В функциональном анализе , то теорема Хилле-Иосиды характеризует генераторы сильно непрерывных однопараметрических полугрупп из линейных операторов на банаховых пространствах . Иногда это формулируется для частного случая полугрупп сжимания , причем общий случай называется теоремой Феллера – Миядеры – Филлипса (в честь Уильяма Феллера , Исао Миядеры и Ральфа Филлипса). Случай сжимающей полугруппы широко используется в теории марковских процессов . В других сценариях тесно связанная теорема Люмера – Филлипса часто более полезна при определении того, генерирует ли данный операторсильно непрерывная сжимающая полугруппа . Теорема названа в честь математиков Эйнара Хилле и Кёсаку Йосида, которые независимо друг от друга обнаружили результат примерно в 1948 году.
Формальные определения
Если X - банахово пространство, однопараметрическая полугруппа операторов на X - это семейство операторов, индексированных на неотрицательных действительных числах { T ( t )} t ∈ [0, ∞) таких, что
Полугруппа называется сильно непрерывной , также называемой ( C 0 ) полугруппой, тогда и только тогда, когда отображение
непрерывно для всех x ∈ X , где [0, ∞) имеет обычную топологию, а X имеет топологию нормы.
Инфинитезимальный генератор однопараметрической полугруппы T - это оператор A, определенный на возможно собственном подпространстве X следующим образом:
- Область определения A - это множество таких x ∈ X , что
- имеет предел, когда h приближается к 0 справа.
- Значение A x является значением указанного выше предела. Другими словами, A x - правая производная в 0 функции
Инфинитезимальный генератор сильно непрерывной однопараметрической полугруппа является замкнутым линейным оператором , определенным на плотном линейное подпространство в X .
Теорема Хилле – Иосиды дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы замкнутый линейный оператор A в банаховом пространстве был инфинитезимальным генератором сильно непрерывной однопараметрической полугруппы.
Формулировка теоремы
Пусть A - линейный оператор, определенный на линейном подпространстве D ( A ) банахова пространства X , ω - действительное число и M > 0. Тогда A порождает сильно непрерывную полугруппу T , удовлетворяющуютогда и только тогда, когда [1]
- Является закрытым и D ( ) является плотным в X ,
- каждое вещественное λ > ω принадлежит резольвентное множеству из А и для таких Х и для всех положительных целых чисел п ,
Теорема Хилле-Иосиды для полугрупп стягивания
В общем случае теорема Хилле – Иосиды имеет в основном теоретическое значение, поскольку оценки степеней резольвентного оператора , фигурирующие в формулировке теоремы, обычно не могут быть проверены на конкретных примерах. В частном случае сжимающих полугрупп ( M = 1 и ω = 0 в приведенной выше теореме) нужно проверить только случай n = 1, и теорема также приобретает некоторое практическое значение. Явная формулировка теоремы Хилле – Иосиды для полугрупп сжатия:
Пусть линейный оператор , определенный на линейном подпространстве D ( A ) в банаховом пространстве X . Тогда A порождает сжимающую полугруппу тогда и только тогда, когда [2]
- Является закрытым и D ( ) является плотным в X ,
- каждое вещественное λ > 0 принадлежит резольвентному множеству А и для такого Х ,
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- Рис, Ф .; С.-Надь Б. (1995), Функциональный анализ. Перепечатка оригинала 1955 года , Dover Books on Advanced Mathematics, Dover, ISBN 0-486-66289-6
- Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики. II. Фурье-анализ, самосопряженность. , Academic Press, ISBN 0125850506
- Энгель, Клаус-Йохен; Нагель, Райнер (2000), Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений , Springer
- Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2001), векторные преобразования Лапласа и задачи Коши , Биркхаузер
- Staffans, Olof (2005), корректные линейные системы , Cambridge University Press
- Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Vol. II. Второе издание , John Wiley & Sons, Нью-Йорк
- Враби, Иоан И. (2003), C0-полугруппы и приложения. North-Holland Mathematics Studies, 191. , North-Holland Publishing Co., Амстердам