Послушайте эту статью
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Весы пустого баланса
Чашки весов этих весов содержат нулевые объекты, разделенные на две равные группы.
Послушайте эту статью ( 31 минута )
Разговорный значок Википедии
Этот аудиофайл был создан на основе редакции этой статьи от 27 августа 2013 года и не отражает последующих правок. ( 2013-08-27 )
( Аудио справка  · Больше устных статей )

Ноль - четное число. Другими словами, его четность - качество четности или нечетности целого числа - является четным. Это может быть легко проверено на основе определения «даже»: это целое число , кратное из 2 , в частности , 0 × 2 . В результате ноль разделяет все свойства, которые характеризуют четные числа: например, 0 соседствует с обеих сторон нечетными числами, любое десятичное целое число имеет ту же четность, что и его последняя цифра, поэтому, поскольку 10 является четным, 0 будет четным , а если y четно, то y + x имеет ту же четность, что и x, а x и 0 + x всегда иметь одинаковую четность.

Ноль также вписывается в паттерны, образованные другими четными числами. Правила четности арифметики, такие как четный - четный = четный , требуют, чтобы 0 был четным. Ноль присадка единичный элемент из группы четных целых чисел, и это является исходным случаем , от которого другие даже натуральные числа являются рекурсивно . Приложения этой рекурсии из теории графов к вычислительной геометрии полагаются на четность нуля. Мало того, что 0 делится на 2, он делится на каждую степень 2 , что имеет отношение к двоичной системе счисления.используется компьютерами. В этом смысле 0 - это «наиболее четное» число из всех. [1]

Среди широкой публики равенство нулю может быть источником путаницы. В экспериментах на время реакции большинство людей медленнее идентифицируют 0 как четное, чем 2, 4, 6 или 8. Некоторые студенты-математики и некоторые учителя думают, что ноль является нечетным, или одновременно четным и нечетным, или ни одним из них. Исследователи математического образования предполагают, что эти заблуждения могут стать возможностью для обучения. Изучение равенств, таких как 0 × 2 = 0, может развеять сомнения учащихся по поводу того, чтобы назвать 0 числом и использовать его в арифметике.. Обсуждения в классе могут помочь учащимся понять основные принципы математических рассуждений, такие как важность определений. Оценка паритета этого исключительного числа - один из первых примеров широко распространенной в математике темы: абстракции знакомого понятия к незнакомой обстановке.

Почему ноль даже [ править ]

Стандартное определение «четного числа» может использоваться для прямого доказательства четности нуля. Число называется «четным», если оно является целым числом, кратным 2. В качестве примера, причина того, что 10 является четным, состоит в том, что оно равно 5 × 2 . Точно так же ноль является целым числом, кратным 2, а именно 0 × 2, поэтому ноль является четным. [2]

Также можно объяснить, почему это ноль, даже не обращаясь к формальным определениям. [3] Следующие ниже объяснения дают смысл идее о том, что ноль четен с точки зрения фундаментальных представлений о числах. Исходя из этого, можно обосновать само определение и его применимость к нулю.

Основные объяснения [ править ]

В поле с 0 объектами не осталось красных объектов. [4]

Для данного набора объектов число используется для описания количества объектов в наборе. Ноль - это счет отсутствия объектов ; выражаясь более формально, это количество объектов в пустом наборе . Понятие четности используется для объединения двух объектов в группы. Если объекты в наборе можно разделить на группы по два, без остатка, то количество объектов будет четным. Если объект остался, то количество объектов нечетное. Пустой набор содержит ноль групп по два, и от этой группировки не осталось никаких объектов, поэтому ноль является четным. [5]

Эти идеи можно проиллюстрировать, нарисовав объекты попарно. Трудно изобразить нулевые группы из двух или подчеркнуть отсутствие оставшегося объекта, поэтому это помогает нарисовать другие группы и сравнить их с нулем. Например, в группе из пяти предметов есть две пары. Что еще более важно, есть оставшийся объект, поэтому 5 - это нечетно. В группе из четырех объектов нет оставшихся объектов, поэтому 4 четные. В группе из одного объекта нет пар, и есть оставшийся объект, поэтому 1 нечетный. В группе нулевых объектов нет оставшихся объектов, поэтому 0 четный. [6]

Есть еще одно конкретное определение равномерности: если объекты в наборе можно разделить на две группы равного размера, то количество объектов будет четным. Это определение эквивалентно первому. Опять же, ноль - это даже потому, что пустой набор можно разделить на две группы по нулевому элементу в каждой. [7]

Числа также можно визуализировать в виде точек на числовой прямой . Когда четные и нечетные числа отличаются друг от друга, их образец становится очевидным, особенно если включены отрицательные числа:

Чередуются четные и нечетные числа. Начиная с любого четного числа, счет по два вверх или вниз приводит к другим четным числам, и нет причин пропускать ноль. [8]

С введением умножения к четности можно подойти более формально, используя арифметические выражения. Каждое целое число имеет вид (2 ×) + 0 или (2 × ▢) + 1; первые числа четные, а вторые нечетные. Например, 1 нечетно, потому что 1 = (2 × 0) + 1, а 0 четно, потому что 0 = (2 × 0) + 0. Создание таблицы этих фактов затем укрепляет изображение числовой линии выше. [9]

Определение паритета [ править ]

Точное определение математического термина, такого как «даже», означающее «целое число, кратное двум», в конечном итоге является условным . В отличие от «даже», некоторые математические термины специально созданы для исключения тривиальных или вырожденных случаев. Простые числа - известный пример. До 20 века определения простоты были непоследовательными, и известные математики, такие как Гольдбах , Ламберт , Лежандр , Кэли и Кронекер, писали, что 1 было простым числом. [10] Современное определение «простого числа» - это «положительное целое число с ровно двумя множителями", поэтому 1 не является простым числом. Это определение можно рационализировать, заметив, что оно более естественно подходит для математических теорем, касающихся простых чисел. Например, основную теорему арифметики легче сформулировать, когда 1 не считается простым. [11]

Можно было бы аналогичным образом переопределить термин «даже» таким образом, чтобы он больше не включал ноль. Однако в этом случае новое определение затруднит формулировку теорем о четных числах. Эффект уже можно увидеть в алгебраических правилах, управляющих четными и нечетными числами . [12] Наиболее важные правила касаются сложения , вычитания и умножения :

четный ± четный = четный
нечетное ± нечетное = четное
четное × целое число = четное

Вставляя соответствующие значения в левые части этих правил, можно получить 0 в правых частях:

2 - 2 = 0
−3 + 3 = 0
4 × 0 = 0

Следовательно, приведенные выше правила были бы неправильными, если бы ноль не был четным. [12] В лучшем случае их придется модифицировать. Например, в одном руководстве по тестированию утверждается, что четные числа характеризуются как целые числа, кратные двум, но ноль не является «ни четным, ни нечетным». [13] Соответственно, правила руководства для четных и нечетных чисел содержат исключения:

четный ± четный = четный (или ноль)
нечетное ± нечетное = четное (или ноль)
четное × ненулевое целое число = четное [13]

Исключение для нуля в определении четности вынуждает делать такие исключения в правилах для четных чисел. С другой стороны, если взять правила, которым подчиняются положительные четные числа, и потребовать, чтобы они продолжали выполняться для целых чисел, то мы получаем обычное определение и четность нуля. [12]

Математические контексты [ править ]

Бесчисленные результаты в теории чисел основываются на фундаментальной теореме арифметики и алгебраических свойствах четных чисел, поэтому приведенный выше выбор имеет далеко идущие последствия. Например, тот факт, что положительные числа имеют уникальные факторизации, означает, что можно определить, имеет ли число четное или нечетное количество различных простых множителей. Поскольку 1 не является простым числом и не имеет простых множителей, это произведение 0 различных простых чисел; поскольку 0 - четное число, 1 имеет четное число различных простых делителей. Это означает, что функция Мёбиуса принимает значение μ (1) = 1 , что необходимо для того, чтобы она была мультипликативной функцией и для формулы обращения Мёбиусаработать. [14]

Не быть странным [ править ]

Число n нечетное, если существует такое целое число k , что n = 2 k + 1 . Один из способов доказать, что ноль не является нечетным, - это от противного : если 0 = 2 k + 1, то k = −1/2 , что не является целым числом. [15] Поскольку ноль не является нечетным, если доказано, что неизвестное число нечетное, то оно не может быть нулем. Это очевидно тривиальное наблюдение может предоставить удобное и показательное доказательство, объясняющее, почему нечетное число отлично от нуля.

Классический результат теории графов утверждает, что граф нечетного порядка (имеющий нечетное число вершин) всегда имеет хотя бы одну вершину четной степени . (Само утверждение требует, чтобы ноль был четным: пустой граф имеет четный порядок, а изолированная вершина имеет четную степень.) [16] Чтобы доказать утверждение, на самом деле легче доказать более сильный результат: любой нечетный -порядковый граф имеет нечетное количество вершин четной степени. Появление этого нечетного числа объясняется еще более общим результатом, известным как лемма о рукопожатии : любой граф имеет четное число вершин нечетной степени. [17]Наконец, четное число нечетных вершин естественным образом объясняется формулой суммы степеней .

Лемма Спернера представляет собой более сложное приложение той же стратегии. Лемма утверждает , что определенный вид окраски на триангуляции в виде симплекс имеет подсимплекс , который содержит каждый цвет. Вместо того, чтобы напрямую строить такой субсимплекс, удобнее доказать, что существует нечетное число таких субсимплексов, с помощью аргумента индукции . [18] Более сильная формулировка леммы затем объясняет, почему это число нечетное: оно естественно распадается как ( n + 1) + n, если рассматривать две возможные ориентации симплекса. [19]

Четно-нечетное чередование [ править ]

Рекурсивное определение четности натуральных чисел

Тот факт, что ноль является четным, вместе с тем фактом, что четные и нечетные числа чередуются, достаточно, чтобы определить четность любого другого натурального числа . Эту идею можно формализовать в виде рекурсивного определения множества четных натуральных чисел:

  • 0 чётно.
  • ( n + 1) четно тогда и только тогда, когда n не четно.

У этого определения есть концептуальное преимущество, заключающееся в том, что оно опирается только на минимальную основу натуральных чисел: существование 0 и его последователей . Таким образом, он полезен для компьютерных логических систем, таких как LF и средство доказательства теорем Изабель . [20] Согласно этому определению, четность нуля - это не теорема, а аксиома. Действительно, «ноль - четное число» можно интерпретировать как одну из аксиом Пеано , моделью которой являются четные натуральные числа. [21] Подобная конструкция расширяет определение четности на трансфинитные порядковые числа : каждый предельный порядковый номер четен , включая ноль, и последующиечетных ординалов - нечетные. [22]

Точка в тесте многоугольника

Классическая точка в тесте многоугольника из вычислительной геометрии применяет вышеупомянутые идеи. Чтобы определить, находится ли точка внутри многоугольника , нужно направить луч из бесконечности в точку и подсчитать, сколько раз луч пересекает край многоугольника. Номер пересечения даже тогда и только тогда, когда точка находится за пределами многоугольника. Этот алгоритм работает, потому что, если луч никогда не пересекает многоугольник, то его номер пересечения равен нулю, что является четным, а точка находится снаружи. Каждый раз, когда луч пересекает многоугольник, число пересечения меняется между четным и нечетным, а точка на его вершине меняется между внешней и внутренней. [23]

Построение двудольного

В теории графов двудольный граф - это граф, вершины которого разделены на два цвета , так что соседние вершины имеют разные цвета. Если у связного графа нет нечетных циклов , то можно построить двудольную вершину, выбрав базовую вершину v и раскрасив каждую вершину в черный или белый цвет, в зависимости от того, является ли ее расстояние от v четным или нечетным. Поскольку расстояние между v и самой собой равно 0, а 0 четное, базовая вершина окрашена иначе, чем ее соседи, которые находятся на расстоянии 1. [24]

Алгебраические шаблоны [ править ]

2 Z (синий) как подгруппа Z

В абстрактной алгебре четные целые числа образуют различные алгебраические структуры , требующие включения нуля. Тот факт, что аддитивное тождество (ноль) является четным, вместе с четностью сумм и аддитивными инверсиями четных чисел и ассоциативностью сложения, означает, что четные целые числа образуют группу . Более того, сложенная группа четных целых чисел является подгруппой группы всех целых чисел; это элементарный пример концепции подгруппы. [16] Предыдущее наблюдение о том, что правило «даже - даже = даже» заставляет 0 быть четным, является частью общей схемы: любые непустыеподмножество аддитивной группы, замкнутое при вычитании, должно быть подгруппой и, в частности, должно содержать тождество . [25]

Поскольку четные целые числа образуют подгруппу целых чисел, они разделяют целые числа на смежные классы . Эти смежные классы можно описать как классы эквивалентности следующего отношения эквивалентности : x ~ y, если ( x - y ) четно. Здесь, ровность нуля непосредственно проявляется как рефлексивности в бинарное отношение ~. [26] В этой подгруппе всего два смежных класса - четное и нечетное, поэтому у нее есть индекс 2.

Аналогично, знакопеременная группа является подгруппой индекса 2 в симметрической группе из n букв. Элементы знакопеременной группы, называемые четными перестановками , являются продуктом четного числа перестановок . Тождественный , пустой продукт из не транспозиций, четная перестановка , так как ноль даже; это элемент идентичности группы. [27]

Правило «четное × целое число = четное» означает, что четные числа образуют идеал в кольце целых чисел, и указанное выше отношение эквивалентности можно описать как эквивалентность по модулю этого идеала . В частности, четные целые числа - это в точности те целые числа k, где k ≡ 0 (mod 2). Эта композиция является полезной для исследования целых нулей из многочленов . [28]

2-адический порядок [ править ]

В некотором смысле некоторые числа, кратные 2, «более равны», чем другие. Кратные 4 называются дважды четными , так как их можно дважды разделить на 2. Мало того, что ноль делится на 4, ноль обладает уникальным свойством делиться на каждую степень двойки , поэтому он превосходит все другие числа по «четности». [1]

Одним из следствий этого факта появляется в разрядном-обращенном упорядочении из типов данных целочисленных , используемых некоторых компьютерных алгоритмы, такие как Кули-Тьюки быстрого преобразования Фурье . Этот порядок имеет свойство, что чем левее первая единица встречается в двоичном расширении числа или чем больше раз она делится на 2, тем скорее она появляется. Реверс битов нуля по-прежнему равен нулю; его можно разделить на 2 любое количество раз, и его двоичное расширение не содержит единиц, поэтому оно всегда идет первым. [29]

Хотя 0 делится на 2 раза больше, чем любое другое число, непросто точно определить, сколько раз это число. Для любого ненулевого целого числа n можно определить 2-адический порядок числа n как количество раз, когда n делится на 2. Это описание не работает для 0; независимо от того, сколько раз оно делится на 2, его всегда можно снова разделить на 2. Скорее, обычное соглашение состоит в том, чтобы установить 2-й порядок 0 равным бесконечности как частный случай. [30] Это соглашение не характерно для 2-го порядка; это одна из аксиом аддитивной оценки в высшей алгебре. [31]

Степени двойки - 1, 2, 4, 8, ... - образуют простую последовательность чисел возрастающей 2-го порядка. В 2-адических числах такие последовательности фактически сходятся к нулю. [32]

Образование [ править ]

Процент ответов с течением времени [33]

Вопрос о четности нуля часто рассматривается в течение первых двух или трех лет начальной школы по мере того, как вводятся и развиваются концепции четных и нечетных чисел. [34]

Знания студентов [ править ]

График справа [33] изображает детские представления о четности нуля, так как они прогрессируют от 1 года до 6 года в английской системе образования . Данные предоставлены Леном Фробишером, который провел пару опросов английских школьников. Фробишер интересовался, как знание однозначной четности трансформируется в знание многозначной четности, и нули занимают видное место в результатах. [35]

В ходе предварительного обследования почти 400 семь-летних, 45% выбрали даже более странным , когда его спросили четность нуля. [36] Последующее расследование предложило больше вариантов: ни то , ни другое и не знаю . На этот раз количество детей того же возраста, считающих ноль даже равным 32%. [37] Успех в принятии решения о том, что ноль даже изначально возрастает, а затем стабилизируется на уровне примерно 50% в период с 3 по 6 год. [38] Для сравнения, самая простая задача, определение четности одной цифры, выравнивается на уровне примерно 85 % успех. [39]

В интервью Фробишер привел аргументы студентов. Один пятикурсник решил, что 0 - это даже, потому что он был найден в таблице умножения на 2 . Пара четверокурсников поняла, что ноль можно разделить на равные части. Другой четверокурсник рассуждал: «1 - это нечетно, а если я опущусь, - четно». [40] Интервью также выявили неправильные представления о неправильных ответах. Второй год был «совершенно убежден» в том, что ноль нечетный, на том основании, что «это первое число, которое вы считаете». [41] Четвертый год отнесся к 0 как «нет» и подумал, что он не был ни нечетным, ни четным, поскольку «это не число». [42] В другом исследовании Энни Кейт наблюдала за второклассником из 15 человек.студенты, которые убедили друг друга в том, что ноль - это четное число, основанное на чередовании четно-нечетных чисел и на возможности разделения группы с нулями на две равные группы. [43]

Более глубокие исследования были проведены Эстер Левенсон, Пессия Цамир и Дина Тирош, которые опросили пару шестиклассников в США, которые показали хорошие результаты в своем классе математики. Один студент предпочел дедуктивное объяснение математических утверждений, а другой - практические примеры. Оба студента изначально думали, что 0 не было ни четным, ни нечетным по разным причинам. Левенсон и др. продемонстрировали, как рассуждения студентов отражают их концепции нуля и деления. [44]

Заявления студентов [45]
« Ноль не является четным или нечетным ».
« Ноль может быть даже ».
« Ноль - это не странно ».
« Ноль должен быть равным ».
« Ноль - не четное число ».
« Ноль всегда будет четным числом ».
« Ноль не всегда будет четным числом ».
« Ноль - это чётно ».
« Ноль особенный ».

Дебора Лёвенберг Болл проанализировала представления американских учеников третьего класса о четных, нечетных числах и нуле, которые они только что обсуждали с группой четвероклассников . Учащиеся обсудили четность нуля, правила для четных чисел и методы математики. Утверждения о нуле принимали разные формы, как видно из списка справа. [45] Болл и ее соавторы утверждали, что этот эпизод продемонстрировал, как учащиеся могут «заниматься математикой в ​​школе», в отличие от обычного сведения дисциплины к механическому решению упражнений. [46]

Одна из тем в исследовательской литературе - противоречие между концептуальными образами паритета учащихся и их концептуальными определениями. [47] Шестиклассники Левенсона и др. Определили четные числа как кратные 2 или числа, делящиеся на 2, но изначально они не могли применить это определение к нулю, потому что не знали, как умножить или разделить ноль на 2. Интервьюер в конечном итоге привел их к выводу, что ноль был четным; студенты пошли разными путями к такому выводу, используя комбинацию изображений, определений, практических объяснений и абстрактных объяснений. В другом исследовании Дэвид Дикерсон и Дэмиен Питман изучили использование определений пятью студентами высших математических специальностей.. Они обнаружили, что студенты в основном могли применить определение «даже» к нулю, но их все еще не убедило это рассуждение, поскольку оно противоречило их концептуальным образам. [48]

Знания учителей [ править ]

Исследователи математического образования в Мичиганском университете включили верный или неверный запрос «0 - четное число» в базу данных, содержащую более 250 вопросов, предназначенных для измерения уровня знаний учителей. Для них этот вопрос иллюстрирует «общеизвестные знания ... которые должен иметь любой хорошо образованный взрослый», и он «идеологически нейтрален», поскольку ответ не меняется между традиционной и реформистской математикой . В исследовании, проведенном в 2000–2004 годах 700 учителями начальных школ в США , общая успеваемость по этим вопросам значительно предсказывала улучшение результатов стандартизированных тестов учащихся после посещения уроков учителей. [49]В более глубоком исследовании 2008 года исследователи обнаружили школу, в которой все учителя считали ноль ни странным, ни четным, включая одного учителя, который был образцовым по всем остальным параметрам. Заблуждение было распространено тренером по математике в их здании. [50]

Неизвестно, сколько учителей заблуждаются по поводу нуля. В исследованиях в Мичигане не публиковались данные по отдельным вопросам. Бетти Лихтенберг, адъюнкт-профессор математического образования в Университете Южной Флориды , в исследовании 1972 года сообщила, что когда группе будущих учителей начальной школы давали тест «верно или неверно», включающий пункт «Ноль - четное число», они сочли это «сложным вопросом», причем около двух третей ответили «Неверно». [51]

Последствия для инструкции [ править ]

С математической точки зрения, доказать, что ноль является четным, просто применить определение, но в контексте образования необходимы дополнительные объяснения. Один вопрос касается основ доказательства; определение «даже» как «целое число, кратное 2» не всегда уместно. Учащийся первых классов начальной школы, возможно, еще не понял, что означает «целое число» или «несколько», не говоря уже о том, как умножить на 0. [52] Кроме того, определение четности для всех целых чисел может показаться произвольным. концептуальный ярлык, если до сих пор исследовались только четные числа, которые были положительными. Это может помочь признать, что, поскольку понятие числа расширяется от положительных целых чисел до нуля и отрицательных целых чисел,числовые свойства, такие как четность, также расширяются нетривиальным образом. [53]

Числовое познание [ править ]

Статистический анализ экспериментальных данных, показывающий разделение 0. В этом анализе наименьшего пространства имеет смысл только кластеризация данных; оси произвольные. [54]

Взрослые, которые действительно считают, что ноль есть четное, тем не менее, могут быть незнакомы с тем, чтобы думать о нем как о равном, достаточно, чтобы заметно замедлить их в эксперименте по времени реакции . Станислас Дехаене , пионер в области числового познания , провел серию таких экспериментов в начале 1990-х годов. На мониторе испытуемому высвечивается цифра или числовое слово , и компьютер записывает время, необходимое испытуемому для нажатия одной из двух кнопок, чтобы определить число как нечетное или четное. Результаты показали, что 0 обрабатывался медленнее, чем другие четные числа. Некоторые варианты эксперимента обнаружили задержки до 60 миллисекунд.или около 10% от среднего времени реакции - разница небольшая, но существенная. [55]

Эксперименты Дехена были разработаны не для исследования 0, а для сравнения конкурирующих моделей обработки и извлечения информации о четности. Наиболее конкретная модель, гипотеза мысленных вычислений, предполагает, что реакция на 0 должна быть быстрой; 0 - небольшое число, и его легко вычислить 0 × 2 = 0 . (Известно, что испытуемые вычисляют и называют результат умножения на ноль быстрее, чем умножение ненулевых чисел, хотя они медленнее проверяют предлагаемые результаты, такие как 2 × 0 = 0. ) Результаты экспериментов предполагают, что происходит нечто совершенно иное: информация о четности, очевидно, вызывалась из памяти вместе с кластером связанных свойств, таких как простое число или степень двойки. И последовательность степеней двойки, и последовательность положительных четных чисел 2, 4, 6, 8, ... являются хорошо различимыми ментальными категориями, члены которых в прототипе четны. Ноль не принадлежит ни к одному из списков, следовательно, ответы медленнее. [56]

Неоднократные эксперименты показали нулевую задержку для субъектов разного возраста, национального и языкового происхождения, которым задавали числовые имена в числовой форме, написанные и написанные в зеркальном отображении. Группа Дехаэна нашла один отличительный фактор: математические знания. В одном из экспериментов студенты Высшей школы нормального образования были разделены на две группы: литературных и математических, физических или биологических. Замедление на 0 было «по существу обнаружено в [литературной] группе», и на самом деле «до эксперимента некоторые L испытуемых не были уверены, было ли 0 четным или нечетным, и им нужно было напомнить математическое определение». [57]

Эта сильная зависимость от знакомства снова подрывает гипотезу мысленных расчетов. [58] Эффект также предполагает, что нецелесообразно включать ноль в эксперименты, где четные и нечетные числа сравниваются как группа. Как говорится в одном исследовании, «большинство исследователей, похоже, согласны с тем, что ноль не является типичным четным числом и не должен исследоваться как часть линии мысленных чисел». [59]

Повседневные контексты [ править ]

Некоторые контексты, в которых проявляется равенство нуля, носят чисто риторический характер. В выпуске есть материалы для форумов в Интернете и сайтов, на которых можно спросить экспертов. [60] Лингвист Джозеф Граймс размышляет над вопросом: «Является ли ноль четным числом?» для супружеских пар - хороший способ заставить их не соглашаться. [61] Люди, которые думают, что ноль не является ни четным, ни нечетным, могут использовать четность нуля как доказательство того, что каждое правило имеет контрпример , [62] или как пример вопроса с подвохом . [63]

Примерно в 2000 году средства массовой информации отметили пару необычных вех: «1999/11/19» была последней календарной датой, состоящей из всех нечетных цифр, которая будет встречаться в течение очень долгого времени, и что «2000/02/02» было первое за очень долгое время свидание без остатка. [64] Поскольку в этих результатах используется равенство 0, некоторые читатели не согласились с этой идеей. [65]

В стандартизированных тестах , если в вопросе задается вопрос о поведении четных чисел, возможно, необходимо иметь в виду, что ноль - это четное число. [66] В официальных публикациях, касающихся тестов GMAT и GRE, указано, что 0 - четное число. [67]

Нулевой паритет относится к нечетно-четному нормированию , при котором автомобили могут ездить или покупать бензин через день в соответствии с четностью последней цифры в их номерных знаках . Половина чисел в данном диапазоне оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8, а другая половина - на 1, 3, 5, 7, 9, поэтому имеет смысл включать 0 с другими четными числами. Однако в 1977 году система нормирования в Париже привела к путанице: в нечетный день полиция избегала штрафовать водителей, чьи номера заканчивались на 0, потому что они не знали, был ли 0 четным. [68] Чтобы избежать такой путаницы, в соответствующем законодательстве иногда оговаривается, что ноль равен четному; такие законы были приняты в Новом Южном Уэльсе [69] и Мэриленде.. [70]

На судах ВМС США четные отсеки находятся по левому борту, но ноль зарезервирован для отсеков, пересекающих осевую линию. То есть цифры 6-4-2-0-1-3-5 от левого до правого борта. [71] В игре в рулетку число 0 не считается четным или нечетным, что дает казино преимущество при таких ставках. [72] Точно так же равенство нуля может повлиять на выплаты в ставках, когда результат зависит от того, является ли какое-то рандомизированное число нечетным или четным, и оно оказывается равным нулю. [73]

Это также влияет на игру « шансы и разницы »: если оба игрока бросают ноль пальцев, общее количество пальцев равно нулю, поэтому выигрывает четный игрок. [74] В одном руководстве для учителей предлагается сыграть в эту игру, чтобы познакомить детей с концепцией, согласно которой 0 делится на 2. [75]

Ссылки [ править ]

  1. ^ а б Арнольд 1919 , стр. 21 «По тому же тесту ноль превосходит все числа по« четности ».»; Вонг 1997 , стр. 479 "Таким образом, целое число b 000 ⋯ 000 = 0 является наиболее четным.
  2. ^ Пеннер 1999 , стр. 34: Лемма B.2.2, Целое число 0 четное и не нечетное . Пеннер использует математический символ ∃, то квантор существования , изложить доказательство: «чтобы видетьчто 0 четно, мы должны доказатьчто ∃ к (0 = 2 к ), и это следует из равенства 0 = 2 ⋅ 0 .»
  3. ^ Ball, Lewis & Thames (2008 , стр. 15) обсуждают эту проблему для учителя начальных классов, который хочет дать математическое обоснование математических фактов, но чьи ученики не используют то же определение и не поняли бы его, если бы оно было введено. .
  4. ^ Сравните Lichtenberg (1972 , p. 535) Рис. 1
  5. ^ Lichtenberg 1972 , стр. 535–536 "... числа отвечают на вопрос" Сколько? "Для набора объектов ... ноль - это числовое свойство пустого набора ... Если элементы каждого набора отмечены группы по два ... тогда номер этого набора - четное число ".
  6. ^ Lichtenberg 1972 , стр. 535–536 «Обведены нулевые группы из двух звезд. Звезд не осталось. Следовательно, ноль - четное число».
  7. Перейти ↑ Dickerson & Pitman 2012 , p. 191.
  8. Перейти ↑ Lichtenberg 1972 , p. 537; сравните с ней Рис. 3. «Если четные числа идентифицируются каким-то особым образом ... нет вообще причин пропускать ноль из шаблона».
  9. ^ Lichtenberg 1972 , стр. 537–538 «На более продвинутом уровне ... числа, выраженные как (2 × ▢) + 0, являются четными числами ... ноль хорошо вписывается в этот образец».
  10. Перейти ↑ Caldwell & Xiong 2012 , pp. 5–6.
  11. ^ Гауэрс 2002 , стр. 118 «Кажущееся произвольным исключение 1 из определения простого числа ... не выражает некоторых глубоких фактов о числах: это просто полезное соглашение, принятое таким образом, что есть только один способ разложить любое данное число на простые числа». Для более подробного обсуждения см. Caldwell & Xiong (2012) .
  12. ^ a b c Partee 1978 , стр. xxi
  13. ^ a b Стюарт 2001 , стр. 54 Эти правила даны, но не цитируются дословно.
  14. Перейти ↑ Devlin 1985 , pp. 30–33
  15. ^ Пеннер 1999 , стр. 34.
  16. ^ a b Berlinghoff, Grant & Skrien 2001 Относительно изолированных вершин см. стр. 149; для групп см. стр. 311.
  17. ^ Lovász, Pelikán & Vesztergombi 2003 , стр. 127-128
  18. ↑ Starr 1997 , стр. 58–62
  19. Перейти ↑ Border 1985 , pp. 23-25
  20. Перейти ↑ Lorentz 1994 , pp. 5–6; Lovas & Pfenning 2008 , стр. 115; Нипков, Полсон и Венцель 2002 , стр. 127
  21. Перейти ↑ Bunch 1982 , p. 165
  22. ^ Зальцманн и др. 2007 , стр. 168
  23. Перейти ↑ Wise 2002 , pp. 66–67
  24. Перейти ↑ Anderson 2001 , p. 53; Хартсфилд и Рингель 2003 , стр. 28 год
  25. ^ Даммит и Фут 1999 , стр. 48
  26. ^ Эндрюс 1990 , стр. 100
  27. ^ Табачникова и Смит 2000 , стр. 99; Андерсон и Фейл, 2005 г. , стр. 437–438.
  28. ^ Barbeau 2003 , стр. 98
  29. Перейти ↑ Wong 1997 , p. 479
  30. ^ Gouvêa 1997 , стр. 25 Об общем простом p : «Причина здесь в том, что мы, безусловно, можем разделить 0 на p , и ответ будет 0, который мы можем разделить на p , и ответ будет 0, который мы можем разделить на p …» (многоточие в оригинале)
  31. Перейти ↑ Krantz 2001 , p. 4
  32. ^ Зальцманн и др. 2007 , стр. 224
  33. ^ а б Фробишер 1999 , стр. 41 год
  34. ^ Это временные рамки для США, Канады, Великобритании, Австралии и Израиля; см. Левенсон, Цамир и Тирош (2007 , с. 85).
  35. ↑ Frobisher, 1999 , стр. 31 (Введение); 40–41 (число ноль); 48 (Значение для обучения)
  36. ↑ Frobisher, 1999 , стр. 37, 40, 42; Результаты взяты из опроса, проведенного в середине лета 1992 года.
  37. ^ Фробишер 1999 , стр. 41 «Процент детей 2-х классов, решивших, что ноль - четное число, намного ниже, чем в предыдущем исследовании, 32% по сравнению с 45%»
  38. ^ Фробишер 1999 , стр. 41 «Успех в принятии решения о том, что ноль является четным числом, не увеличивался с возрастом, и примерно каждый второй ребенок в каждом из классов 2–6 поставил галочку в графе« даже »...»
  39. ↑ Frobisher, 1999 , стр. 40–42, 47; Эти результаты взяты из исследования, проведенного в феврале 1999 г., в котором участвовал 481 ребенок из трех школ с разным уровнем образования.
  40. ^ Фробишер 1999 , стр. 41, приписывается «Джонатану»
  41. ^ Фробишер 1999 , стр. 41, приписывается "Иосифу"
  42. ^ Фробишер 1999 , стр. 41, приписывается "Ричарду"
  43. ^ Keith 2006 , стр. 35-68 «Там было мало разногласий по идее ноль является четным числом. Студенты убежденычто мало кто не был уверенчто с двумя аргументами. Первый аргумент былчто числа идут в шаблоне ... нечетное, четное, нечетное, четное, нечетное, четное ... и поскольку два - четное, а один - нечетное, то число перед единицей, которое не является дробью, будет равно нулю. Таким образом, ноль должен быть четным. Второй аргумент заключалось в том, что если у человека есть ноль вещей, и они помещают их в две равные группы, то в каждой группе будет ноль. В двух группах будет одинаковое количество, ноль "
  44. ^ Левенсон, Tsamir & Tirosh 2007 , стр. 83-95
  45. ^ a b Болл, Lewis & Thames 2008 , стр. 27, рисунок 1.5 «Математические утверждения о нуле».
  46. Перейти ↑ Ball, Lewis & Thames 2008 , p. 16.
  47. ^ Левенсон, Цамир и Тирош 2007 ; Дикерсон и Питман, 2012 г.
  48. Перейти ↑ Dickerson & Pitman 2012 .
  49. ↑ Ball, Hill & Bass 2005 , стр. 14–16
  50. ^ Хилл и др. 2008. С. 446–447.
  51. Перейти ↑ Lichtenberg 1972 , p. 535
  52. Перейти ↑ Ball, Lewis & Thames 2008 , p. 15. См. Также основной доклад Болла для дальнейшего обсуждения соответствующих определений.
  53. ^ В заключение Левенсон, Tsamir & Тироша (2007 , стр. 93), ссылки на Фройденталь (1983 , стр. 460)
  54. ^ Nuerk, Iversen & Willmes (2004 , стр. 851): «Также можно увидеть, что ноль сильно отличается от всех других чисел, независимо от того, реагируют на него левой или правой рукой (см. Линию, разделяющую ноль. от других номеров.) "
  55. ^ См. Данные в Dehaene, Bossini & Giraux (1993) и резюме Nuerk, Iversen & Willmes (2004 , p. 837).
  56. ^ Деан, Bossini & Giraux 1993 , стр. 374-376
  57. ^ Деан, Bossini & Giraux 1993 , стр. 376-377
  58. ^ Деан, Bossini & Giraux 1993 , стр. 376 «В некотором интуитивном смысле понятие четности знакомо только для чисел больше 2. Действительно, до эксперимента некоторые L испытуемых не были уверены, является ли 0 четным или нечетным, и им нужно было напомнить математическое определение. вкратце, предполагает, что вместо того, чтобы вычисляться на лету с использованием критерия делимости на 2, информация о четности извлекается из памяти вместе с рядом других семантических свойств ... Если доступ к семантической памяти осуществляется в суждениях о четности, то межиндивидуальные различия должны быть найдены в зависимости от того, насколько испытуемые знакомы с понятиями чисел ".
  59. ^ Nuerk, Айверсен & Willmes 2004 , стр. 838, 860-861
  60. ^ Участники математического форума 2000 г . ; Консультативный совет Straight Dope Science 1999 ; Доктор Рик 2001
  61. Перейти ↑ Grimes 1975 , p. 156 «... можно задать следующие вопросы супружеским парам своего знакомого: (1) Ноль - четное число? ... Многие пары не согласны ...»
  62. ^ Вилден & Молоток 1987 , стр. 104
  63. ^ Снег 2001 ; Морган 2001
  64. ^ Steinberg 1999 ; Siegel 1999 ; Стингл 2006
  65. ^ Sones & Sones 2002 «Отсюда следует, что ноль - это четное число, и что 20.02.2000 прекрасно решает головоломку. Тем не менее, всегда удивительно, как много людей беспокоит, называя ноль даже…»; Столбец 8 читатели 2006a «... согласно математикам, число ноль, вместе с отрицательными числами и дробями, не является ни четным, ни нечетным», - пишет Этан ... »; Читатели из колонки 8, 2006b «« Я согласен с тем, что ноль - это четное число, но разумно ли профессору Бундеру «доказать» это, заявив, что 0 = 2 x 0? По этой логике (от доктора математической логики, не меньше), поскольку 0 = 1 x 0, это тоже странно! ' Профессор будет оспаривать это, и, по логике вещей, у него есть для этого веские основания, но, возможно, эта тема слишком тонка ... "
  66. Перейти ↑ Kaplan Staff 2004 , p. 227
  67. ^ Совет по приему управления выпускниками 2005 , стр 108, 295–297; Служба образовательного тестирования 2009 , стр. 1
  68. ^ Arsham 2002 ; Цитата приписываетсяпередаче heute от 1 октября 1977 года. Рассказ Аршама повторяет Крампакер (2007 , стр. 165).
  69. ^ Sones & Sones 2002 "Математик штата Пенсильвания Джордж Эндрюс, который вспоминает времена нормирования газа в Австралии ... Затем кто-то в парламенте Нового Южного Уэльса утверждал, что это означает, что тарелки, оканчивающиеся на ноль, никогда не могут получить газ, потому что 'ноль - тоже не странно ни даже. Итак, парламент Нового Южного Уэльса постановил, что для целей нормирования газа ноль является четным числом! »"
  70. ^ Закон Мэриленда 1980 года гласит: «(а) В четные календарные даты бензин может приобретаться только операторами транспортных средств с именными номерными знаками без номеров и номерными знаками с последней цифрой, оканчивающейся на четное число. Это не касается ветчины. Таблички радиста. Ноль - четное число; (b) В календарных датах с нечетными номерами ... »Частичная цитата взята из Департамента законодательной справки (1974 г.), Законы штата Мэриленд, том 2 , с. 3236 , дата обращения 2 июня 2013.
  71. Перейти ↑ Cutler, 2008 , pp. 237–238
  72. ^ Brisman 2004 , стр. 153
  73. ^ Смок 2006 ; Hohmann 2007 ; Тернер 1996
  74. Перейти ↑ Diagram Group 1983 , p. 213
  75. ^ Баруди & Coslick 1998 , стр. 1,33

Библиография [ править ]

  • Андерсон, Ян (2001), Первый курс дискретной математики , Лондон: Springer, ISBN 978-1-85233-236-5
  • Андерсон, Марлоу; Фейл, Тодд (2005), Первый курс абстрактной алгебры: кольца, группы и поля , Лондон: CRC Press, ISBN 978-1-58488-515-3
  • Эндрюс, Эдна (1990), Теория маркировки: союз асимметрии и семиозиса в языке , Дарем: Duke University Press, ISBN 978-0-8223-0959-8
  • Арнольд, К.Л. (январь 1919 г.), «Число ноль» , The Ohio Educational Monthly , 68 (1): 21–22 , получено 11 апреля 2010 г.
  • Аршам, Хоссейн (январь 2002 г.), «Ноль в четырех измерениях: исторические, психологические, культурные и логические перспективы» , Форум Пантането , заархивировано из оригинала 25 сентября 2007 г. , извлечено 24 сентября 2007 г.
  • Болл, Дебора Лёвенберг; Хилл, Хизер С .; Басс, Хайман (2005), «Знание математики для преподавания: кто знает математику достаточно хорошо, чтобы преподавать в третьем классе, и как мы можем принять решение?», Американский педагог , hdl : 2027.42 / 65072
  • Болл, Дебора Лёвенберг; Льюис, Дженнифер; Thames, Mark Hoover (2008), «Заставляем математику работать в школе» (PDF) , Journal for Research in Mathematics Education , M14 : 13–44 и 195–200 , данные получены 4 марта 2010 г.
  • Барбо, Эдвард Джозеф (2003), Многочлены , Springer, ISBN 978-0-387-40627-5
  • Баруди, Артур; Кослик, Рональд (1998), Развитие математических способностей детей: исследовательский подход к K-8 , Lawrence Erlbaum Associates, ISBN 978-0-8058-3105-4
  • Berlinghoff, William P .; Грант, Керри Э .; Скрин, Дейл (2001), Математический образец: темы для гуманитарных наук (5-е изд.), Роуман и Литтлфилд, ISBN 978-0-7425-0202-4
  • Граница, Ким С. (1985), Теоремы о неподвижной точке с приложениями к экономике и теории игр , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38808-5
  • Брисман, Эндрю (2004), Mensa Guide to Casino Gambling: Winning Ways , Sterling, ISBN 978-1-4027-1300-2
  • Банч, Брайан Х. (1982), Математические заблуждения и парадоксы , Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN 978-0-442-24905-2
  • Колдуэлл, Крис К .; Сюн, Йенг (27 декабря 2012 г.), «Какое наименьшее простое число?» , Журнал целочисленных последовательностей , 15 (9), arXiv : 1209.2007 , Bibcode : 2012arXiv1209.2007C
  • Читатели колонки 8 (10 марта 2006a), "Колонка 8", The Sydney Morning Herald (первое издание), с. 18, Factiva  SMHH000020060309e23a00049
  • Читатели колонки 8 (16 марта 2006b), "Колонка 8", The Sydney Morning Herald (первое издание), с. 20, Factiva  SMHH000020060315e23g0004z
  • Крампакер, Банни (2007), Идеальные фигуры: Знание чисел и как мы научились считать , Macmillan, ISBN 978-0-312-36005-4
  • Катлер, Томас Дж. (2008), Руководство Bluejacket: ВМС США (столетний ред.), Naval Institute Press, ISBN 978-1-55750-221-6
  • Дехайн, Станислав ; Боссини, Серж; Giraux, Паскаль (1993), "Умственное представление четности и численной величины" (PDF) , Журнал экспериментальной психологии: общее , 122 (3): 371-396, DOI : 10,1037 / 0096-3445.122.3.371 , архивируются с оригинал (PDF) от 19 июля 2011 г. , дата обращения 13 сентября 2007 г.
  • Девлин, Кейт (апрель 1985 г.), «Золотой век математики», New Scientist , 106 (1452)
  • Diagram Group (1983), Официальная всемирная энциклопедия спорта и игр , Paddington Press, ISBN 978-0-448-22202-8
  • Дикерсон, Дэвид С; Питман, Дэмиен Дж. (Июль 2012 г.), Тай-Йи Цо (редактор), «Классификация учащихся высшего уровня и использование математических определений» (PDF) , Труды 36-й конференции Международной группы по психологии математики Образование , 2 : 187–195.
  • Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (1999), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-36857-1
  • Служба образовательного тестирования (2009 г.), Математические условные обозначения для меры количественного мышления пересмотренного общего теста GRE® (PDF) , Служба образовательного тестирования , данные получены 6 сентября 2011 г.
  • Фройденталь, Х. (1983), Дидактическая феноменология математических структур , Дордрехт, Нидерланды: Reidel
  • Фробишер, Лен (1999), Энтони Ортон (редактор), Знание детей начальной школы о нечетных и четных числах , Лондон: Касселл, стр. 31–48.
  • Гувеа, Фернандо Куадрос (1997),p -адические числа: введение (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62911-5
  • Гауэрс, Тимоти (2002), Математика: очень краткое введение , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-285361-5
  • Приемный совет по управлению выпускниками (сентябрь 2005 г.), Официальное руководство по обзору GMAT (11-е изд.), Маклин, Вирджиния: Приемный совет по управлению выпускниками, ISBN 978-0-9765709-0-5
  • Граймс, Джозеф Э. (1975), Нить дискурса , Уолтер де Грюйтер, ISBN 978-90-279-3164-1
  • Хартсфилд, Нора ; Рингель, Герхард (2003), Жемчуг в теории графов: всестороннее введение , Mineola: Courier Dover, ISBN 978-0-486-43232-8
  • Хилл, Хизер С .; Blunk, Merrie L .; Charalambous, Charalambos Y .; Льюис, Дженнифер М .; Фелпс, Джеффри Ч .; Спи, Лори! Болл, Deborah Loewenberg (2008), "Математические знания для обучения и математического качества обучения: Поисковое исследование", Познания и Инструкции , 26 (4): 430-511, DOI : 10,1080 / 07370000802177235
  • Хоманн, Джордж (25 октября 2007 г.), «Компании позволяют рынку определять новое имя», Charleston Daily Mail , стр. P1C, Factiva  CGAZ000020071027e3ap0001l
  • Kaplan Staff (2004 г.), Kaplan SAT 2400, издание 2005 г. , Саймон и Шустер, ISBN 978-0-7432-6035-0
  • Кейт, Энни (2006), Математический аргумент во втором классе: создание и обоснование обобщенных утверждений о нечетных и четных числах , IAP, ISBN 978-1-59311-495-4
  • Кранц, Стивен Джордж (2001), Словарь алгебры, арифметики и тригонометрии , CRC Press, ISBN 978-1-58488-052-3
  • Левенсон, Эстер; Цамир, Пессия; Tirosh, Дина (2007), "Ни даже ни странный: Дилеммы студентов ранга Шестого относительно четности нуля", Журнал математического поведения , 26 (2): 83-95, DOI : 10.1016 / j.jmathb.2007.05. 004
  • Лихтенберг, Бетти Планкетт (ноябрь 1972 г.), «Ноль - четное число», Учитель арифметики , 19 (7): 535–538
  • Лоренц, Ричард Дж. (1994), Рекурсивные алгоритмы , Интеллект Книги, ISBN 978-1-56750-037-0
  • Ловас, Уильям; Pfenning, Frank (22 января 2008), "двунаправленного Доработка Тип системы для LF", Электронные Заметки в теоретической информатике , 196 : 113-128, DOI : 10.1016 / j.entcs.2007.09.021
  • Ловас, Ласло ; Пеликан, Йожеф; Вестергомби, Каталин Л. (2003), Дискретная математика: элементарная и не только , Springer, ISBN 978-0-387-95585-8
  • Морган, Фрэнк (5 апреля 2001 г.), «Старые монеты» , Math Chat Фрэнка Моргана , Математическая ассоциация Америки , получено 22 августа 2009 г.
  • Нипков, Тобиас ; Полсон, Лоуренс К .; Венцель, Маркус (2002), Изабель / Хол: помощник по проверке логики высокого порядка , Springer, ISBN 978-3-540-43376-7
  • Nuerk, Hans-Christoph; Иверсен, Вибке; Willmes, Клаус (июль 2004 г.), "Notational модуляция SNARC и МАРК (лингвистическая маркированностью кодов ответа) эффект", Ежеквартальный журнал экспериментальной психологии A , 57 (5): 835-863, DOI : 10,1080 / 02724980343000512
  • Парти, Барбара Холл (1978), Основы математики для лингвистики , Дордрехт: Д. Рейдель, ISBN 978-90-277-0809-0
  • Пеннер, Роберт К. (1999), Дискретная математика: методы доказательства и математические структуры , River Edje: World Scientific, ISBN 978-981-02-4088-2
  • Salzmann, H .; Grundhöfer, T .; Hähl, H .; Левен, Р. (2007), Классические поля: структурные особенности действительных и рациональных чисел , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86516-6
  • Сигел, Роберт (19 ноября 1999 г.), «Анализ: сегодняшняя дата обозначается сокращениями с использованием только нечетных чисел. 1-1, 1-9, 1-9-9-9. В следующий раз, когда это произойдет, будет больше тысячи. лет спустя ". , Все внимание принимается , Национальное общественное радио
  • Смок, Дуг (6 февраля 2006 г.), «Нечетные ставки: Хайнс Уорд против Тайгера Вудса», Charleston Gazette , стр. P1B, Factiva  CGAZ000020060207e226000bh
  • Сноу, Тони (23 февраля 2001 г.), «Дураки Буббы» , Jewish World Review , получено 22 августа 2009 г.
  • Сонс, Билл; Сонс, Рич (8 мая 2002 г.), «Чтобы скрыть свой возраст, застегните губы» , Deseret News , стр. C07 , получено 21 июня 2014 г.
  • Старр, Росс М. (1997), Теория общего равновесия: Введение , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-56473-1
  • Стейнберг, Нил (30 ноября 1999 г.), «Четный год, нечетные факты», Chicago Sun-Times (изд. 5XS), стр. 50, Factiva  chi0000020010826dvbu0119h
  • Стюарт, Марк Алан (2001), 30 дней до GMAT CAT , Стэмфорд: Томсон, ISBN 978-0-7689-0635-6
  • Стингл, Джим (5 апреля 2006 г.), «01:02:03 04/05/06; мы можем рассчитывать на некоторые вещи в жизни» , Milwaukee Journal Sentinel (Final ed.), P. B1, заархивировано из оригинала 27 апреля 2006 г. , извлечено 21 июня 2014 г.
  • Табачникова Ольга М .; Смит, Джефф К. (2000), Темы теории групп , Лондон: Springer, ISBN 978-1-85233-235-8
  • Участники математического форума (2000), «Вопрос вокруг нуля» , математический форум »Обсуждения» История »Historia-Matematica , Университет Дрекселя , получено 25 сентября 2007 г.
  • Тернер, Джулиан (13 июля 1996 г.), «Ставки на спорт - Литхэм смотрит на южную часть Тихого океана», The Guardian , стр. 23, Factiva  grdn000020011017ds7d00bzg
  • Уилден, Энтони; Хаммер, Ронда (1987), Правила - это не игра: стратегия коммуникации , Рутледж Кеган и Пол, ISBN 978-0-7100-9868-9
  • Мудрый, Стивен (2002), Основы ГИС , CRC Press, ISBN 978-0-415-24651-4
  • Вонг, Сэмюэл Шоу Мин (1997), Вычислительные методы в физике и инженерии , World Scientific, ISBN 978-981-02-3043-2

Внешние ссылки [ править ]

  • СМИ, связанные с нулевым паритетом на Викискладе?
  • Доктор Рик (2001), "Ноль четный?" , Ask Dr. Math , The Math Forum , получено 6 июня 2013 г.
  • Консультативный совет Straight Dope Science (1999), "Ноль четный или нечетный?" , The Straight Dope Mailbag , получено 6 июня 2013 г.
  • Ноль четный? - Numberphile , видео с доктором Джеймсом Граймом, Ноттингемский университет