Представительство Гельфанда

В математике , то представление Гельфанда в функциональном анализе (имени И. М. Гельфандом ) имеет два взаимосвязанных значения:

• способ представления коммутативных банаховых алгебр как алгебр непрерывных функций;
• тот факт, что для коммутативных C * -алгебр это представление является изометрическим изоморфизмом.

В первом случае можно рассматривать представление Гельфанда как далеко идущее обобщение преобразования Фурье интегрируемой функции. В последнем случае теорема Гельфанда-Наймарка представления один проспект в развитии спектральной теории для нормальных операторов , и обобщает понятие диагонализации нормальной матрицы .

Исторические заметки [ править ]

Одно из оригинальных приложений Гельфанда (и одно, которое исторически мотивировало большую часть изучения банаховых алгебр ^{[ необходима цитата ]} ) состояло в том, чтобы дать гораздо более короткое и концептуальное доказательство знаменитой леммы Норберта Винера (см. Цитату ниже), характеризующее элементы из группы алгебры L ¹ ( R ) , и чьи сдвиги охватывают плотные подпространства в соответствующих алгебрах.${\ displaystyle \ ell ^ {1} ({\ mathbf {Z}})}$

Модельная алгебра [ править ]

Для любого локально компактного хаусдорфова топологического пространства X , пространство С ₀ ( Х ) непрерывных комплексных функций на X , которые обращаются в нуль на бесконечности является естественным образом коммутативное С * -алгебра:

• Структура алгебры над комплексными числами получается путем рассмотрения поточечных операций сложения и умножения.
• Инволюция - это поточечное комплексное сопряжение.
• Норма - это единообразная норма на функциях.

Важность того, что X является локально компактным и хаусдорфовым, состоит в том, что это превращает X в полностью регулярное пространство . В таком пространстве каждое замкнутое подмножество X является общим нулевым множеством семейства непрерывных комплекснозначных функций на X , что позволяет восстановить топологию X из C ₀ ( X ).

Обратите внимание , что С ₀ ( Х ) является унитальным тогда и только тогда , когда Х является компактным , и в этом случае С ₀ ( Х ) равно C ( X ), алгебры всех непрерывных комплексных функций на X .

Гельфандовское представление коммутативной банаховой алгебры [ править ]

Позвольте быть коммутативной банаховой алгеброй , определенной над полем комплексных чисел. Ненулевое гомоморфизм алгебр (мультипликативный линейный функционал) называется символ из ; множество всех символов обозначается .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ Phi \ двоеточие A \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Phi _ {A}}$

Можно показать, что каждый символ на автоматически непрерывен и, следовательно, является подмножеством пространства непрерывных линейных функционалов на ; кроме того, при ношении относительной слабой * топологии , оказывается локально компактные и Хаусдорф. (Это следует из теоремы Банаха – Алаоглу .) Пространство компактно (в только что определенной топологии), если ^{[ цитата необходима ]} и только если алгебра имеет единичный элемент.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Phi _ {A}}$${\ displaystyle A ^ {*}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Phi _ {A}}$${\ displaystyle \ Phi _ {A}}$${\ displaystyle A}$

Учитывая , один определяет функцию путем . Определение и топология на нем гарантируют, что оно непрерывно и обращается в нуль на бесконечности ^{[ необходима цитата ]} , и что отображение определяет убывающий норму, сохраняющий единицу гомоморфизм алгебр от до . Этот гомоморфизм является представлением Гельфанда элемента и является преобразованием Гельфанда элемента. В общем, представление не является ни инъективным, ни сюръективным.${\ displaystyle a \ in A}$${\ displaystyle {\ widehat {a}}: \ Phi _ {A} \ to {\ mathbb {C}}}$${\ Displaystyle {\ widehat {а}} (\ фи) = \ фи (а)}$${\ displaystyle \ Phi _ {A}}$${\ displaystyle {\ widehat {а}}}$${\ Displaystyle а \ mapsto {\ widehat {а}}}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle C_ {0} (\ Phi _ {A})}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ widehat {а}}}$

В случае, когда имеет единичный элемент, существует биекция между и множеством максимальных идеалов в (это основано на теореме Гельфанда – Мазура ). Как следствие, ядро ​​представления Гельфанда можно отождествить с радикалом Джекобсона представления . Таким образом, представление Гельфанда инъективно тогда и только тогда, когда оно (Джекобсон) полупросто .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Phi _ {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A \ to C_ {0} (\ Phi _ {A})}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Примеры [ править ]

В случае , когда групповая алгебра , то гомеоморфна, а преобразование Гельфанда является преобразованием Фурье .${\ Displaystyle А = L ^ {1} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ Phi _ {A}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle е \ в L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$

В случае , когда -сверточная алгебра вещественной полупрямой, то гомеоморфна , а преобразование Гельфанда элемента является преобразованием Лапласа .${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} _{+})}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle \Phi _{A}}$${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ~\colon ~\operatorname {Re} (z)\geq 0\}}$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}f}$

Случай C * -алгебры [ править ]

В качестве мотивации рассмотрим частный случай A = C ₀ ( X ). Учитывая х в X , пусть будет оценка точечно на х , т . Тогда есть символ на A , и можно показать, что все символы A имеют эту форму; более точный анализ показывает, что мы можем отождествлять Φ _A с X не только как множества, но и как топологические пространства. Тогда представление Гельфанда является изоморфизмом${\displaystyle \varphi _{x}\in A^{*}}$${\displaystyle \varphi _{x}(f)=f(x)}$${\displaystyle \varphi _{x}}$

${\displaystyle C_{0}(X)\to C_{0}(\Phi _{A}).\ }$

Спектр коммутативной C * -алгебры [ править ]

Спектр или Гельфанд пространство коммутативного C * -алгебра , обозначается Â , состоит из множества ненулевых * гомоморфизмов от А до комплексных чисел. Элементы спектра называются символы на A . (Можно показать, что каждый гомоморфизм алгебр из A в комплексные числа автоматически является * -гомоморфизмом , так что это определение термина «характер» согласуется с приведенным выше.)

В частности, спектр коммутативной C * -алгебры является локально компактным хаусдорфовым пространством: в унитальном случае, т. Е. Когда C * -алгебра имеет мультипликативный единичный элемент 1, все характеры f должны быть унитальными, т. Е. F (1) это комплекс номер один. Это исключает нулевой гомоморфизм. Таким образом, Â замкнуто относительно слабой * сходимости, и спектр действительно компактный . В неунитальном случае слабым * замыканием Â является Â {0}, где 0 - нулевой гомоморфизм, а удаление единственной точки из компактного хаусдорфового пространства дает локально компактное хаусдорфово пространство.

Обратите внимание, что спектр - это перегруженное слово. Оно также относится к спектру а ( х ) элемент х алгебр с единицей 1, то есть множество комплексных чисел г , для которых х - г -не обратит в А . Для унитальной С * -алгебр, эти два понятия связаны следующим образом: σ ( х ) является множеством комплексных чисел ф ( х ) , где е пробегает Гельфанд пространства A . Вместе с формулой спектрального радиуса это показывает, что Â является подмножеством единичного шара A *и как таковой может быть дана относительная слабая * топология. Это топология поточечной сходимости. Чистая { е _к } _к элементам спектра A сходится к F тогда и только тогда для каждого х в А , сети комплексных чисел { е _к ( х )} _к сходится к F ( х ).

Если A - сепарабельная C * -алгебра, то слабая * топология метризуема на ограниченных подмножествах. Таким образом, спектр сепарабельной коммутативной C * -алгебры A можно рассматривать как метрическое пространство. Таким образом, топологию можно охарактеризовать через сходимость последовательностей.

Эквивалентно, σ ( x ) - это диапазон значений γ ( x ), где γ - представление Гельфанда.

Формулировка коммутативной теоремы Гельфанда – Наймарка [ править ]

Пусть коммутативное C * -алгебра и пусть X есть спектр A . Позволять

${\displaystyle \gamma :A\to C_{0}(X)}$

- представление Гельфанда, определенное выше.

Теорема . Отображение Гельфанда γ является изометрическим * -изоморфизмом A на C ₀ ( X ).

См. Ссылку на Arveson ниже.

Спектр коммутативного C * -алгебру также можно рассматривать как множество всех максимальных идеалов т из А , с топологией Халла ядра . (См. Предыдущие замечания относительно общего случая коммутативной банаховой алгебры.) Для любого такого m фактор-алгебра A / m одномерна (по теореме Гельфанда-Мазура), и, следовательно, любое a из A порождает комплексную функция на Y .

В случае C * -алгебр с единицей отображение спектра порождает контравариантный функтор из категории C * -алгебр с единичными и сохраняющими единицу непрерывными * -гомоморфизмами в категорию компактных хаусдорфовых пространств и непрерывных отображений. Этот функтор является половиной контравариантной эквивалентности между этими двумя категориями (его сопряженным является функтор, который ставит в соответствие каждому компактному хаусдорфовому пространству X C * -алгебру C ₀ ( X )). В частности, если даны компактные хаусдорфовы пространства X и Y , то C ( X ) изоморфна C ( Y) (Как C * -алгебра) тогда и только тогда , когда Х является гомеоморфной к Y .

«Полная» теорема Гельфанда – Наймарка является результатом для произвольных (абстрактных) некоммутативных C * -алгебр A , который хотя и не совсем аналогичен представлению Гельфанда, но обеспечивает конкретное представление A как алгебры операторов.

Приложения [ править ]

Одним из наиболее важных приложений является существование непрерывного функционального исчисления для нормальных элементов в C * -алгебре A : элемент x является нормальным тогда и только тогда, когда x коммутирует со своим сопряженным x * , или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда он порождает коммутативная C * -алгебра C * ( x ). По изоморфизму Гельфанда, примененному к C * ( x ), это * -изоморфно алгебре непрерывных функций на локально компактном пространстве. Это наблюдение почти сразу приводит к:

Теорема . Пусть С * -алгебра с единицей и х элемент A . Тогда существует * -морфизм f → f ( x ) из алгебры непрерывных функций на спектре σ ( x ) в A такой, что

• Он отображает 1 в мультипликативную единицу A ;
• Он отображает тождественную функцию на спектре на x .

Это позволяет нам применять непрерывные функции к ограниченным нормальным операторам в гильбертовом пространстве.

Ссылки [ править ]

• Арвесон, В. (1981). Приглашение в C * -алгебры . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90176-0.CS1 maint: ref=harv (link)
• Bonsall, FF; Дункан, Дж. (1973). Полные нормированные алгебры . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.CS1 maint: ref=harv (link)
• Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике. 96 . Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.CS1 maint: ref=harv (link)
• Винер, Н. (1932). «Тауберовы теоремы». Анна. математики . II. Анналы математики. 33 (1): 1–100. DOI : 10.2307 / 1968102 . JSTOR  1968102 .CS1 maint: ref=harv (link)