В математике , А С 0 -полугруппой , также известная как сильно непрерывной однопараметрической полугруппой , является обобщением показательной функции . Так же, как экспоненциальные функции обеспечивают решения скалярных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами , сильно непрерывные полугруппы обеспечивают решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в банаховых пространствах . Такие дифференциальные уравнения в банаховых пространствах возникают, например, из дифференциальных уравнений с запаздыванием и уравнений в частных производных .
Формально сильно непрерывная полугруппа - это представление полугруппы ( R + , +) на некотором банаховом пространстве X , непрерывное в сильной операторной топологии . Таким образом, строго говоря, сильно непрерывная полугруппа - это не полугруппа, а, скорее, непрерывное представление очень конкретной полугруппы.
Формальное определение [ править ]
Сильно непрерывная полугруппа на банаховом пространстве есть отображение такое , что
- , ( Единичный оператор на )
- , как .
Первые две аксиомы являются алгебраическими и утверждают, что это представление полугруппы ; последний является топологическим, и утверждает , что карта является непрерывной в сильной операторной топологии .
Генератор бесконечно малых [ править ]
Инфинитезимальный сильно непрерывной полугруппы Т определяется
всякий раз, когда существует ограничение. Область определения A , D ( A ), - это множество x∈X, для которого существует этот предел; D ( A ) - линейное подпространство, и A линейно в этой области. [1] Оператор является закрытым , хотя и не обязательно ограничены , а область плотно в X . [2]
Сильно непрерывная полугруппа T с образующей A часто обозначается символом e At . Это обозначение совместимо с обозначением для матричных экспонент и для функций оператора, определенных с помощью функционального исчисления (например, с помощью спектральной теоремы ).
Равномерно непрерывная полугруппа [ править ]
Равномерно непрерывная полугруппа - это сильно непрерывная полугруппа T такая, что
держит. В этом случае инфинитезимальный генератор A оператора T ограничен, и мы имеем
а также
Наоборот, любой ограниченный оператор
является инфинитезимальным генератором равномерно непрерывной полугруппы, заданной формулой
- .
Таким образом, линейный оператор A является инфинитезимальным генератором равномерно непрерывной полугруппы тогда и только тогда, когда A - ограниченный линейный оператор. [3] Если X - конечномерное банахово пространство, то любая сильно непрерывная полугруппа является равномерно непрерывной полугруппой. Для сильно непрерывной полугруппы, не являющейся равномерно непрерывной полугруппой, инфинитезимальный генератор A не ограничен. В этом случае сходиться не нужно.
Абстрактные задачи Коши [ править ]
Рассмотрим абстрактную задачу Коши :
где является замкнутым оператором на банаховом пространстве X и X ∈ X . Есть две концепции решения этой проблемы:
- непрерывно дифференцируемая функция u : [0, ∞) → X называется классическим решением задачи Коши, если u ( t ) ∈ D ( A ) для всех t > 0 и удовлетворяет задаче начального значения,
- непрерывная функция u : [0, ∞) → X называется мягким решением задачи Коши, если
Любое классическое решение - это мягкое решение. Мягкое решение является классическим тогда и только тогда, когда оно непрерывно дифференцируемо. [4]
Следующая теорема связывает абстрактные задачи Коши и сильно непрерывные полугруппы.
Теорема [5] Пусть замкнутый оператор в банаховом пространстве X . Следующие утверждения эквивалентны:
- для всех x ∈ X существует единственное мягкое решение абстрактной задачи Коши,
- оператор A порождает сильно непрерывную полугруппу,
- резольвентное множество из А не пусто и для всех х ∈ D ( A ) существует единственное классическое решение задачи Коши.
При выполнении этих утверждений, решение задачи Коши задается U ( т ) = Т ( т ) х с Т сильно непрерывная полугруппа порождается А .
Теоремы о поколении [ править ]
В связи с задачами Коши обычно задается линейный оператор A, и вопрос заключается в том, является ли он генератором сильно непрерывной полугруппы. Теоремы, отвечающие на этот вопрос, называются теоремами порождения . Полная характеризация операторов, порождающих сильно непрерывные полугруппы, дается теоремой Хилле – Иосиды . Однако более практическое значение имеют условия теоремы Люмера – Филлипса, которые легче проверить .
Специальные классы полугрупп [ править ]
Равномерно непрерывные полугруппы [ править ]
Сильно непрерывная полугруппа T называется равномерно непрерывной, если отображение t → T ( t ) непрерывно из [0, ∞) в L ( X ).
Генератор равномерно непрерывной полугруппы - ограниченный оператор .
Аналитические полугруппы [ править ]
Сжимающие полугруппы [ править ]
Дифференцируемые полугруппы [ править ]
Сильно непрерывная полугруппа T называется окончательно дифференцируемой, если существует t 0 > 0 такое, что T ( t 0 ) X ⊂ D ( A ) (эквивалентно: T ( t ) X ⊂ D ( A ) для всех t ≥ t 0 ) и Т является немедленно дифференцируема , если Т ( т ) Х ⊂ D (А ) для всех t > 0 .
Всякая аналитическая полугруппа немедленно дифференцируема.
Эквивалентная характеризация в терминах задач Коши следующая: сильно непрерывная полугруппа, порожденная A, в конечном итоге дифференцируема тогда и только тогда, когда существует t 1 ≥ 0 такое, что для всех x ∈ X решение u абстрактной задачи Коши дифференцируемо на ( t 1 , ∞) . Полугруппа сразу дифференцируема, если t 1 можно выбрать равным нулю.
Компактные полугруппы [ править ]
Сильно непрерывная полугруппа T называется окончательно компактной, если существует t 0 > 0 такое, что T ( t 0 ) - компактный оператор (эквивалентно [6], если T ( t ) - компактный оператор для всех t ≥ t 0 ). Полугруппа называется немедленно компактной, если T ( t ) - компактный оператор для всех t > 0.
Нормальные непрерывные полугруппы [ править ]
Сильно непрерывная полугруппа называется окончательно непрерывной по норме, если существует t 0 ≥ 0 такое, что отображение t → T ( t ) непрерывно из ( t 0 , ∞) в L ( X ). Полугруппа называется непосредственно непрерывной по норме, если t 0 можно выбрать равным нулю.
Заметим, что для полугруппы, непрерывной непосредственно по норме, отображение t → T ( t ) может не быть непрерывным по t = 0 (что сделало бы полугруппу равномерно непрерывной).
Аналитические полугруппы, (в конечном итоге) дифференцируемые полугруппы и (в конечном итоге) компактные полугруппы все в конечном итоге непрерывны по норме. [7]
Стабильность [ править ]
Экспоненциальная стабильность [ править ]
Границей роста полугруппы T является постоянная
Это так называется, так как это число также является точной нижней гранью всех действительных чисел ω таких, что существует постоянная M (≥ 1) с
для всех t ≥ 0.
Следующие варианты эквивалентны: [8]
- Существуют такие M , ω > 0, что для всех t ≥ 0:
- Граница роста отрицательная: ω 0 <0,
- Полугруппа сходится к нулю в равномерной операторной топологии : ,
- Существует t 0 > 0 такое, что ,
- Там существует T 1 > 0, что спектральный радиус из Т ( т 1 ) строго меньше 1,
- Там существует р ∈ [1, ∞), что для всех х ∈ Х : ,
- Для всех p ∈ [1, ∞) и всех x ∈ X :
Полугруппа, удовлетворяющая этим эквивалентным условиям, называется экспоненциально устойчивой или равномерно устойчивой (в некоторых частях литературы в качестве определения используется любое из первых трех из приведенных выше утверждений). Что L р условие эквивалентно экспоненциальной устойчивость называется теоремой Датко-Пази .
В случае, если X - гильбертово пространство, существует другое условие, которое эквивалентно экспоненциальной устойчивости в терминах резольвентного оператора генератора: [9] все λ с положительной вещественной частью принадлежат резольвентному множеству A, а резольвентный оператор равномерно ограничен в правой полуплоскости, т.е. ( λI - A ) −1 принадлежит пространству Харди . Это называется теоремой Геархарта-Прусса .
Спектральная связанный из оператора А является постоянным
- ,
с конвенцией , что ы ( ) = -∞ , если спектр из A пуст.
Граница роста полугруппы и спектральная граница ее генератора связаны соотношением [10] s (A) ≤ω 0 (T) . Есть примеры [11], когда s ( A ) < ω 0 ( T ). Если s ( A ) = ω 0 ( T ), то говорят , что T удовлетворяет спектрально детерминированному условию роста . В конце концов, непрерывные по норме полугруппы удовлетворяют условию спектрально детерминированного роста. [12] Это дает другую эквивалентную характеристику экспоненциальной устойчивости для этих полугрупп:
- Окончательно непрерывная по норме полугруппа экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда s ( A ) <0.
Обратите внимание, что в конечном итоге компактные, в конечном итоге дифференцируемые, аналитические и равномерно непрерывные полугруппы в конечном итоге непрерывны по норме, так что условие спектрально детерминированного роста выполняется, в частности, для этих полугрупп.
Сильная стабильность [ править ]
Сильно непрерывная полугруппа Т называется сильно устойчивым или асимптотически устойчивым , если для всех х ∈ Х : .
Экспоненциальная устойчивость подразумевает сильную устойчивость, но обратное, как правило, неверно, если X бесконечномерно (это верно для X конечномерно).
Следующее достаточное условие сильной устойчивости называется теоремой Арендта – Бэтти – Любича – Фонга : [13] [14] Предположим, что
- Т ограничена: существует М ≥ 1, что ,
- A не имеет остаточного спектра на мнимой оси, и
- Спектр A, расположенный на мнимой оси, счетный.
Тогда T сильно устойчиво.
Если X рефлексивно, то условия упрощаются: если T ограничено, A не имеет собственных значений на мнимой оси и спектр A, расположенный на мнимой оси, счетный, то T сильно устойчив.
См. Также [ править ]
- Теорема Хилле – Иосиды
- Теорема Люмера – Филлипса
- Теорема Троттера – Като
- Аналитическая полугруппа
- Стягивающая полугруппа
- Матрица экспоненциальная
- Сильно непрерывное семейство операторов
- Абстрактное дифференциальное уравнение
Заметки [ править ]
- ^ Партингтон (2004)стр 23
- ^ Партингтон (2004)стр 24
- ^ Пази, А. (1983), Полугруппы линейных операторов и приложения к дифференциальным уравнениям с частными производными , Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. 2, ISBN 0-387-90845-5
- ^ Арендт и др. Предложение 3.1.2.
- ^ Арендт и др. Теорема 3.1.12.
- ^ Лемма Энгеля и Нагеля II.4.22
- ^ Энгель и Нагель (диаграмма II.4.26)
- ^ Энгель и Нагель Раздел V.1.b
- ^ Теорема Энгеля и Нагеля V.1.11
- ^ Предложение Энгеля и Нагеля IV2.2
- ^ Энгель и Нагель Раздел IV.2.7, Луо и др. Пример 3.6
- ^ Следствие Энгеля и Нагеля 4.3.11
- ^ Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз (1988), «Тауберовы теоремы и устойчивость однопараметрических полугрупп», Труды Американской математического общества , 306 (2): 837-852, да : 10,1090 / S0002-9947-1988-0933321-3
- ^ Любич, Ю. Фонг, Ву Куок (1988), "Асимптотическая устойчивость линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах", Studia Mathematica , 88 (1): 37-42, DOI : 10,4064 / см-88-1-37-42
Ссылки [ править ]
- Э. Хилле, Р.С. Филлипс: функциональный анализ и полугруппы . Американское математическое общество, 1975.
- RF Curtain , HJ Zwart: Введение в бесконечномерную теорию линейных систем . Springer Verlag, 1995.
- EB Davies : Однопараметрические полугруппы (монографии LMS), Academic Press, 1980, ISBN 0-12-206280-9 .
- Энгель, Клаус-Йохен; Нагель, Райнер (2000), Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений , Springer
- Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2001), векторные преобразования Лапласа и задачи Коши , Биркхаузер
- Staffans, Olof (2005), корректные линейные системы , Cambridge University Press
- Ло, Чжэн-Хуа; Го, Бао-Чжу; Моргул, Омер (1999), Устойчивость и стабилизация бесконечномерных систем с приложениями , Springer
- Партингтон, Джонатан Р. (2004), Линейные операторы и линейные системы , Тексты студентов Лондонского математического общества , Cambridge University Press , ISBN 0-521-54619-2 CS1 maint: discouraged parameter (link)