные координаты ( p ₁ ,…, p _n , q ¹ ,…, q ⁿ ), и по теореме Дарбу симплектическая форма ω может быть, по крайней мере локально, записана как ω = ∑ d p _k ∧ d q ^k , где d обозначает внешнюю производнуюи ∧ обозначает внешний продукт . Эта форма называется двумерной формой Пуанкаре или канонической двумерной формой. Используя эту схему, мы можем локально рассматривать M как кокасательное расслоение, а лагранжево расслоение - как тривиальное расслоение. Это каноническая картина.${\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \pi :T^{*}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}$

Лагранжево отображение [ править ]

Пусть L - лагранжево подмногообразие симплектического многообразия ( K , ω), заданное погружением i  : L ↪ K ( i называется лагранжевым погружением ). Пусть π  : K ↠ B дает лагранжиан расслоения K . Композиция ( π ∘ i ): L ↪ K ↠ B является лагранжевым отображением . Критическое заданное значение из П ∘ я называюсьедкий .

Два лагранжевых отображения ( π ₁ ∘ i ₁ ): L ₁ ↪ K ₁ ↠ B ₁ и ( π ₂ ∘ i ₂ ): L ₂ ↪ K ₂ ↠ B ₂ называются лагранжевыми эквивалентными, если существуют диффеоморфизмы σ , τ и ν такие что обе стороны диаграммы, заданной справа, коммутируют , а τ сохраняет симплектическую форму.^[4] Условно:

${\displaystyle \tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\ \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\ \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}\,,}$

где Т ^* omega ; ₂ обозначает тянуть обратно из со ₂ по т .

Частные случаи и обобщения [ править ]

• Симплектическое многообразие является точным , если симплектическая форма является точной . Например, кокасательное расслоение гладкого многообразия является точным симплектическим многообразием. Каноническая симплектическая форма точна.${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \omega }$

• Симплектическое многообразие, наделенное метрикой , согласованной с симплектической формой, является почти кэлеровым многообразием в том смысле, что касательное расслоение имеет почти комплексную структуру , но это может не быть интегрируемым .

• Симплектические многообразия - это частные случаи пуассонова многообразия . Определение симплектического многообразия требует, чтобы симплектическая форма была невырожденной всюду, но если это условие нарушается, многообразие все еще может быть пуассоновым многообразием.

• Multisymplectic многообразие степени к является многообразием оборудован замкнутой невырожденной K -формы. ^[5]

• Polysymplectic коллектор представляет собой пучок Лежандра снабжен polysymplectic касательной-значную -формой; он используется в гамильтоновой теории поля. ^[6]${\displaystyle (n+2)}$

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Макдафф, Дуса ; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию . Оксфордские математические монографии. ISBN 0-19-850451-9.
• Auroux, Дени . «Семинар по зеркальной симметрии» .
• Мейнренкен, Экхард . «Симплектическая геометрия» (PDF) .
• Авраам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. См. Раздел 3.2. ISBN 0-8053-0102-X.
• де Госсон, Морис А. (2006). Симплектическая геометрия и квантовая механика . Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-7574-4.
• Алан Вайнштейн (1971). «Симплектические многообразия и их лагранжевы подмногообразия». Успехи в математике . 6 (3): 329–46. DOI : 10.1016 / 0001-8708 (71) 90020-X .
• Арнольд В.И. (1990). «Глава 1, Симплектическая геометрия». Особенности каустик и волновых фронтов . Математика и ее приложения. 62 . Дордрехт: Springer, Нидерланды. DOI : 10.1007 / 978-94-011-3330-2 . ISBN 978-1-4020-0333-2. OCLC  22509804 .

Внешние ссылки [ править ]

• «Как найти лагранжевы подмногообразия» . Обмен стеками . 17 декабря 2014 г.
• Ü. Lumiste (2001) [1994], "Симплектическая структура" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Сарданашвили Г. (2009). «Расслоения, струйные многообразия и лагранжева теория». Лекции для теоретиков . arXiv : 0908.1886 .
• Макдафф, Д. (ноябрь 1998 г.). «Симплектические структуры - новый подход к геометрии» (PDF) . Уведомления AMS .
• Хитчин, Найджел (1999). «Лекции о специальных лагранжевых подмногообразиях». arXiv : math / 9907034 .