Резольвентный формализм

В математике , то резольвентное формализм представляет собой метод для применения концепции из комплексного анализа для изучения спектра из операторов на банаховых пространствах и более общих пространств. Формальное обоснование манипуляций можно найти в рамках голоморфного функционального исчисления .

Резольвентное захватывает спектральные свойства оператора в аналитической структуре функционала . Для оператора A резольвента может быть определена как

${\ Displaystyle R (z; A) = (A-zI) ^ {- 1} ~.}$

Помимо прочего, резольвента может использоваться для решения неоднородных интегральных уравнений Фредгольма ; Обычно используемый подход - это решение рядами Лиувилля – Неймана .

Резольвента А может быть использована , чтобы непосредственно получать информацию о спектральном разложении из A . Например, предположим , что λ является изолированным собственным значением в спектре от А . То есть, предположим , что существует простая замкнутая кривая в комплексной плоскости , которая отделяет А от остальной части спектра А . Тогда остаток${\ displaystyle C _ {\ lambda}}$

${\ displaystyle - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C _ {\ lambda}} (A-zI) ^ {- 1} ~ dz}$

определяет оператор проектирования на λ подпространство из A .

Хилла-Иосиды теорема относятся резольвентный через преобразование Лапласа к интегралу по однопараметрической группе преобразований , порожденных A . ^[1] Так, например, если A - эрмитов , то U ( t ) = exp ( itA ) - однопараметрическая группа унитарных операторов. Резольвента оператора iA может быть выражена как преобразование Лапласа

${\ Displaystyle R (z; iA) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- zt} U (t) ~ dt.}$

История [ править ]

Первое крупное использование резольвентного оператора как ряда в A (ср. Ряды Лиувилля – Неймана ) было сделано Иваром Фредхольмом в знаменательной статье 1903 года в Acta Mathematica, которая помогла основать современную теорию операторов .

Название резольвента было дано Дэвидом Гильбертом .

Resolvent identity [ править ]

Для всех z, w в ρ ( A ) , резольвентном множестве оператора A , выполняется первое резольвентное тождество (также называемое тождеством Гильберта): ^[2]

${\ Displaystyle R (z; A) -R (w; A) = (zw) R (z; A) R (w; A) \ ,.}$

(Обратите внимание, что Данфорд и Шварц, процитированные, вместо этого определяют резольвенту как ( zI −A ) ⁻¹ , так что формула выше отличается по знаку от их.)

Второе тождество резольвентного является обобщением первого тождества резольвентного, выше, полезно для сравнения резольвенты два различных операторов. Для операторов A и B , определенных в одном и том же линейном пространстве, и z в ρ ( A ) ∩  ρ ( B ) выполняется следующее тождество ^[3]

${\ Displaystyle R (z; A) -R (z; B) = R (z; A) (BA) R (z; B) \ ,.}$

Компактная резольвента [ править ]

При изучении неограниченного оператора A : H → H в гильбертовом пространстве H , если существует такой, который является компактным оператором , мы говорим, что A имеет компактную резольвенту. Спектр таких A является дискретным подмножеством . Если к тому же является самосопряженным , то и существует ортонормированный базис из собственных векторов А с собственными значениями соответственно. Также не имеет конечной точки накопления . ^[4]${\ Displaystyle г \ в \ ро (А)}$${\ Displaystyle R (г; А)}$${\ Displaystyle \ sigma (А)}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\displaystyle \sigma (A)\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$

См. Также [ править ]

• Набор резольвент
• Теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах
• Голоморфное функциональное исчисление
• Спектральная теория
• Компактный оператор
• Преобразование Лапласа
• Теория Фредгольма
• Лиувилля – Неймана.
• Разложение спектра (функциональный анализ)
• Принцип ограничения поглощения

Ссылки [ править ]

• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988), Линейные операторы, Часть I Общая теория , Хобокен, Нью-Джерси: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-60848-3 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Фредхольм, Эрик И. (1903), "Sur une classe d'equations fonctionnelles" (PDF) , Acta Mathematica , 27 : 365–390, doi : 10.1007 / bf02421317 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1957), Функциональный анализ и полугруппы , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1031-6 CS1 maint: discouraged parameter (link).
• Като, Тосио (1980), Теория возмущений для линейных операторов (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-07558-5 CS1 maint: discouraged parameter (link).
• Тейлор, Майкл Э. (1996), Уравнения в частных производных I , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 7-5062-4252-4 CS1 maint: discouraged parameter (link)