В абстрактной алгебре идея обратного элемента обобщает концепции отрицания (смена знака) (по отношению к сложению ) и взаимности (по отношению к умножению ). Интуиция - это элемент, который может «отменить» эффект комбинации с другим заданным элементом. Хотя точное определение обратного элемента меняется в зависимости от задействованной алгебраической структуры, эти определения в группе совпадают .
Слово «обратный» происходит от латинского : inversus, что означает «перевернутый вверх ногами», «перевернутый».
Формальные определения
В единой магме
Позволять быть единичной магмой , то есть набором с бинарной операцией и элемент идентичности . Если для, у нас есть , тогда называется левым обратным к а также называется правым обратным к. Если элемент является как левым обратным, так и правым обратным к , тогда называется двусторонним обратным , или просто обратное , из. Элемент с двусторонней инверсией вназывается обратимым в. Элемент с обратным элементом только на одной стороне является обратимым слева или обратимым справа .
Элементы единой магмы может иметь несколько левых, правых или двусторонних инверсий. Например, в магме из таблицы Кэли
* | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 |
2 | 2 | 1 | 1 |
3 | 3 | 1 | 1 |
элементы 2 и 3 имеют по две двусторонние перевернутые.
Единичная магма, в которой все элементы обратимы, не обязательно должна быть петлей . Например, в магмедано таблицей Кэли
* | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 |
2 | 2 | 1 | 2 |
3 | 3 | 2 | 1 |
каждый элемент имеет уникальный двусторонний инверс (а именно сам), но не является циклом, потому что таблица Кэли не является латинским квадратом .
Точно так же петля не обязательно должна иметь двусторонние перевернутые. Например, в цикле, заданном таблицей Кэли
* | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
2 | 2 | 3 | 1 | 5 | 4 |
3 | 3 | 4 | 5 | 1 | 2 |
4 | 4 | 5 | 2 | 3 | 1 |
5 | 5 | 1 | 4 | 2 | 3 |
единственный элемент с двусторонним реверсом - это тождественный элемент 1.
Если операция является ассоциативной тогда , если элемент имеет как левый обратный и правый обратный, то они равны. Другими словами, в моноиде (ассоциативной единичной магме) каждый элемент имеет не более одного обратного (как определено в этом разделе). В моноиде, множество обратимых элементов является группа , называется группой единиц из, и обозначается или H 1 .
В полугруппе
Определение в предыдущем разделе обобщает понятие инверсии в группе по отношению к понятию идентичности. Также возможно, хотя и менее очевидно, обобщить понятие инверсии, отбросив элемент идентичности, но сохранив ассоциативность, т. Е. В полугруппе .
В полугруппе S элемент x называется (фон Неймана) регулярным, если существует некоторый элемент z в S такой, что xzx = x ; z иногда называют псевдообратной . Элемент y называется (просто) обратным к x, если xyx = x и y = yxy . Каждый регулярный элемент имеет по крайней мере один обратный элемент: если x = xzx, то легко проверить, что y = zxz является обратным к x, как определено в этом разделе. Еще один факт, который легко доказать: если y является обратным к x, то e = xy и f = yx - идемпотенты , то есть ee = e и ff = f . Таким образом, каждая пара (взаимно) обратных элементов порождает два идемпотента, причем ex = xf = x , ye = fy = y , а e действует как левое тождество на x , в то время как f действует как правое тождество, а левое / правильные роли меняются местами для y . Это простое наблюдение можно обобщить с помощью соотношений Грина : каждый идемпотент e в произвольной полугруппе является левым тождеством для R e и правым тождеством для L e . [1] Интуитивно понятное описание этого факта состоит в том, что каждая пара взаимно обратных элементов порождает локальную левую идентичность и, соответственно, локальную правую идентичность.
В моноиде понятие инверсии, как оно определено в предыдущем разделе, строго уже, чем определение, данное в этом разделе. Только элементы в зеленом классе H 1 имеют инверсию с точки зрения единичной магмы, тогда как для любого идемпотента e элементы H e имеют инверсию, как определено в этом разделе. Согласно этому более общему определению, обратные не обязательно должны быть уникальными (или существовать) в произвольной полугруппе или моноиде. Если все элементы регулярны, то полугруппа (или моноид) называется регулярной, и каждый элемент имеет хотя бы один обратный. Если каждый элемент имеет ровно одну инверсию, как определено в этом разделе, то полугруппа называется инверсной полугруппой . Наконец, инверсная полугруппа с одним идемпотентом - это группа. Инверсная полугруппа может иметь поглощающий элемент 0, потому что 000 = 0, тогда как группа может не иметь.
Вне теории полугрупп, единственный обратный, как определено в этом разделе, иногда называют квазиобратным . Обычно это оправдано, потому что в большинстве приложений (например, во всех примерах в этой статье) ассоциативность сохраняется, что делает это понятие обобщением левого / правого обратного по отношению к идентичности.
U -полугруппы
Естественным обобщением обратной полугруппы является определение (произвольной) унарной операции ° такой, что ( а °) ° = а для всех а из S ; это наделяет S алгеброй типа ⟨2,1⟩. Полугруппа с такой операцией называется U -полугруппой . Хотя может показаться, что а ° будет обратным а , это не обязательно так. Для получения интересных понятий, унарная операция должна каким-то образом взаимодействовать с полугрупповой операцией. Изучены два класса U -полугрупп: [2]
- I -полугруппы , в которых аксиома взаимодействия аа ° а = а
- * -полугруппы , в которых аксиома взаимодействия ( ab ) ° = b ° a °. Такая операция называется инволюцией , и обычно обозначается*
Ясно, что группа является одновременно I -полугруппой и * -полугруппой. Класс полугрупп, важный в теории полугрупп, - это вполне регулярные полугруппы ; это I -полугруппы, в которых дополнительно аа ° = а ° а ; другими словами, каждый элемент имеет коммутирующую псевдообратную а °. Однако конкретных примеров таких полугрупп немного; большинство из них являются полностью простыми полугруппами . Напротив, подкласс * -полугрупп, * -регулярные полугруппы (в смысле Дразина), дают один из наиболее известных примеров (уникальной) псевдообратной, обратной Мура – Пенроуза . Однако в этом случае инволюция а * не является псевдообратной. Скорее, псевдообратный элемент x - это уникальный элемент y, такой что xyx = x , yxy = y , ( xy ) * = xy , ( yx ) * = yx . Поскольку * -регулярные полугруппы обобщают инверсные полугруппы, единственный элемент, определенный таким образом в * -регулярной полугруппе, называется обобщенно-обратной или обратной Пенроуза – Мура .
Кольца и полукольца
Примеры
Все примеры в этом разделе включают ассоциативные операторы, поэтому мы будем использовать термины, обратные слева и справа для определения, основанного на единичной магме, и квазиобратные для его более общей версии.
Вещественные числа
Каждое реальное число имеет аддитивный обратный (т. е. обратный по отношению к сложению ). Каждое ненулевое действительное числоимеет мультипликативный обратный (т. е. обратный по отношению к умножению ), заданный формулой (или же ). Напротив, у нуля нет мультипликативного обратного, но он имеет уникальный квазиобратный:" сам.
Функции и частичные функции
Функция - левая (соответственно правая) обратная к функции (для композиции функций ), если и только если (соотв. ) - это тождественная функция в области (соответственно кодобласти ). Обратная функция часто пишется , но это обозначение иногда бывает неоднозначным . Только биекции имеют двусторонние инверсии, но любая функция имеет квазиобратные, т. Е. Полный моноид преобразования регулярен. Моноид частичных функций также является регулярным, тогда как моноид инъективных частичных преобразований является прототипной обратной полугруппой.
Связи Галуа
Нижний и верхний сопряжения в (монотонной) связности Галуа , L и G являются квазиобратными друг другу, т.е. LGL = L и GLG = G, и одно однозначно определяет другое. Однако они не противоположны друг другу слева или справа.
Матрицы
Квадратная матрица с записями в поле обратима (в множестве всех квадратных матриц одинакового размера при матричном умножении ) тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля. Если определительравен нулю, он не может иметь одностороннего обратного; поэтому левый обратный или правый обратный подразумевает существование другого. Подробнее см. Обратимая матрица .
В более общем смысле квадратная матрица над коммутативным кольцом обратим тогда и только тогда, когда его определитель обратим в.
Неквадратные матрицы полного ранга имеют несколько односторонних обратных: [3]
- Для мы оставили обратные, например:
- Для у нас есть правильные обратные, например:
Левый обратный может быть использован для определения решения с наименьшей нормой , которая также является формулой наименьших квадратов для регрессии и определяется выражением
Нет ранг дефицитной матрицы не имеет какой - либо (даже односторонний) обратную. Однако обратная матрица Мура – Пенроуза существует для всех матриц и совпадает с левой или правой (или истинной) обратной, если она существует.
В качестве примера обратной матрицы рассмотрим:
Итак, поскольку m < n , у нас есть правый обратный, По компонентам он вычисляется как
Левая инверсия не существует, потому что
которая является сингулярной матрицей и не может быть обращена.
Смотрите также
- Петля (алгебра)
- Дивизионное кольцо
- Единица (теория колец)
- Латинская площадь собственности
Заметки
- ^ Хауи, опора. 2.3.3, п. 51
- ^ Хауи стр. 102
- ^ Лекция № 33 профессора Массачусетского технологического института Гилберта Стрэнга по линейной алгебре - Левый и правый инверсии; Псевдообратная.
Рекомендации
- М. Килп, У. Кнауэр, А.В. Михалев, Моноиды, акты и категории с приложениями к сплетениям и графам , Экспозиции Де Грюйтера по математике, т. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000, ISBN 3-11-015248-7 , стр. 15 (def в единичной магме) и стр. 33 (def в полугруппе)
- Хауи, Джон М. (1995). Основы теории полугрупп . Кларендон Пресс . ISBN 0-19-851194-9. содержит весь материал о полугруппах, кроме * -регулярных полугрупп.
- Дразин М. П. Регулярные полугруппы с инволюцией // Тр. Symp. о регулярных полугруппах (DeKalb, 1979), 29–46.
- Миюки Ямада, P-системы в регулярных полугруппах , Semigroup Forum , 24 (1), декабрь 1982 г., стр. 173–187.
- Нордаль, Т. Е., и Г. Е. Шейблих, Регулярные * полугруппы, Форум полугрупп , 16 (1978), 369–377.