Некоммутативная геометрия ( NCG ) - это раздел математики, связанный с геометрическим подходом к некоммутативным алгебрам и построением пространств , которые локально представлены некоммутативными алгебрами функций (возможно, в некотором обобщенном смысле). Некоммутативная алгебра - это ассоциативная алгебра, в которой умножение не коммутативно , то есть для которой не всегда равно ; или, в более общем смысле, алгебраическая структура, в которой одна из основных бинарных операций не является коммутативной; один также позволяет некоммутативной алгебре функций переносить дополнительные структуры, например топологию или норму .
Мотивация
Основная мотивация состоит в том, чтобы распространить коммутативную двойственность между пространствами и функциями на некоммутативную установку. В математике пространства , имеющие геометрическую природу, могут быть связаны с числовыми функциями на них. В общем случае такие функции образуют коммутативное кольцо . Например, можно взять кольцо C ( X ) из непрерывных комплексных значных функций на топологическом пространстве X . Во многих случаях ( например , если X - компактное хаусдорфово пространство ), мы можем восстановить X из C ( X ), и поэтому имеет смысл сказать, что X имеет коммутативную топологию .
Более конкретно, в топологии компактные хаусдорфовы топологические пространства могут быть восстановлены из банаховой алгебры функций на пространстве ( Гельфанд – Наймарк ). В коммутативной алгебраической геометрии , алгебраические схемы локально премьер спектры коммутативных колец унитарных ( А. гротендиковы ), и схемы могут быть восстановлены из категорий квазикогерентных пучков модулей на них ( П. Габриэль -A. Rosenberg). Для топологий Гротендика когомологические свойства узла являются инвариантами соответствующей категории пучков множеств, рассматриваемых абстрактно как топос (А. Гротендик). Во всех этих случаях пространство восстанавливается из алгебры функций или ее категорированной версии - некоторой категории пучков на этом пространстве.
Функции на топологическом пространстве можно умножать и складывать поточечно, поэтому они образуют коммутативную алгебру; на самом деле эти операции локальны в топологии базового пространства, следовательно, функции образуют пучок коммутативных колец над базовым пространством.
Мечта некоммутативной геометрии состоит в том, чтобы обобщить эту двойственность на двойственность между некоммутативными алгебрами, или пучками некоммутативных алгебр, или пучкообразными некоммутативными алгебраическими или операторно-алгебраическими структурами и геометрическими объектами определенных видов, и дать взаимодействие между алгебраическими и алгебраическими объектами. их геометрическое описание через эту двойственность.
Поскольку коммутативные кольца соответствуют обычным аффинным схемам, а коммутативные C * -алгебры - обычным топологическим пространствам, расширение на некоммутативные кольца и алгебры требует нетривиального обобщения топологических пространств как «некоммутативных пространств». По этой причине говорят о некоммутативной топологии , хотя этот термин имеет и другие значения.
Приложения в математической физике
Некоторые приложения в физике элементарных частиц описаны в статьях Некоммутативная стандартная модель и Некоммутативная квантовая теория поля . Внезапный рост интереса к некоммутативной геометрии в физике последовал после предположений о ее роли в M-теории, сделанных в 1997 году [1].
Мотивация из эргодической теории
Часть теории, разработанной Аленом Конном для работы с некоммутативной геометрией на техническом уровне, уходит корнями в более старые попытки, в частности, в эргодической теории . Предложение Джорджа Макки создать теорию виртуальных подгрупп , по отношению к которой действия эргодических групп стали бы однородными пространствами расширенного типа, к настоящему времени принято во внимание.
Некоммутативные C * -алгебры, алгебры фон Неймана
(Формальные) двойники некоммутативных C * -алгебр теперь часто называют некоммутативными пространствами. Это по аналогии с представлением Гельфанда , который показывает , что коммутативный C * -алгебры двойственные к локально компактным хаусдорфовым пространствам . В общем, можно связать с любым C * -алгебра S топологическое пространство ˙s ; см. спектр C * -алгебры .
Для двойственности между а-конечной мерой пространств и коммутативных алгебр фон Неймана , некоммутативные алгебры фон Неймана называются некоммутативных пространств с мерой .
Некоммутативные дифференцируемые многообразия
Гладкое риманово многообразие M - это топологическое пространство с большим количеством дополнительной структуры. По его алгебре непрерывных функций C ( M ) мы восстанавливаем M только топологически. Алгебраический инвариант, восстанавливающий риманову структуру, является спектральной тройкой . Он построен из гладкого векторного расслоения E над M , например расслоения внешней алгебры. Гильбертово пространство L 2 ( M , E ) квадратично интегрируемых сечений Е имеют представление С ( М) путем умножения операторов, и мы рассмотрим неограниченный оператор D в L 2 ( M , E ) с компактным резольвенты (например, подпись оператор ), такие что коммутаторы [ D , f ] ограничены, если f гладкая. Недавняя глубокая теорема [2] утверждает, что M как риманово многообразие может быть восстановлено из этих данных.
Это наводит на мысль, что можно определить некоммутативное риманово многообразие как спектральную тройку ( A , H , D ), состоящую из представления C * -алгебры A в гильбертовом пространстве H вместе с неограниченным оператором D на H с компактным резольвентный, такой , что [ D , ] ограничен для всех а в некоторой плотной подалгебре A . Исследования спектральных троек ведутся очень активно, и было построено много примеров некоммутативных многообразий.
Некоммутативные аффинные и проективные схемы
По аналогии с двойственностью между аффинными схемами и коммутативными кольцами , мы определим категорию некоммутативных аффинных схем как двойственная категории ассоциативных колец унитарных. В этом контексте существуют определенные аналоги топологии Зарисского, позволяющие приклеивать такие аффинные схемы к более общим объектам.
Существуют также обобщения конуса и Proj коммутативного градуированного кольца, имитирующие теорему Серра о Proj. А именно, категория квазикогерентных пучков O-модулей на Proj коммутативной градуированной алгебры эквивалентна категории градуированных модулей над кольцом, локализованных на подкатегории Серра градуированных модулей конечной длины; аналогичная теорема существует и для когерентных пучков, когда алгебра нётерова. Эта теорема распространяется как определение некоммутативной проективной геометрии по Артин и JJ Чжан, [3] , которые также добавить некоторые общие теоретико-кольцевые условия (например , Артина- Schelter регулярность).
Многие свойства проективных схем распространяются на этот контекст. Например, существует аналог знаменитой двойственности Серра для некоммутативных проективных схем Артина и Чжана. [4]
А.Л. Розенберг создал довольно общую относительную концепцию некоммутативной квазикомпактной схемы (над базовой категорией), абстрагируя исследование Гротендика морфизмов схем и покрытий в терминах категорий квазикогерентных пучков и плоских функторов локализации. [5] Существует также еще один интересный подход через теорию локализации, созданный Фредом Ван Ойстейеном , Люком Уиллаертом и Аленом Вершореном, где основная концепция - это концепция схематической алгебры . [6] [7]
Инварианты некоммутативных пространств
Некоторые из мотивирующих вопросов теории связаны с распространением известных топологических инвариантов на формальные двойники некоммутативных (операторных) алгебр и другими заменами и кандидатами в некоммутативные пространства. Одной из основных отправных точек направления Алена Конна в некоммутативной геометрии является его открытие новой теории гомологий, связанной с некоммутативными ассоциативными алгебрами и некоммутативными операторными алгебрами, а именно циклических гомологий и их связи с алгебраической K-теорией (в основном через Конна– Карта персонажей Черна).
Теория характеристических классов гладких многообразий была распространена на спектральные тройки с использованием инструментов операторной K-теории и циклических когомологий . Некоторые обобщения ставших классическими теорем об индексе позволяют эффективно извлекать числовые инварианты из спектральных троек. Фундаментальный характеристический класс в циклических когомологиях, коцикл JLO , обобщает классический характер Черна .
Примеры некоммутативных пространств
- В формулировке фазового пространства квантовой механики, симплектическое фазовое пространство из классической механики является деформируется в некоммутативном фазовом пространстве , порожденного операторов координаты и импульса .
- Некоммутативна стандартная модель является планируемым расширением стандартной модели физики элементарных частиц.
- В некоммутативном торе , деформация алгебры функций обычного тора, может быть задана структурой спектральной тройки. Этот класс примеров интенсивно изучался и до сих пор используется в качестве тестового примера для более сложных ситуаций.
- Спейс Снайдера [8]
- Некоммутативные алгебры, возникающие из слоений .
- Примеры, относящиеся к динамическим системам, возникающие из теории чисел , такие как сдвиг Гаусса на цепных дробях, приводят к появлению некоммутативных алгебр, которые, как представляется, имеют интересную некоммутативную геометрию.
Смотрите также
- Коммутативность
- Формулировка фазового пространства
- Мойял продукт
- Нечеткая сфера
- Некоммутативная алгебраическая геометрия
- Некоммутативная топология
Заметки
- ^ Конн, Ален; Дуглас, Майкл Р.; Шварц, Альберт (1998-02-05). «Некоммутативная геометрия и теория матриц». Журнал физики высоких энергий . 1998 (2): 003. arXiv : hep-th / 9711162 . Bibcode : 1998JHEP ... 02..003C . DOI : 10.1088 / 1126-6708 / 1998/02/003 . ISSN 1029-8479 . S2CID 7562354 .
- ^ Конн, Ален (2008). «О спектральной характеризации многообразий». arXiv : 0810.2088 [ math.OA ].
- ^ Артин, М .; Чжан, Дж. Дж. (1994). «Некоммутативные проективные схемы». Успехи в математике . 109 (2): 228–287. DOI : 10,1006 / aima.1994.1087 . ISSN 0001-8708 .
- ^ Екутиели, Амнон; Чжан, Джеймс Дж. (1 марта 1997 г.). «Двойственность Серра для некоммутативных проективных схем» . Труды Американского математического общества . Американское математическое общество (AMS). 125 (3): 697–708. DOI : 10,1090 / s0002-9939-97-03782-9 . ISSN 0002-9939 .
- ^ Л. Розенберг, Некоммутативные схемы, Compositio Mathematica 112 (1998) 93--125, DOI ; Базовые пространства некоммутативных схем, препринт MPIM2003-111, dvi , ps ; Лекция ИИГС Некоммутативные схемы и пространства (февраль 2000 г.): видео
- ^ Фредди ван Ойстэйен, Алгебраическая геометрия для ассоциативных алгебр, ISBN 0-8247-0424-X - Нью-Йорк: Деккер, 2000. - 287 с. - (Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 232)
- ^ Ван Ойстэйен, Фред; Уилларт, Люк (1995). «Топология Гротендика, когерентные пучки и теорема Серра для схематических алгебр» (PDF) . Журнал чистой и прикладной алгебры . Elsevier BV. 104 (1): 109–122. DOI : 10.1016 / 0022-4049 (94) 00118-3 . ЛВП : 10067/124190151162165141 . ISSN 0022-4049 .
- ^ Снайдер, Хартланд С. (1947-01-01). «Квантованное пространство-время». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 71 (1): 38–41. Bibcode : 1947PhRv ... 71 ... 38S . DOI : 10.1103 / Physrev.71.38 . ISSN 0031-899X .
Рекомендации
- Конн, Ален (1994), Некоммутативная геометрия , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5
- Конн, Ален ; Марколли, Матильда (2008), «Прогулка в некоммутативном саду», приглашение к некоммутативной геометрии , World Sci. Publ., Hackensack, NJ, pp. 1–128, arXiv : math / 0601054 , Bibcode : 2006math ...... 1054C , MR 2408150
- Конн, Ален ; Марколли, Матильда (2008), Некоммутативная геометрия, квантовые поля и мотивы (PDF) , Публикации коллоквиума Американского математического общества, 55 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4210-2, Руководство по ремонту 2371808
- Gracia-Bondia, Jose M; Фигероа, Гектор; Варилли, Джозеф C (2000), Элементы некоммутативной геометрии , Birkhauser, ISBN 978-0-8176-4124-5
- Ланди, Джованни (1997), Введение в некоммутативные пространства и их геометрию , Лекционные заметки по физике. New Series m: Monographs, 51 , Berlin, New York: Springer-Verlag , arXiv : hep-th / 9701078 , Bibcode : 1997hep.th .... 1078L , ISBN 978-3-540-63509-3, MR 1482228
- Ван Ойстэйен, Фред; Вершорен, Ален (1981), Некоммутативная алгебраическая геометрия , Лекционные заметки по математике, 887 , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-11153-5
дальнейшее чтение
- Консани, Катерина ; Конн, Ален , ред. (2011), Некоммутативная геометрия, арифметика и смежные темы. Материалы 21-го заседания Японо-американского математического института (JAMI), проходившего в Университете Джона Хопкинса, Балтимор, Мэриленд, США, 23–26 марта 2009 г. , Балтимор, Мэриленд: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-1-4214-0352-6, Zbl 1245,00040
- Гренсинг, Герхард (2013). Структурные аспекты квантовой теории поля и некоммутативной геометрии . Хакенсак Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 978-981-4472-69-2.
Внешние ссылки
- Введение в квантовую геометрию Михо Дюркевича
- Гинзбург, Виктор (2005). «Лекции по некоммутативной геометрии». arXiv : math / 0506603 .
- Халхали, Масуд (2004). «Очень простая некоммутативная геометрия». arXiv : math / 0408416 .
- Марколли, Матильда (2004). «Лекции по арифметической некоммутативной геометрии». arXiv : math / 0409520 .
- Мадоре, Дж. (2000). «Некоммутативная геометрия для пешеходов». Классическая и квантовая нелокальность : 111. arXiv : gr-qc / 9906059 . Bibcode : 2000cqnl.conf..111M . DOI : 10.1142 / 9789812792938_0007 . ISBN 978-981-02-4296-1. S2CID 15595586 .
- Массон, Тьерри (2006). «Неформальное введение в идеи и концепции некоммутативной геометрии». arXiv : math-ph / 0612012 . (Более простое введение, но все же довольно техническое)
- Некоммутативная геометрия на arxiv.org
- MathOverflow, Теории некоммутативной геометрии
- Маханта, Снигдхайан (2005). «О некоторых подходах к некоммутативной алгебраической геометрии». arXiv : math / 0501166 .
- Сарданашвили Г. (2009). «Лекции по дифференциальной геометрии модулей и колец». arXiv : 0910.1515 [ math-ph ].
- Некоммутативная геометрия и физика элементарных частиц