Абстракция в математике - это процесс извлечения базовых структур , паттернов или свойств математической концепции, устранения любой зависимости от объектов реального мира, с которыми она могла быть изначально связана, и ее обобщения, чтобы она имела более широкие применения или соответствовала другим абстрактным описания эквивалентных явлений . [1] [2] [3] [4] Два из наиболее абстрактных областей современной математики являются теория категорий и теория моделей . [4]
Описание
Многие области математики начинались с изучения проблем реального мира до того, как основные правила и концепции были идентифицированы и определены как абстрактные структуры . Например, геометрия берет свое начало в вычислении расстояний и площадей в реальном мире, а алгебра началась с методов решения задач в арифметике .
Абстракция - это непрерывный процесс в математике, и историческое развитие многих математических тем демонстрирует прогрессию от конкретного к абстрактному. Например, первые шаги в абстракции геометрии были исторически сделаны древними греками, с Евклида является ранней существующей документацией аксиом планиметрии, хотя Прокл говорит о более раннем аксиоматизации по Гиппократ Хиоса . [5] В 17 веке Декарт ввел декартовы координаты, которые позволили развить аналитическую геометрию . Дальнейшие шаги в абстракции были предприняты Лобачевским , Бойяи , Риманом и Гауссом , которые обобщили концепции геометрии для разработки неевклидовых геометрий . Позже в 19 веке математики еще больше обобщили геометрию, развивая такие области, как геометрия в n измерениях , проективная геометрия , аффинная геометрия и конечная геометрия . Наконец Феликс Клейн «s„ программа Эрланген “определил основную тему всех этих геометрий, определяя каждый из них , как изучение свойств инварианта по данной группе из симметрий . Этот уровень абстракции выявил связи между геометрией и абстрактной алгеброй . [6]
В математике абстракция может дать следующие преимущества:
- Он выявляет глубокие связи между разными областями математики.
- Известные результаты в одной области могут наводить на предположения в другой смежной области.
- Приемы и методы из одной области могут применяться для подтверждения результатов в других связанных областях.
- Паттерны одного математического объекта могут быть обобщены на другие подобные объекты того же класса.
С другой стороны, абстракция также может быть невыгодной в том смысле, что очень абстрактные концепции могут быть трудными для изучения. [7] Для концептуального усвоения абстракций может потребоваться степень математической зрелости и опыта . Таким образом, одним из основных принципов подхода Монтессори к математическому образованию является поощрение детей переходить от конкретных примеров к абстрактному мышлению. [8]
Бертран Рассел в «Научном мировоззрении» (1931) пишет, что «Обычный язык совершенно не подходит для выражения того, что на самом деле утверждает физика, поскольку слова повседневной жизни недостаточно абстрактны. Только математика и математическая логика могут сказать то же самое, что и физик. сказать." [9]
Смотрите также
- Абстрактная деталь
- Обобщение
- Абстрактное мышление
- Абстрактная логика
- Абстрактная алгебраическая логика
- Абстрактная теория моделей
- Абстрактная чушь
- Концепция
Рекомендации
- ^ Бертран Рассел в «Принципах математики, том 1» (стр. 219) ссылается на « принцип абстракции ».
- ^ Роберт Б. Эш. Учебник по абстрактной математике. Cambridge University Press, 1 января 1998 г.
- ^ Новый американский энциклопедический словарь. Под редакцией Эдварда Томаса Роу, Ле Роя Хукера, Томаса У. Хэндфорда. Стр. 34
- ^ a b "Окончательный словарь высшего математического жаргона - Абстракция" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 22 октября 2019 .
- ^ Прокла Резюме архивации 2015-09-23 в Wayback Machine
- ^ Торретти, Роберто (2019), «Геометрия девятнадцатого века» , в Zalta, Эдвард Н. (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии (издание осень 2019 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , извлечено 22 октября 2019 г.
- ^ «... знакомство учеников с абстрактной математикой - непростая задача и требует долгосрочных усилий, которые должны учитывать разнообразие контекстов, в которых используется математика», PL Ferrari, Abstraction in Mathematics , Phil. Пер. R. Soc. Лондон. B 29 июля 2003 г. 358 нет. 1435 1225–1230
- ^ Философия Монтессори: переход от конкретного к абстрактному , Североамериканский Монтессори-центр
- ^ «Цитаты Рассела» . Архив истории математики MacTutor . Проверено 22 октября 2019 .
дальнейшее чтение
- Байнок, Бела (2013). Приглашение к абстрактной математике . Springer. ISBN 978-1-4614-6635-2.