В математике говорят , что функция обращается в нуль на бесконечности, если ее значения приближаются к 0 по мере неограниченного роста входных данных. Есть два разных способа определить это: одно определение применяется к функциям, определенным на нормированных векторных пространствах, а другое - к функциям, определенным на локально компактных пространствах . Помимо этого различия, оба эти понятия соответствуют интуитивному понятию добавления точки на бесконечности и требованию, чтобы значения функции были сколь угодно близкими к нулю по мере приближения к ней. Это определение во многих случаях можно формализовать, добавив (фактическую) точку на бесконечности .
Определения
Говорят, что функция на нормированном векторном пространстве обращается в нуль на бесконечности, если функция приближается к по мере неограниченного роста входных данных (т. е. в виде ). Или же,
Например, функция
определенная на действительной прямой, обращается в нуль на бесконечности. То же самое и с функцией
где а также являются реальными и соответствует точке на [1]
В качестве альтернативы функция на локально компактном пространстве обращается в нуль на бесконечности , если для любого положительного числа ε существует компактное подмножество такой, что
всякий раз, когда точка лежит за пределами [2] [3] [4] Другими словами, для каждого положительного числа ε множествокомпактный. Для данного локально компактного пространствамножество таких функций
ценится в что либо или же образует - векторное пространство относительно поточечного скалярного умножения и сложения , которое часто обозначается
Нормированное пространство локально компактно тогда и только тогда , когда оно конечномерно поэтому в данном конкретном случае, есть два различных определения функции «исчезающей на бесконечности». Эти два определения могут противоречить друг другу: еслив бесконечномерном банаховом пространстве , то исчезает на бесконечности определение, но не определение компакта.
Быстро уменьшается
Уточняя эту концепцию, можно более внимательно изучить скорость исчезновения функций на бесконечности. Одна из основных интуиций математического анализа состоит в том, что преобразование Фурье меняет местами условия гладкости на условия скорости обращения в нуль на бесконечности. В быстроубывающем тесте функцией закаленным распределения теории являются гладкими функциями , которые
для всех , в виде , и такие, что все их частные производные также удовлетворяют этому условию. Это условие устанавливается так, чтобы быть самодвойственно под преобразованием Фурье, так что соответствующая теория распределения из отпущенных распределений будет иметь такое же свойство.
Смотрите также
- Бесконечность - математическая концепция
- Проективно расширенная действительная линия
- Ноль функции - элемент области, где значение функции равно нулю.
Цитаты
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - исчезновение" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 15 декабря 2019 .
- ^ «Функция, исчезающая на бесконечности - Математическая энциклопедия» . www.encyclopediaofmath.org . Проверено 15 декабря 2019 .
- ^ «Исчезновение на бесконечности в nLab» . ncatlab.org . Проверено 15 декабря 2019 .
- ^ «исчезают в бесконечности» . planetmath.org . Проверено 15 декабря 2019 .
Рекомендации
- Хьюитт, Э. и Стромберг, К. (1963). Реальный и абстрактный анализ . Springer-Verlag.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )