Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлен с четного номера )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Для использования в других целях, см Четность (значения) .
«Нечетное число» перенаправляется сюда. Для аргентинского фильма 1962 года см. Odd Number (фильм) .
Удилища Cuisenaire : 5 (желтые) не могут быть равномерно разделены на 2 (красные) любыми 2 стержнями того же цвета / длины, в то время как 6 (темно-зеленые) могут быть равномерно разделены на 2 на 3 (светло-зеленые).

В математике , четность является свойством целого числа от того , является ли она еще или нечетным . Целочисленное значение четности является четным, если оно делится на два без остатка, и его четность является нечетной, если это не так; то есть его остаток равен 1. [1] Например, −4, 0, 82 и 178 четные, потому что при делении на 2 нет остатка. Напротив, −3, 5, 7, 21 - нечетные числа. поскольку они оставляют остаток 1 при делении на 2.

Четные и нечетные числа имеют противоположную четность, например, 22 (четное число) и 13 (нечетное число) имеют противоположную четность. В частности, четность нуля является четной . [2] Любые два последовательных целых числа имеют противоположную четность.

Формальное определение четного числа состоит в том, что это целое число в форме n  = 2 k , где k - целое число; [3] затем можно показать, что нечетное число - это целое число вида n = 2 k + 1 (или, альтернативно, 2 k  - 1). Важно понимать, что приведенное выше определение четности применимо только к целым числам, поэтому его нельзя применять к числам вроде 1/2 или 4.201. См. Раздел «Высшая математика» ниже для некоторых расширений понятия четности на более широкий класс «чисел» или в других более общих условиях.

В множества четных и нечетных чисел могут быть определены следующим образом : [4]

  • Четный 
  • Странный 

Число (т. Е. Целое), выраженное в десятичной системе счисления, является четным или нечетным в зависимости от того, является ли его последняя цифра четной или нечетной. То есть, если последняя цифра 1, 3, 5, 7 или 9, то она нечетная; в противном случае это даже. Та же идея подойдет для любой ровной базы. В частности, число, выраженное в двоичной системе счисления, является нечетным, если его последняя цифра равна 1; оно будет четным, если его последняя цифра равна 0. В нечетном основании число четное согласно сумме его цифр - оно будет четным тогда и только тогда, когда сумма его цифр четна. [5]

Арифметика над четными и нечетными числами [ править ]

Следующие законы можно проверить, используя свойства делимости . Они являются частным случаем правил модульной арифметики и обычно используются для проверки правильности равенства путем проверки четности каждой стороны. Как и в обычной арифметике, умножение и сложение коммутативны и ассоциативны в арифметике по модулю 2, а умножение дистрибутивно по сравнению с сложением. Однако вычитание по модулю 2 идентично сложению, поэтому вычитание также обладает этими свойствами, что неверно для нормальной целочисленной арифметики.

Сложение и вычитание [ править ]

  • четный ± четный = четный; [1]
  • четное ± нечетное = нечетное; [1]
  • нечетное ± нечетное = четное; [1]

Умножение [ править ]

  • четный × четный = четный; [1]
  • четный × нечетный = четный; [1]
  • нечетное × нечетное = нечетное; [1]

Структура ({четное, нечетное}, +, ×) на самом деле является полем всего из двух элементов .

Подразделение [ править ]

Деление двух целых чисел не обязательно дает целое число. Например, 1, деленная на 4, равняется 1/4, что не является ни четным, ни нечетным, поскольку концепции четного и нечетного применимы только к целым числам. Но когда частное является целым числом, оно будет даже тогда и только тогда, когда у делимого больше двух делителей, чем у делителя. [6]

История [ править ]

Древние греки считали 1, монаду , ни полностью нечетной, ни полностью четной. [7] Некоторые из этих настроений сохранились и в XIX веке: книга Фридриха Вильгельма Августа Фребеля « Воспитание человека» 1826 года инструктирует учителя тренировать учеников утверждением, что 1 не является ни четным, ни нечетным, к которому Фребель придает философскую мысль:

Здесь следует сразу обратить внимание ученика на великий далеко идущий закон природы и мышления. Это то, что между двумя относительно разными вещами или идеями всегда стоит третья, в некотором роде равновесие, как бы объединяющая их. Таким образом, здесь между четными и нечетными числами стоит одно число (один), которое не является ни одним из двух. Точно так же по форме прямой угол стоит между острым и тупым углами; а в языке - полугласные или стремящиеся между немыми и гласными. Вдумчивый учитель и ученик, которого учат думать самостоятельно, вряд ли могут не заметить этот и другие важные законы. [8]

Высшая математика [ править ]

Более высокие измерения и более общие классы чисел [ править ]

абcdежграммчас
8
Chessboard480.svg
c8 черный крест
e8 черный крест
b7 черный крест
f7 черный крест
d6 черный конь
b5 черный крест
f5 черный крест
c4 черный крест
е4 черный крест
c1 белый слон
f1 белый слон
8
77
66
55
44
33
22
11
абcdежграммчас
Два белых слона ограничены полями противоположной четности; черный конь может прыгать только на клетки с чередующейся четностью.

Целочисленные координаты точек в евклидовых пространствах двух или более измерений также имеют четность, обычно определяемую как четность суммы координат. Например, гранецентрированная кубическая решетка и ее многомерные обобщения, решетки D n , состоят из всех целочисленных точек, сумма координат которых четна. [9] Эта особенность проявляется в шахматах , где четность квадрата обозначается его цветом: слоны ограничены квадратами той же четности; кони чередуют ходы. [10] Эта форма паритета широко использовалась для решения изуродованной проблемы шахматной доски.: если два противоположных угловых квадрата удалены с шахматной доски, то оставшаяся доска не может быть покрыта домино, потому что каждое домино покрывает одну клетку каждой четности, и есть еще два квадрата одной четности, чем другой. [11]

Четность порядковым номером , может быть определена , даже если число является предельное число, или предельное число плюс конечное число четное, и нечетным в противном случае. [12]

Пусть R - коммутативное кольцо, и пусть I - идеал в R с индексом 2. Элементы смежного класса можно назвать четными , а элементы смежного класса - нечетными . В качестве примера, пусть R = Z (2) быть локализации из Z в простом идеале (2). Тогда элемент R четный или нечетный , если и только если ее числитель так и в Z .

Теория чисел [ править ]

Четные числа образуют идеал в кольце целых чисел [13], а нечетные - нет - это ясно из того факта, что единичный элемент для сложения, ноль, является элементом только четных чисел. Целое число является четным, если оно сравнимо с 0 по модулю этого идеала, другими словами, если оно сравнимо с 0 по модулю 2, и нечетным, если оно сравнимо с 1 по модулю 2.

Все простые числа нечетны, за одним исключением: простое число 2. [14] Все известные совершенные числа четны; неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа. [15]

Гипотеза Гольдбаха утверждает, что каждое четное целое число больше 2 может быть представлено как сумма двух простых чисел. Современные компьютерные вычисления показали, что эта гипотеза верна для целых чисел до 4 × 10 18 , но до сих пор не найдено общего доказательства . [16]

Теория групп [ править ]

Месть Рубика в решенном состоянии

Четность перестановки (как определено в абстрактной алгебре ) является четность числа транспозиций , в котором перестановка может быть разложенной. [17] Например, (ABC) на (BCA) даже потому, что это можно сделать, поменяв местами A и B, затем C и A (две транспозиции). Можно показать, что никакая перестановка не может быть разложена как на четное, так и на нечетное количество транспозиций. Следовательно, приведенное выше определение является подходящим. В « Кубике Рубика» , « Мегаминксе» и других поворотных головоломках ходы головоломки допускают только равные перестановки частей головоломки, поэтому четность важна для понимания конфигурационного пространства этих головоломок. [18]

Теорема Фейта – Томпсона утверждает, что конечная группа всегда разрешима, если ее порядок - нечетное число. Это пример нечетных чисел, играющих роль в продвинутой математической теореме, где метод применения простой гипотезы «нечетного порядка» далеко не очевиден. [19]

Анализ [ править ]

Четность функции описывает , как его значения изменяются , когда ее аргументы заменяли их отрицания. Четная функция, такая как четная степень переменной, дает тот же результат для любого аргумента, что и для его отрицания. Нечетная функция, такая как нечетная степень переменной, дает для любого аргумента отрицание своего результата, если дано отрицание этого аргумента. Функция может быть ни нечетной, ни четной, а в случае f ( x ) = 0 может быть как нечетной, так и четной. [20] ряд Тейлора четной функции содержит только член которых показатель является четным числом, а ряд Тейлора нечетной функции содержит только член которых показатель является нечетным числом. [21]

Комбинаторная теория игр [ править ]

В комбинаторной теории игр , число зла этого число , которое имеет четное число 1 в его двоичном представлении , и одиозное число этого число , которое имеет нечетное число 1 в его двоичном представлении; эти числа играют важную роль в стратегии игры Kayles . [22] Функция четности сопоставляет число с числом единиц в его двоичном представлении по модулю 2 , так что его значение равно нулю для злых чисел и единице для одиозных чисел. Последовательность Туэ – Морса , бесконечная последовательность нулей и единиц, имеет 0 в позиции i, когда iявляется злом, и 1 в том положении, когда i является одиозным. [23]

Дополнительные приложения [ править ]

В теории информации , бит четности добавляется в виде двоичного числа обеспечивает простую форму обнаружения ошибок кода . Если единственный бит в результирующем значении будет изменен, тогда он больше не будет иметь правильную четность: изменение бита в исходном номере дает ему четность, отличную от записанного, и изменение бита четности без изменения числа, которое он был полученный из снова дает неверный результат. Таким образом, все однобитовые ошибки передачи могут быть надежно обнаружены. [24] Некоторые более сложные коды обнаружения ошибок также основаны на использовании нескольких битов четности для подмножеств битов исходного кодированного значения. [25]

В духовых инструментах с цилиндрическим отверстием, фактически закрытых с одного конца, таких как кларнет у мундштука, генерируемые гармоники кратны основной частоте . (С цилиндрическими трубками, открытыми с обоих концов, используемыми, например, в некоторых органных упорах, таких как открытый диапазон , гармоники даже кратны одной и той же частоте для данной длины отверстия, но это имеет эффект удвоения основной частоты и всего производятся, кратные этой основной частоте.) См. гармонический ряд (музыка) . [26]

В некоторых странах нумерация домов выбрана так, чтобы дома на одной стороне улицы имели четные номера, а дома на другой стороне - нечетные. [27] Аналогичным образом, среди пронумерованных автомагистралей США четные числа в первую очередь обозначают автомагистрали с востока на запад, а нечетные числа - на автомагистрали с севера на юг. [28] Среди номеров рейсов авиакомпаний четные числа обычно обозначают рейсы на восток или север, а нечетные числа - на рейсы на запад или на юг. [29]

См. Также [ править ]

  • Делитель

Ссылки [ править ]

  1. ^ Б с д е е г Виджайи, А.В.; Родригес, Дора, Выяснение математики , Pearson Education India, стр. 20–21, ISBN 9788131703571.
  2. ^ Бона, Миклош (2011), Прогулка по комбинаторике: Введение в теорию перечисления и графов , World Scientific, стр. 178, ISBN 9789814335232.
  3. ^ Bassarear, Том (2010), Математика для учителей начальной школы , Cengage Learning, стр. 198, ISBN 9780840054630.
  4. ^ Sidebotham, Thomas H. (2003), А до Я математики: Основное руководство , John Wiley & Sons, стр. 181, ISBN 9780471461630.
  5. ^ Оуэн, Рут Л. (1992), «Делимость в базисах» (PDF) , Пентагон: математический журнал для студентов , 51 (2): 17–20, архивировано из оригинала (PDF) 17 марта 2015 г. .
  6. ^ Pólya, Джордж ; Тарджан, Роберт Э .; Вудс, Дональд Р. (2009), Заметки по вводной комбинаторике , Springer, стр. 21–22, ISBN. 9780817649524.
  7. ^ Tankha (2006), древнегреческая Философия: Thales к Горгию , Pearson Education India, стр. 136, ISBN 9788177589399.
  8. ^ Фрёбель, Фридрих; Переводчик Жозефина Джарвис (1885 г.). Воспитание человека . Нью-Йорк: Ловелл и компания. С.  240 .
  9. ^ Конвей, JH; Слоан, Нью-Джерси (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 290 (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. 10, ISBN 978-0-387-98585-5, Руководство по ремонту  1662447.
  10. ^ Пандольфини, Брюс (1995), шахматы мышление: Визуальный словарь шахматных ходов, правил, стратегий и концепций , Саймон и Шустер, С. 273-274,. ISBN 9780671795023.
  11. ^ Мендельсон, Н. С. (2004), "Черепица домино", Колледж Математика Journal , 35 (2): 115-120, DOI : 10,2307 / 4146865 , JSTOR 4146865 .
  12. ^ Брукнер, Эндрю М .; Брукнер, Джудит Б .; Томсон, Брайан С. (1997), Реальный анализ , стр. 37, ISBN 978-0-13-458886-5.
  13. ^ Стиллвелл, Джон (2003), Элементы теории чисел , Springer, стр. 199, ISBN 9780387955872.
  14. ^ Lial, Маргарет L .; Зальцман, Стэнли А .; Хествуд, Диана (2005 г.), Базовая математика колледжа (7-е изд.), Аддисон Уэсли, стр. 128, ISBN 9780321257802.
  15. ^ Дадли, Андервуд (1992), "Совершенные числа" , Mathematical Cranks , MAA Spectrum, Cambridge University Press, стр. 242–244, ISBN 9780883855072.
  16. ↑ Oliveira e Silva, Tomás; Герцог, Зигфрид; Парди, Сильвио (2013), "Эмпирическая проверка гипотезы Гольдбаха даже, и вычисление простых зазоров, до 4 · 10 18 " (PDF) , Математика вычислений , 83 (288): 2033-2060, DOI : 10,1090 / s0025-5718-2013-02787-1 . В прессе.
  17. ↑ Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 45 , Cambridge University Press, стр. 26–27, ISBN 9780521653787.
  18. ↑ Джойнер, Дэвид (2008), «13.1.2 Условия четности», Приключения в теории групп: кубик Рубика, машина Мерлина и другие математические игрушки , JHU Press, стр. 252–253, ISBN 9780801897269.
  19. ^ Бендер, Гельмут; Глауберман, Джордж (1994), Локальный анализ теоремы о нечетном порядке , Серия лекций Лондонского математического общества, 188 , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45716-3, Руководство по ремонту  1311244; Петерфальви, Томас (2000), Теория характеров для теоремы о нечетном порядке , Серия лекций Лондонского математического общества, 272 , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64660-4, Руководство по ремонту  1747393.
  20. ^ Густафсон, Рой Дэвид; Хьюз, Джеффри Д. (2012), College Algebra (11-е изд.), Cengage Learning, стр. 315, ISBN 9781111990909.
  21. ^ Джайн, РК; Айенгар, SRK (2007), Advanced Engineering Mathematics , Alpha Science Int'l Ltd., стр. 853, ISBN 9781842651858.
  22. ^ Гай, Ричард К. (1996), «Беспристрастные игры», Игры без шанса (Беркли, Калифорния, 1994) , Математика. Sci. Res. Inst. Publ., 29 , Cambridge: Cambridge Univ. Press, стр. 61–78, MR 1427957 . См., В частности, стр. 68 .
  23. ^ Бернхард, Крис (2009), "Злые близнецы чередуются с одиозными близнецов" (PDF) , математика Журнал , 82 (1): 57-62, DOI : 10,4169 / 193009809x469084 , JSTOR 27643161  .
  24. ^ Мозер, Стефан М .; Чен, По-Нин (2012), Руководство для студентов по теории кодирования и информации , Cambridge University Press, стр. 19–20, ISBN 9781107015838.
  25. ^ Берроу, Клод (2011), Коды и турбокоды , Springer, стр. 4, ISBN 9782817800394.
  26. Перейти ↑ Randall, Robert H. (2005), An Introduction to Acoustics , Dover, p. 181, ISBN 9780486442518.
  27. ^ Кромли, Эллен К .; Маклаферти, Сара Л. (2011), ГИС и общественное здравоохранение (2-е изд.), Guilford Press, стр. 100, ISBN 9781462500628.
  28. ^ Свифт, Эрл (2011), Большие дороги: нераскрытая история инженеров, провидцев и первопроходцев, создавших американские супермагистрали , Houghton Mifflin Harcourt, стр. 95, ISBN 9780547549132.
  29. ^ Лауэр, Крис (2010), Southwest Airlines , Корпорации, которые изменили мир, ABC-CLIO, стр. 90, ISBN 9780313378638.