В теории операторов , то Гельфанд-Мазур теорема является теоремой именем Израиля Гельфанда и Станиславом Мазур , который гласит , что банахов алгебра с единицей над комплексными числами , в которых каждый ненулевом элемент обратит является изометрический изоморфно с комплексными числами , я. е., только комплексная банахова алгебра , которая является алгеброй с делением является комплексным числом C .
Теорема вытекает из того факта , что спектр любого элемента комплексной банаховой алгебры непусто: для каждого элемент а комплексных банаховых алгебры А есть некоторое комплексное число λ таких , что Х 1 - не обратит. Это следствие комплексной аналитичности резольвентной функции. По предположению, А 1 - = 0. Таким образом , = λ · 1. Это дает изоморфизм А до С .
Теорема может быть усилена с утверждением , что есть ( с точностью до изоморфизма) ровно три вещественных банаховых алгебр с делением: поле вещественных чисел R , поле комплексных чисел C и алгебры деления кватернионов H . Этот результат был впервые доказан Станиславом Мазуром, но он был опубликован во Франции без доказательства, когда автор отказал редактору в просьбе сократить его доказательство. Несколько лет спустя Гельфанд (независимо) опубликовал доказательство сложного случая.
Рекомендации
- Бонсолл, Фрэнк Ф .; Дункан, Джон (1973). Полные нормированные алгебры . Springer. С. 71–4. DOI : 10.1007 / 978-3-642-65669-9 . ISBN 978-3-642-65671-2.
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .