Действие группы Ли

Эта статья требует внимания специалиста по математике . См. Подробности на странице обсуждения . WikiProject Mathematics может помочь нанять эксперта. ( Декабрь 2020 г. )

В дифференциальной геометрии действие группы Ли на многообразии M - это групповое действие группы Ли G на M, которое является дифференцируемым отображением ; в частности, это непрерывное групповое действие . Вместе с действием группы Ли G , M , называется G -многообразием . Эти типы орбиты из G образуют расслоение М , и это может быть использовано , чтобы понять геометрию М .

Позвольте быть групповым действием. Это действие группы Ли, если оно дифференцируемо. Таким образом, в частности, отображение орбиты дифференцируемо, и можно вычислить его дифференциал в единичном элементе G : ${\ displaystyle \ sigma: G \ times M \ to M, (g, x) \ mapsto g \ cdot x}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {x}: от G \ до M, g \ mapsto g \ cdot x}$

{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ to T_ {x} M}

.

Если X находится внутри , то его изображение, приведенное выше, является касательным вектором в точке x, и, изменяя x , можно получить векторное поле на M ; минус этого векторного поля называется фундаментальным векторным полем, ассоциированным с X, и обозначается . («Минус» гарантирует, что это гомоморфизм алгебры Ли.) Ядро отображения легко показать (см. Соответствие Ли ) как алгебру Ли стабилизатора (который замкнут и, следовательно, является подгруппой Ли в G. ) ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ #}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ to \ Gamma (TM)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {x}}$ $G_{x}$

Пусть - главное G -расслоение. Так как G имеет тривиальные стабилизаторы в P , для U в Р , является изоморфизмом на подпространство; это подпространство называется вертикальным подпространством . Таким образом, фундаментальное векторное поле на P вертикально . $P\to M$ $a\mapsto a_{u}^{\#}:{\mathfrak {g}}\to T_{u}P$

В общем случае пространство орбит не допускает структуру многообразия, так как, например, оно может не быть хаусдорфовым. Однако, если G компактна, то хаусдорфова, а если, кроме того, действие свободно, то является многообразием (на самом деле является главным G- расслоением). ^[1] Это следствие теоремы о срезе . Если "свободное действие" ослабить до "конечного стабилизатора", вместо этого получится орбифолд (или фактор-стек ). $M/G$ $M/G$ $M/G$ $M\to M/G$

Заменитель построения фактора - это конструкция Бореля из алгебраической топологии : предположим, что G компактно, и обозначим универсальное расслоение, которое мы можем считать многообразием, поскольку G компактно, и пусть G действует по диагонали; действие бесплатное, так как это так по первому фактору. Таким образом, можно образовать фактормногообразие . Сужение , в частности , позволяет определить эквивариантную когомологию из М ; а именно, один устанавливает $EG$ $EG\times M$ $M_{G}=(EG\times M)/G$

H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})

,

где правая часть обозначает когомологии де Рама, что имеет смысл, поскольку имеет структуру многообразия (таким образом, существует понятие дифференциальных форм). $M_{G}$

Если G компактно, то любое G -многообразие допускает инвариантную метрику; т. е. риманова метрика, относительно которой G действует на M как изометрии.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ де Фариа, Эдсон; де Мело, Велингтон (2010), Математические аспекты квантовой теории поля , Кембриджские исследования по высшей математике, 127 , Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9781139489805.

Мишель Оден, Действия тора на симплектических многообразиях, Бирхаузер, 2004

[1] де Фариа, Эдсон; де Мело, Велингтон (2010), Математические аспекты квантовой теории поля , Кембриджские исследования по высшей математике, 127 , Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9781139489805.

[1]