Набор резольвент

В линейной алгебре и теории операторов , то резольвентное множество из линейного оператора является набор из комплексных чисел , для которых оператор в каком - то смысле « хорошо себя ». Резольвентное множество играет важную роль в резольвентном формализме .

Определения [ править ]

Пусть X - банахово пространство и пусть - линейный оператор с областью определения . Пусть идентификатор обозначим тождественный оператор на X . Для любого , пусть${\ Displaystyle L \ двоеточие D (L) \ rightarrow X}$ ${\ Displaystyle D (L) \ substeq X}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle L _ {\ lambda} = L- \ lambda \, \ mathrm {id}.}$

Комплексное число называется регулярным значением, если${\ displaystyle \ lambda}$

1. ${\ displaystyle L _ {\ lambda}}$является инъективным , т. е. ограничение на его изображение имеет обратное , а именно:${\ displaystyle L _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle Р (\ лямбда, L)}$
2. - линейный ограниченный оператор ;
3. определенно на плотное подпространство из X , то есть, имеет плотный диапазон.${\ displaystyle L _ {\ lambda}}$

Резольвентное множество из L есть множество всех регулярных значений L :

${\ displaystyle \ rho (L) = \ {\ lambda \ in \ mathbb {C} \ mid \ lambda {\ mbox {- обычное значение}} L \}.}$

Спектр является дополнением множества резольвентного:

${\ Displaystyle \ sigma (L) = \ mathbb {C} \ setminus \ rho (L).}$

Спектр может быть далее разложен на точечный / дискретный спектр (где условие 1 не выполняется), непрерывный спектр (где условия 1 и 3 выполняются, но условие 2 не выполняется) и спектр остаточного / сжатия (где условие 1 выполняется, но условие 3 не выполняется). .

Если это замкнутый оператор , то и каждый , и условие 3 может быть заменено требованием , чтобы это сюръективны .${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L _ {\ lambda}}$${\ displaystyle L _ {\ lambda}}$

Свойства [ править ]

• Резольвентное множество ограниченного линейного оператора L - открытое множество .${\ Displaystyle \ rho (L) \ substeq \ mathbb {C}}$
• В более общем смысле резольвентное множество плотно определенного замкнутого неограниченного оператора является открытым множеством.

Ссылки [ править ]

• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. xiv + 434. ISBN 0-387-00444-0. MR 2028503 (См. Раздел 8.3)

Внешние ссылки [ править ]

• Войцеховский М.И. (2001) [1994], "Резольвентное множество" , Энциклопедия математики , EMS Press

См. Также [ править ]

• Резольвентный формализм
• Спектр (функциональный анализ)
• Разложение спектра (функциональный анализ)