Симплектическая матрица

В математике симплектическая матрица - это матрица с действительными элементами, удовлетворяющая условию${\ displaystyle 2n \ times 2n}$ ${\ displaystyle M}$

${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega ,}$

( 1 )

где обозначает транспонирование из и является фиксированной неособой , кососимметрической матрицей . Это определение может быть расширено до матриц с записями в других полях , таких как комплексные числа , конечные поля , p -адические числа и функциональные поля .${\displaystyle M^{\text{T}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$

Обычно выбирается блочная матрица${\displaystyle \Omega }$

где - единичная матрица . Матрица имеет определитель, а обратный ей равен .${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle +1}$${\displaystyle \Omega ^{-1}=\Omega ^{\text{T}}=-\Omega }$

Свойства [ править ]

Генераторы симплектических матриц [ править ]

Каждая симплектическая матрица имеет определитель , и симплектические матрицы с вещественными элементами образуют подгруппу в общей линейной группе по умножению матриц , так как будучи симплектическим является свойством стабильного при матричном умножении. Топологически эта симплектическая группа является связной некомпактной вещественной группой Ли вещественной размерности и обозначается . Симплектическая группа может быть определена как набор линейных преобразований , сохраняющих симплектическую форму вещественного симплектического векторного пространства .${\displaystyle +1}$${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (2n;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n(2n+1)}$${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n;\mathbb {R} )}$

Эта симплектическая группа имеет выделенный набор генераторов, с помощью которых можно найти все возможные симплектические матрицы. Сюда входят следующие наборы

где - множество симметричных матриц . Тогда порождается множеством ^{[1] p. 2}${\displaystyle {\text{Sym}}(n;\mathbb {R} )}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n;\mathbb {R} )}$матриц. Другими словами, любая симплектическая матрица может быть построена путем умножения матриц вместе и вместе с некоторой степенью .${\displaystyle D(n)}$${\displaystyle N(n)}$${\displaystyle \Omega }$

Обратная матрица [ править ]

Каждая симплектическая матрица обратима с обратной матрицей, заданной формулой

Кроме того, произведение двух симплектических матриц снова является симплектической матрицей. Это придает множеству всех симплектических матриц структуру группы . На этой группе существует естественная структура многообразия, которая превращает ее в (действительную или комплексную) группу Ли, называемую симплектической группой .

Детерминантные свойства [ править ]

Из определения легко следует, что определитель любой симплектической матрицы равен ± 1. На самом деле, оказывается, что определитель всегда +1 для любого поля. Один из способов увидеть это - использовать пфаффиан и тождество

Так и есть у нас .${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega }$${\displaystyle {\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0}$${\displaystyle \det(M)=1}$

Когда основное поле является реальным или сложным, это также можно показать, факторизовав неравенство . ^[2]${\displaystyle \det(M^{\text{T}}M+I)\geq 1}$

Блочная форма симплектических матриц [ править ]

Предположим, что Ω задано в стандартной форме, и пусть - блочная матрица, заданная формулой${\displaystyle M}$${\displaystyle 2n\times 2n}$

где являются матрицами. Условие симплектики эквивалентно двум следующим эквивалентным условиям ^[3]${\displaystyle A,B,C,D}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle A^{\text{T}}C,B^{\text{T}}D}$ симметричный, и ${\displaystyle A^{\text{T}}D-C^{\text{T}}B=I}$

${\displaystyle AB^{\text{T}},CD^{\text{T}}}$ симметричный, и ${\displaystyle AD^{\text{T}}-BC^{\text{T}}=I}$

Когда эти условия сводятся к единственному состоянию . Таким образом, матрица симплектическая тогда и только тогда, когда она имеет единичный определитель.${\displaystyle n=1}$${\displaystyle \det(M)=1}$${\displaystyle 2\times 2}$

Обратная матрица блочной матрицы [ править ]

В стандартной форме значение, обратное выражению${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle M}$

Группа имеет размерность . Это можно увидеть, отметив, что это антисимметрично. Поскольку пространство антисимметричных матриц имеет размерность, тождество накладывает ограничения на коэффициенты матрицы и оставляет с независимыми коэффициентами.${\displaystyle n(2n+1)}$${\displaystyle (M^{\text{T}}\Omega M)^{\text{T}}=-M^{\text{T}}\Omega M}$${\displaystyle {\binom {2n}{2}},}$${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega }$${\displaystyle 2n \choose 2}$${\displaystyle (2n)^{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n(2n+1)}$

Симплектические преобразования [ править ]

В абстрактной формулировке линейной алгебры , матрицы заменяются линейными преобразованиями из конечномерных векторных пространств . Абстрактный аналог симплектической матрицы является симплектическим преобразованием из симплектического векторного пространства . Если коротко, то симплектическое векторное пространство является мерным векторным пространством оснащен невырожденной , кососимметрической билинейной формой называется симплектическая формой .${\displaystyle (V,\omega )}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \omega }$

Тогда симплектическое преобразование - это линейное преобразование, которое сохраняет , т. Е.${\displaystyle L:V\to V}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega (Lu,Lv)=\omega (u,v).}$

Установив основу для , можно записать как матрицу, так и как матрицу . Условие симплектического преобразования - это в точности условие того, что M - симплектическая матрица:${\displaystyle V}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega .}$

При замене базиса , представленного матрицей A , имеем

${\displaystyle \Omega \mapsto A^{\text{T}}\Omega A}$

${\displaystyle M\mapsto A^{-1}MA.}$

Всегда можно привести либо к стандартной форме , приведенной во введении или блочно - диагональной форме , описанной ниже с помощью соответствующего выбора A .${\displaystyle \Omega }$

Матрица Ω [ править ]

Симплектические матрицы определяются относительно фиксированная невырожденной , кососимметрическая матрицей . Как объяснялось в предыдущем разделе, его можно рассматривать как координатное представление невырожденной кососимметричной билинейной формы . Основной результат линейной алгебры состоит в том, что любые две такие матрицы отличаются друг от друга заменой базиса .${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

Наиболее распространенной альтернативой приведенному выше стандарту является блочно-диагональная форма${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}.}$

Этот выбор отличается от предыдущего с помощью перестановки из базисных векторов .

Иногда вместо кососимметричной матрицы используются обозначения . Это особенно неудачный выбор, поскольку он приводит к путанице с понятием сложной структуры , которая часто имеет то же выражение координат, что и, но представляет собой совсем другую структуру. Сложная структура - это координатное представление линейного преобразования, которое квадратирует , тогда как это координатное представление невырожденной кососимметричной билинейной формы. Можно легко выбрать основания, которые не являются кососимметричными или не квадратными .${\displaystyle J}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle J}$${\displaystyle -I_{n}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle J}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle -I_{n}}$

Учитывая эрмитову структуру в векторном пространстве, и связаны через${\displaystyle J}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega _{ab}=-g_{ac}{J^{c}}_{b}}$

где есть метрика . То, что и обычно имеют одинаковые координаты выражения (с точностью до общего знака), является просто следствием того факта, что метрика g обычно является единичной матрицей.${\displaystyle g_{ac}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \Omega }$

Диагонализация и декомпозиция [ править ]

• Для любой положительно определенной симметричной вещественной симплектической матрицы S существует U в U (2 n , R ) такое, что

${\displaystyle S=U^{\text{T}}DU\quad {\text{for}}\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},\lambda _{1}^{-1},\ldots ,\lambda _{n}^{-1}),}$
где диагональные элементы D являются собственными значениями из S . ^[4]

• Любая вещественная симплектическая матрица S имеет полярное разложение вида ^[4]

${\displaystyle S=UR\quad {\text{for}}\quad U\in \operatorname {U} (2n,\mathbb {R} ){\text{ and }}R\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sym} _{+}(2n,\mathbb {R} ).}$

• Любую вещественную симплектическую матрицу можно разложить как произведение трех матриц:

${\displaystyle S=O{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}O',}$

( 2 )

такой , что O и O» являются симплектическими и ортогональными и D является положительно определенным и диагональю . ^[5] Это разложение тесно связано с разложением матрицы по сингулярным числам и известно как разложение Эйлера или Блоха-Мессии.

Комплексные матрицы [ править ]

Если вместо этого M представляет собой матрицу 2 n × 2 n с комплексными элементами, определение не является стандартным для всей литературы. Многие авторы ^[6] корректируют приведенное выше определение, чтобы

${\displaystyle M^{*}\Omega M=\Omega \,.}$

( 3 )

где М ^* обозначает сопряженное транспонирование из М . В этом случае определитель не может быть 1, но будет иметь абсолютное значение 1. В случае 2 × 2 ( n = 1) M будет произведением реальной симплектической матрицы и комплексного числа с модулем 1.

Другие авторы ^[7] сохраняют определение ( 1 ) для комплексных матриц и называют матрицы, удовлетворяющие ( 3 ) сопряженной симплектике .

Приложения [ править ]

Преобразования, описываемые симплектическими матрицами, играют важную роль в квантовой оптике и в квантовой теории информации с непрерывными переменными . Например, симплектические матрицы могут использоваться для описания гауссовских (боголюбовских) преобразований квантового состояния света. ^[8] В свою очередь, разложение Блоха-Мессии ( 2 ) означает, что такое произвольное гауссовское преобразование может быть представлено как набор из двух пассивных линейно-оптических интерферометров (соответствующих ортогональным матрицам O и O ' ), прерываемых слоем активных нелинейные преобразования сжатия (заданные в терминах матрицы D). ^[9] Фактически, можно обойти необходимость в таких поточных активных преобразованиях сжатия, если двухмодовые состояния сжатого вакуума доступны только как предварительный ресурс. ^[10]

См. Также [ править ]

• симплектическое векторное пространство
• симплектическая группа
• симплектическое представление
• ортогональная матрица
• унитарная матрица
• Гамильтонова механика
• Линейная сложная структура

Ссылки [ править ]