Симплектическое векторное пространство

В математике , А симплектическое векторное пространство является векторным пространством V над полем F (например , действительные числа R ) , снабженным симплектической билинейной формой .

Симплектическая билинейная форма является отображение ω  : V × V → F , который

• билинейный : линейный по каждому аргументу отдельно,
• чередование : ω ( v , v ) = 0 для всех v ∈ V , и
• невырожденный : ω ( u , v ) = 0 для всех v ∈ V влечет равенство u нулем.

Если основное поле имеет характеристику, отличную от 2, чередование эквивалентно кососимметрии . Если характеристика равна 2, асимметрия подразумевается, но не подразумевает чередование. В этом случае каждая симплектическая форма является симметричной , но не наоборот.

Работая в фиксированном базисе , ω можно представить в виде матрицы . Приведенные выше условия эквивалентны тому, что эта матрица является кососимметричной , невырожденной и полой . Это не следует путать с симплектической матрицей , которая представляет собой симплектическое преобразование пространства. Если V является конечномерным , то ее размерность обязательно должна быть даже так как каждый кососимметричного, полая матрица нечетного размера имеет определительнуль. Обратите внимание, что условие, что матрица должна быть полой, не является избыточным, если характеристика поля равна 2. Симплектическая форма ведет себя совершенно иначе, чем симметричная форма , например, скалярное произведение на евклидовых векторных пространствах.

Стандартное симплектическое пространство [ править ]

Стандартное симплектическое пространство R ^{2 л} с симплектической формой , заданной невырожденной , кососимметрической матрицей . Обычно ω выбирается в качестве блочной матрицы

${\ displaystyle \ omega = {\ begin {bmatrix} 0 & I_ {n} \\ - I_ {n} & 0 \ end {bmatrix}}}$

где I _n - единичная матрица размера n × n . В терминах базисных векторов ( x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n ) :

${\displaystyle \omega (x_{i},y_{j})=-\omega (y_{j},x_{i})=\delta _{ij}\,}$

${\displaystyle \omega (x_{i},x_{j})=\omega (y_{i},y_{j})=0.\,}$

Модифицированная версия процесса Грама – Шмидта показывает, что любое конечномерное симплектическое векторное пространство имеет такой базис, что ω принимает эту форму, часто называемый базисом Дарбу или симплектическим базисом .

Есть еще один способ интерпретировать эту стандартную симплектическую форму. Поскольку использованное выше модельное пространство R ^{2 n} несет в себе много канонической структуры, которая может легко привести к неверной интерпретации, вместо этого мы будем использовать «анонимные» векторные пространства. Пусть V - вещественное векторное пространство размерности n, а V ^{∗ -} его сопряженное пространство . Теперь рассмотрим прямую сумму W = V ⊕ V ^∗ этих пространств, имеющую следующий вид:

${\displaystyle \omega (x\oplus \eta ,y\oplus \xi )=\xi (x)-\eta (y).}$

Теперь выберем любой базис ( v ₁ , ..., v _n ) в V и рассмотрим его дуальный базис

${\displaystyle (v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}).}$

Мы можем интерпретировать базисные векторы как лежащие в W, если написать x _i = ( v _i , 0) и y _i = (0, v _i ^∗ ) . Взятые вместе, они составляют полную основу W ,

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}).}$

Можно показать, что определенная здесь форма ω имеет те же свойства, что и в начале этого раздела. С другой стороны, любая симплектическая структура изоморфна одной из форм V ⊕ V ^∗ . Подпространство V не единственно, и выбор подпространства V называется поляризацией . Подпространства, дающие такой изоморфизм, называются лагранжевыми подпространствами или просто лагранжианами .

Явно, учитывая лагранжево подпространство (как определено ниже), тогда выбор базиса ( x ₁ , ..., x _n ) определяет двойственный базис для дополнения по формуле ω ( x _i , y _j ) = δ _ij .

Аналогия со сложными структурами [ править ]

Подобно тому , как каждая симплектическая структура изоморфна одной из форм V ⊕ V ^* , каждая комплексная структура на векторном пространстве изоморфна одной из форм V ⊕ V . Используя эти структуры, то касательное расслоение из п -многообразия, рассматриваемое как 2 н -многообразия, имеет почти комплексную структуру , и совместно касательное расслоение в качестве п -многообразия, рассматриваемую как 2 н -многообразия, имеет симплектическую структуру : T _∗ ( T ^∗ M ) _p= T _p ( M ) ⊕ ( T _p ( M )) ^∗ .

Комплекс аналог лагранжево подпространством является реальным подпространством , подпространство которого комплексификация есть все пространство: W = V ⊕ J V . Как видно из приведенной выше стандартной симплектической формы, каждая симплектическая форма на R ^{2 n} изоморфна мнимой части стандартного комплексного (эрмитова) скалярного произведения на C ⁿ (с условием, что первый аргумент антилинейен).

Форма тома [ править ]

Пусть ω - знакопеременная билинейная форма на n -мерном вещественном векторном пространстве V , ω ∈ Λ ² ( V ) . Тогда ω невырождена тогда и только тогда, когда n четно и ω ^{n / 2} = ω ∧ ... ∧ ω - форма объема . Форма объема на n -мерном векторном пространстве V ненулевое кратное n- форме e ₁ ^∗ ∧ ... ∧ e _n ^∗где е ₁ , е ₂ , ..., е _п является основой V .

Для стандартного базиса, определенного в предыдущем разделе, мы имеем

${\displaystyle \omega ^{n}=(-1)^{n/2}x_{1}^{*}\wedge \ldots \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \ldots \wedge y_{n}^{*}.}$

Переупорядочив, можно написать

${\displaystyle \omega ^{n}=x_{1}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \ldots \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{n}^{*}.}$

Авторы по-разному определяют ω ⁿ или (−1) ^{n / 2} ω ⁿ как стандартную форму объема . Случайный фактор n ! может также появиться, в зависимости от того, содержит ли определение чередующегося продукта множитель n ! или нет. Форма объема определяет ориентацию на симплектическом векторном пространстве ( V , ω ) .

Симплектическая карта [ править ]

Предположим, что ( V , ω ) и ( W , ρ ) симплектические векторные пространства. Тогда линейное отображение f  : V → W называется симплектическим отображением, если обратный образ сохраняет симплектическую форму, т. Е. F ^∗ ρ = ω , где обратная форма определяется формулой ( f ^∗ ρ ) ( u , v ) = ρ ( f ( u ), f (v )) . Симплектические карты сохраняют объем и ориентацию.

Симплектическая группа [ править ]

Если V = W , то симплектическое отображение называется линейное симплектическое преобразование из V . В частности, в этом случае ω ( f ( u ), f ( v )) = ω ( u , v ) , и поэтому линейное преобразование f сохраняет симплектическую форму. Множество всех симплектических преобразований образует группу и, в частности, группу Ли , называемую симплектической группой и обозначаемую Sp ( V ) или иногдаSp ( V , ω ) . В матричной форме симплектические преобразования задаются симплектическими матрицами .

Подпространства [ править ]

Пусть W является линейное подпространство в V . Определим симплектическое дополнение к W как подпространство

${\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V\mid \omega (v,w)=0{\mbox{ for all }}w\in W\}.}$

Симплектическое дополнение удовлетворяет:

${\displaystyle (W^{\perp })^{\perp }=W}$

${\displaystyle \dim W+\dim W^{\perp }=\dim V.}$

Однако, в отличие от ортогональных дополнений , W ^⊥ ∩ W не обязательно равно 0. Мы различаем четыре случая:

• W является симплектическим , если W ^⊥ ∩ W = {0 }. Это верно , если и только если omega ; ограничивает к невырожденной форме на W . Симплектическое подпространство ограниченной формы является самостоятельным симплектическим векторным пространством.
• W является изотропным , если W ⊆ W ^⊥ . Это верно , если и только если omega ; ограничивает 0 на W . Любое одномерное подпространство изотропно.
• W является коизотропным , если W ^⊥ ⊆ W . W коизотропно тогда и только тогда, когда ω спускается до невырожденной формы на фактор-пространстве W / W ^⊥ . Эквивалентно W коизотропен тогда и только тогда, когда W ^⊥ изотропен. Любое подпространство коразмерности один коизотропно.
• W является лагранжиан , если W = W ^⊥ . Подпространство лагранжево тогда и только тогда, когда оно одновременно изотропно и коизотропно. В конечном-мерном векторном пространстве, лагранжево подпространство является изотропным, чей размер составляет половину от V . Каждое изотропное подпространство можно продолжить до лагранжевого.

Ссылаясь на каноническое векторное пространство R ^{2 n} выше,

• подпространство, натянутое на { x ₁ , y ₁ }, симплектическое
• подпространство, натянутое на { x ₁ , x ₂ }, изотропно
• подпространство, натянутое на { x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ }, коизотропно
• подпространство, натянутое на { x ₁ , x ₂ , ..., x _n }, является лагранжевым.

Группа Гейзенберга [ править ]

Группа Гейзенберга может быть определена для любого симплектического векторного пространства, и это типичный способ возникновения групп Гейзенберга .

Векторное пространство можно рассматривать как коммутативную группу Ли (при сложении) или, что то же самое, как коммутативную алгебру Ли , то есть с тривиальной скобкой Ли. Группа Гейзенберга является центральным расширением такой коммутативной группы / алгебры Ли: симплектическая форма определяет коммутацию, аналогично каноническим коммутационным соотношениям (CCR), а базис Дарбу соответствует каноническим координатам  - с точки зрения физики, операторам импульса и позиционные операторы .

В самом деле, по теореме Стоуна – фон Неймана каждое представление, удовлетворяющее CCR (каждое представление группы Гейзенберга), имеет эту форму или, точнее говоря, унитарно сопряжено со стандартной.

Кроме того, групповая алгебра (двойственного к) векторного пространства - это симметрическая алгебра , а групповая алгебра группы Гейзенберга (двойственного) - это алгебра Вейля : можно думать о центральном расширении как о соответствующем квантованию или деформации .

Формально симметрическая алгебра векторного пространства V над полем F - это групповая алгебра двойственного, Sym ( V ): = F [ V ^∗ ] , а алгебра Вейля - это групповая алгебра (двойственной) группы Гейзенберга W ( V ) = F [ H ( V ^∗ )] . Поскольку переход к групповым алгебрам является контравариантным функтором , центральное отображение расширения H ( V ) → V становится включением Sym ( V ) → W ( V) .

См. Также [ править ]

• Симплектическое многообразие является гладким многообразием с плавно меняющейся замкнутой симплектической формой на каждом касательном пространстве
• Индекс Маслова
• Симплектическое представление является представлением группы , где каждая группа действует как элемент симплектического преобразования.

Ссылки [ править ]

• Клод Годбийон (1969) "Géométrie différentielle et mécanique analytique", Герман
• Авраам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978). «Гамильтоновы и лагранжевые системы». Основы механики (2-е изд.). Лондон: Бенджамин-Каммингс. С. 161–252. ISBN 0-8053-0102-X. CS1 maint: discouraged parameter (link) PDF
• Полетт Либерманн и Шарль-Мишель Марль (1987) "Симплектическая геометрия и аналитическая механика", Д. Рейдель
• Жан-Мари Суро (1997) "Структура динамических систем, симплектический взгляд на физику", Springer