C 0 -полугруппа

В математике , А С ₀ -полугруппой , также известная как сильно непрерывной однопараметрической полугруппой , является обобщением показательной функции . Так же, как экспоненциальные функции обеспечивают решения скалярных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами , сильно непрерывные полугруппы обеспечивают решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в банаховых пространствах . Такие дифференциальные уравнения в банаховых пространствах возникают, например, из дифференциальных уравнений с запаздыванием и уравнений в частных производных .

Формально сильно непрерывная полугруппа - это представление полугруппы ( R ₊ , +) на некотором банаховом пространстве X , непрерывное в сильной операторной топологии . Таким образом, строго говоря, сильно непрерывная полугруппа - это не полугруппа, а, скорее, непрерывное представление очень конкретной полугруппы.

Формальное определение [ править ]

Сильно непрерывная полугруппа на банаховом пространстве есть отображение такое , что${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle T: \ mathbb {R} _ {+} \ к L (X)}$

1. ${\ displaystyle T (0) = I}$, ( Единичный оператор на )${\ displaystyle X}$
2. ${\ Displaystyle \ forall t, s \ geq 0: \ T (t + s) = T (t) T (s)}$
3. ${\ displaystyle \ forall x_ {0} \ in X: \ \ | T (t) x_ {0} -x_ {0} \ | \ to 0}$, как .${\ displaystyle t \ downarrow 0}$

Первые две аксиомы являются алгебраическими и утверждают, что это представление полугруппы ; последний является топологическим, и утверждает , что карта является непрерывной в сильной операторной топологии .${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle {(\ mathbb {R} _ {+}, +)}}$${\ displaystyle T}$

Генератор бесконечно малых [ править ]

Инфинитезимальный сильно непрерывной полугруппы Т определяется

${\displaystyle A\,x=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {1}{t}}\,(T(t)-I)\,x}$

всякий раз, когда существует ограничение. Область определения A , D ( A ), - это множество x∈X, для которого существует этот предел; D ( A ) - линейное подпространство, и A линейно в этой области. ^[1] Оператор является закрытым , хотя и не обязательно ограничены , а область плотно в X . ^[2]

Сильно непрерывная полугруппа T с образующей A часто обозначается символом e ^At . Это обозначение совместимо с обозначением для матричных экспонент и для функций оператора, определенных с помощью функционального исчисления (например, с помощью спектральной теоремы ).

Равномерно непрерывная полугруппа [ править ]

Равномерно непрерывная полугруппа - это сильно непрерывная полугруппа T такая, что

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\|T(t)-I\|=0}$

держит. В этом случае инфинитезимальный генератор A оператора T ограничен, и мы имеем

${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)=X}$

и

${\displaystyle T(t)=e^{At}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}t^{k}.}$

Наоборот, любой ограниченный оператор

${\displaystyle A\colon X\to X}$

является инфинитезимальным генератором равномерно непрерывной полугруппы, заданной формулой

${\displaystyle T(t):=e^{At}}$.

Таким образом, линейный оператор A является инфинитезимальным генератором равномерно непрерывной полугруппы тогда и только тогда, когда A - ограниченный линейный оператор. ^[3] Если X - конечномерное банахово пространство, то любая сильно непрерывная полугруппа является равномерно непрерывной полугруппой. Для сильно непрерывной полугруппы, не являющейся равномерно непрерывной полугруппой, инфинитезимальный генератор A не ограничен. В этом случае сходиться не нужно.${\displaystyle e^{At}}$

Абстрактные задачи Коши [ править ]

Рассмотрим абстрактную задачу Коши :

${\displaystyle u'(t)=Au(t),~~~u(0)=x,}$

где является замкнутым оператором на банаховом пространстве X и X ∈ X . Есть две концепции решения этой проблемы:

• непрерывно дифференцируемая функция u : [0, ∞) → X называется классическим решением задачи Коши, если u ( t ) ∈ D ( A ) для всех t > 0 и удовлетворяет задаче начального значения,
• непрерывная функция u : [0, ∞) → X называется мягким решением задачи Коши, если

${\displaystyle \int _{0}^{t}u(s)\,ds\in D(A){\text{ and }}A\int _{0}^{t}u(s)\,ds=u(t)-x.}$

Любое классическое решение - это мягкое решение. Мягкое решение является классическим тогда и только тогда, когда оно непрерывно дифференцируемо. ^[4]

Следующая теорема связывает абстрактные задачи Коши и сильно непрерывные полугруппы.

Теорема ^[5] Пусть замкнутый оператор в банаховом пространстве X . Следующие утверждения эквивалентны:

1. для всех x ∈ X существует единственное мягкое решение абстрактной задачи Коши,
2. оператор A порождает сильно непрерывную полугруппу,
3. резольвентное множество из А не пусто и для всех х ∈ D ( A ) существует единственное классическое решение задачи Коши.

При выполнении этих утверждений, решение задачи Коши задается U ( т ) =  Т ( т ) х с Т сильно непрерывная полугруппа порождается А .

Теоремы о поколении [ править ]

В связи с задачами Коши обычно задается линейный оператор A, и вопрос заключается в том, является ли он генератором сильно непрерывной полугруппы. Теоремы, отвечающие на этот вопрос, называются теоремами порождения . Полная характеризация операторов, порождающих сильно непрерывные полугруппы, дается теоремой Хилле – Иосиды . Однако более практическое значение имеют условия теоремы Люмера – Филлипса, которые легче проверить .

Специальные классы полугрупп [ править ]

Равномерно непрерывные полугруппы [ править ]

Сильно непрерывная полугруппа T называется равномерно непрерывной, если отображение t  →  T ( t ) непрерывно из [0, ∞) в L ( X ).

Генератор равномерно непрерывной полугруппы - ограниченный оператор .

Аналитические полугруппы [ править ]

Сжимающие полугруппы [ править ]

Дифференцируемые полугруппы [ править ]

Сильно непрерывная полугруппа T называется окончательно дифференцируемой, если существует t ₀  > 0 такое, что T ( t ₀ ) X ⊂ D ( A ) (эквивалентно: T ( t ) X ⊂ D ( A ) для всех t  ≥  t ₀ ) и Т является немедленно дифференцируема , если Т ( т ) Х  ⊂  D (А ) для всех t  > 0 .

Всякая аналитическая полугруппа немедленно дифференцируема.

Эквивалентная характеризация в терминах задач Коши следующая: сильно непрерывная полугруппа, порожденная A, в конечном итоге дифференцируема тогда и только тогда, когда существует t ₁  ≥ 0 такое, что для всех x  ∈  X решение u абстрактной задачи Коши дифференцируемо на ( t ₁ , ∞) . Полугруппа сразу дифференцируема, если t ₁ можно выбрать равным нулю.

Компактные полугруппы [ править ]

Сильно непрерывная полугруппа T называется окончательно компактной, если существует t ₀  > 0 такое, что T ( t ₀ ) - компактный оператор (эквивалентно ^[6], если T ( t ) - компактный оператор для всех t  ≥  t ₀ ). Полугруппа называется немедленно компактной, если T ( t ) - компактный оператор для всех t  > 0.

Нормальные непрерывные полугруппы [ править ]

Сильно непрерывная полугруппа называется окончательно непрерывной по норме, если существует t ₀  ≥ 0 такое, что отображение t  →  T ( t ) непрерывно из ( t ₀ , ∞) в L ( X ). Полугруппа называется непосредственно непрерывной по норме, если t ₀ можно выбрать равным нулю.

Заметим, что для полугруппы, непрерывной непосредственно по норме, отображение t  →  T ( t ) может не быть непрерывным по t  = 0 (что сделало бы полугруппу равномерно непрерывной).

Аналитические полугруппы, (в конечном итоге) дифференцируемые полугруппы и (в конечном итоге) компактные полугруппы все в конечном итоге непрерывны по норме. ^[7]

Стабильность [ править ]

Экспоненциальная стабильность [ править ]

Границей роста полугруппы T является постоянная

${\displaystyle \omega _{0}=\inf _{t>0}{\frac {1}{t}}\log \|T(t)\|.}$

Это так называется, так как это число также является точной нижней гранью всех действительных чисел ω таких, что существует постоянная M (≥ 1) с

${\displaystyle \|T(t)\|\leq Me^{\omega t}}$

для всех t ≥ 0.

Следующие варианты эквивалентны: ^[8]

1. Существуют такие M , ω > 0, что для всех t  ≥ 0: ${\displaystyle \|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},}$
2. Граница роста отрицательная: ω ₀  <0,
3. Полугруппа сходится к нулю в равномерной операторной топологии : ,${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0}$
4. Существует t ₀  > 0 такое, что ,${\displaystyle \|T(t_{0})\|<1}$
5. Там существует T ₁  > 0, что спектральный радиус из Т ( т ₁ ) строго меньше 1,
6. Там существует р  ∈ [1, ∞), что для всех х ∈ Х : ,${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty }$
7. Для всех p  ∈ [1, ∞) и всех x  ∈  X :${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .}$

Полугруппа, удовлетворяющая этим эквивалентным условиям, называется экспоненциально устойчивой или равномерно устойчивой (в некоторых частях литературы в качестве определения используется любое из первых трех из приведенных выше утверждений). Что L ^р условие эквивалентно экспоненциальной устойчивость называется теоремой Датко-Пази .

В случае, если X - гильбертово пространство, существует другое условие, которое эквивалентно экспоненциальной устойчивости в терминах резольвентного оператора генератора: ^[9] все λ с положительной вещественной частью принадлежат резольвентному множеству A, а резольвентный оператор равномерно ограничен в правой полуплоскости, т.е. ( λI  -  A ) ⁻¹ принадлежит пространству Харди . Это называется теоремой Геархарта-Прусса .${\displaystyle H^{\infty }(\mathbb {C} _{+};L(X))}$

Спектральная связанный из оператора А является постоянным

${\displaystyle s(A):=\sup\{{\rm {Re}}\,\lambda :\lambda \in \sigma (A)\}}$,

с конвенцией , что ы ( ) = -∞ , если спектр из A пуст.

Граница роста полугруппы и спектральная граница ее генератора связаны соотношением ^[10] s (A) ≤ω ₀ (T) . Есть примеры ^[11], когда s ( A ) <  ω ₀ ( T ). Если s ( A ) =  ω ₀ ( T ), то говорят , что T удовлетворяет спектрально детерминированному условию роста . В конце концов, непрерывные по норме полугруппы удовлетворяют условию спектрально детерминированного роста. ^[12] Это дает другую эквивалентную характеристику экспоненциальной устойчивости для этих полугрупп:

• Окончательно непрерывная по норме полугруппа экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда s ( A ) <0.

Обратите внимание, что в конечном итоге компактные, в конечном итоге дифференцируемые, аналитические и равномерно непрерывные полугруппы в конечном итоге непрерывны по норме, так что условие спектрально детерминированного роста выполняется, в частности, для этих полугрупп.

Сильная стабильность [ править ]

Сильно непрерывная полугруппа Т называется сильно устойчивым или асимптотически устойчивым , если для всех х  ∈  Х : .${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0}$

Экспоненциальная устойчивость подразумевает сильную устойчивость, но обратное, как правило, неверно, если X бесконечномерно (это верно для X конечномерно).

Следующее достаточное условие сильной устойчивости называется теоремой Арендта – Бэтти – Любича – Фонга : ^{[13] [14]} Предположим, что

1. Т ограничена: существует М  ≥ 1, что ,${\displaystyle \|T(t)\|\leq M}$
2. A не имеет остаточного спектра на мнимой оси, и
3. Спектр A, расположенный на мнимой оси, счетный.

Тогда T сильно устойчиво.

Если X рефлексивно, то условия упрощаются: если T ограничено, A не имеет собственных значений на мнимой оси и спектр A, расположенный на мнимой оси, счетный, то T сильно устойчив.

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Э. Хилле, Р.С. Филлипс: функциональный анализ и полугруппы . Американское математическое общество, 1975.
• RF Curtain , HJ Zwart: Введение в бесконечномерную теорию линейных систем . Springer Verlag, 1995.
• EB Davies : Однопараметрические полугруппы (монографии LMS), Academic Press, 1980, ISBN 0-12-206280-9 . 
• Энгель, Клаус-Йохен; Нагель, Райнер (2000), Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений , Springer
• Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2001), векторные преобразования Лапласа и задачи Коши , Биркхаузер
• Стаффанс, Олоф (2005), корректные линейные системы , Cambridge University Press
• Ло, Чжэн-Хуа; Го, Бао-Чжу; Моргул, Омер (1999), Устойчивость и стабилизация бесконечномерных систем с приложениями , Springer
• Партингтон, Джонатан Р. (2004), Линейные операторы и линейные системы , Тексты студентов Лондонского математического общества , Cambridge University Press , ISBN 0-521-54619-2