Карта моментов

В математике , особенно в симплектической геометрии , отображение момента (или, по ложной этимологии, отображение момента ^[1] ) - это инструмент, связанный с гамильтоновым действием группы Ли на симплектическом многообразии , используемый для построения сохраняющихся величин для действия. Карта импульса обобщает классические понятия линейного момента и момента количества движения . Это важный ингредиент в различных конструкциях симплектических многообразий, включая симплектические ( Марсдена – Вайнштейна ) факторы , обсуждаемые ниже, исимплектические сечения и суммы .

Формальное определение

Пусть M - многообразие с симплектической формой ω. Предположим, что группа Ли G действует на M посредством симплектоморфизмов (т. Е. Действие каждого g в G сохраняет ω). Пусть - алгебра Ли группы G , ее двойственной и${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$

${\ displaystyle \ langle, \ rangle: {\ mathfrak {g}} ^ {*} \ times {\ mathfrak {g}} \ to \ mathbf {R}}$

спаривание между ними. Любой ξ в индуцирует векторное поле ρ (ξ) на M, описывающее бесконечно малое действие ξ. Точнее, в точке x из M вектор равен${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle \ rho (\ xi) _ {х}}$

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,}$

где это экспоненциальное отображение и обозначает G -действие на М . ^[2] Обозначим через сжатие этого векторного поля с ω. Поскольку G действует симплектоморфизмами, отсюда следует, что она замкнута (для всех ξ in ).${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Предположим, что это не просто закрытый, но и точный, так что для некоторой функции . Предположим также, что отправка отображения является гомоморфизмом алгебр Ли. Тогда отображение момента для G -действия на ( М , со) представляет собой карту таким образом, что${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega =dH_{\xi }}$${\displaystyle H_{\xi }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle d(\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega }$

для всех ξ в . Вот функция от M до R, определяемая . Карта импульса определяется однозначно с точностью до аддитивной константы интегрирования.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle }$${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle }$

Отображение импульса также часто требуется, чтобы оно было G -эквивариантным, где G действует посредством коприсоединенного действия . Если группа компактна или полупроста, то всегда можно выбрать константу интегрирования так, чтобы отображение момента было коприсоединенным эквивариантным. Однако в общем случае коприсоединенное действие должно быть изменено, чтобы сделать отображение эквивариантным (это имеет место, например, для евклидовой группы ). Модификация осуществляется 1- коциклом на группе со значениями в , как впервые было описано Souriau (1970).${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Действия гамильтоновой группы

Определение отображения момента требует , чтобы быть закрыты . На практике полезно сделать еще более сильное предположение. G -действие называется гамильтоновой , если и только если выполнены следующие условия. Во-первых, для каждого ξ в одной форме точно, что означает, что оно равно для некоторой гладкой функции${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega }$${\displaystyle dH_{\xi }}$

${\displaystyle H_{\xi }:M\to \mathbf {R} .}$

Если это так, то можно выбрать, чтобы сделать карту линейной. Второе требование для гамильтоновости G -действия состоит в том, чтобы отображение было гомоморфизмом алгебры Ли из в алгебру гладких функций на M под скобкой Пуассона .${\displaystyle H_{\xi }}$${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Если действие G на ( M , ω) гамильтоново в этом смысле, то отображение импульса - это такое отображение , что запись определяет гомоморфизм алгебр Ли, удовлетворяющий . Вот векторное поле гамильтониана , определяемое формулой${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle H_{\xi }=\langle \mu ,\xi \rangle }$${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$${\displaystyle \rho (\xi )=X_{H_{\xi }}}$${\displaystyle X_{H_{\xi }}}$${\displaystyle H_{\xi }}$

${\displaystyle \iota _{X_{H_{\xi }}}\omega =dH_{\xi }.}$

Примеры карт импульса

В случае гамильтонова действия окружности двойственная алгебра Ли естественным образом отождествляется с ней , а отображение импульса - это просто гамильтонова функция, порождающая действие окружности.${\displaystyle G={\mathcal {U}}(1)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Другой классический случай имеет место , когда это кокасательное расслоение из и является евклидово группы , порожденные вращениями и переводами. То есть, это шесть-мерная группа, то полупрямое произведение из и . Шесть компонентов карты импульса - это три момента импульса и три момента импульса.${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle SO(3)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Позвольте быть гладким многообразием и пусть быть его кокасательным расслоением, с отображением проекции . Обозначим через тавтологическую 1-форму на . Допустим действует на . Индуцированное действие на симплектическое многообразие , задаваемое для, является гамильтоновым с отображением импульса для всех . Здесь обозначает сжатие векторного поля , бесконечно малое действие , с 1-формой .${\displaystyle N}$${\displaystyle T^{*}N}$${\displaystyle \pi :T^{*}N\rightarrow N}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle T^{*}N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (T^{*}N,\mathrm {d} \tau )}$${\displaystyle g\cdot \eta :=(T_{\pi (\eta )}g^{-1})^{*}\eta }$${\displaystyle g\in G,\eta \in T^{*}N}$${\displaystyle -\iota _{\rho (\xi )}\tau }$${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\tau }$${\displaystyle \rho (\xi )}$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \tau }$

Факты, упомянутые ниже, могут быть использованы для создания дополнительных примеров карт импульса.

Некоторые факты о картах импульса

Пусть - группы Ли с алгебрами Ли соответственно.${\displaystyle G,H}$${\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}}$

1. Позвольте быть коприсоединенной орбитой . Тогда существует единственная симплектическая структура на такой, что отображение включения является отображением импульса.${\displaystyle {\mathcal {O}}(F),F\in {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(F)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(F)\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$
2. Пусть действует на симплектическом многообразии с отображением импульса для действия, и пусть будет гомоморфизм группы Ли, индуцирующий действие on . Тогда действие on также является гамильтоновым, с отображением импульса, заданным как , где - двойное отображение на ( обозначает единичный элемент ). Особый интерес представляет случай, когда является подгруппой Ли и является отображением включения.${\displaystyle G}$${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \Phi _{G}:M\rightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle \psi :H\rightarrow G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}\circ \Phi _{G}}$${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}:{\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \psi }$
3. Пусть - гамильтоново -многообразие и гамильтоново -многообразие. Тогда естественное действие on является гамильтоновым, причем отображение импульса представляет собой прямую сумму двух отображений импульса и . Здесь , где обозначает карту проекции.${\displaystyle (M_{1},\omega _{1})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (M_{2},\omega _{2})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\times H}$${\displaystyle (M_{1}\times M_{2},\omega _{1}\times \omega _{2})}$${\displaystyle \Phi _{G}}$${\displaystyle \Phi _{H}}$${\displaystyle \omega _{1}\times \omega _{2}:=\pi _{1}^{*}\omega _{1}+\pi _{2}^{*}\omega _{2}}$${\displaystyle \pi _{i}:M_{1}\times M_{2}\rightarrow M_{i}}$
4. Пусть - гамильтоново -многообразие и подмногообразие, инвариантное относительно такое, что ограничение симплектической формы на на невырождено. Это естественным образом придает симплектическую структуру . Тогда действие on также является гамильтоновым, с отображением импульса - композицией отображения включения с отображением импульса.${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

Симплектические частные

Предположим, что действие компактной группы Ли G на симплектическом многообразии ( M , ω) гамильтоново, как определено выше, с отображением импульса . Из гамильтонового условия следует , что инвариантное относительно G .${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$

Предположим теперь, что 0 - регулярное значение μ и что G действует свободно и правильно . Таким образом, и его фактор - оба многообразия. Фактор наследует симплектическую форму от M ; то есть, существует единственная симплектическая форма на факторе которого откат к равно ограничение со к . Таким образом, фактор является симплектическим многообразием, называется фактор - Марсдена-Вайнштейна , симплектический фактор или симплектическими сокращение из M с помощью G и обозначается . Его размерность равна размерности M минус удвоенная размерность G.${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G}$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$${\displaystyle M/\!\!/G}$.

Плоские соединения на поверхности

Пространство связностей на тривиальном расслоении на поверхности имеет бесконечномерную симплектическую форму${\displaystyle \Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \Sigma \times G}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle :=\int _{\Sigma }{\text{tr}}(\alpha \wedge \beta ).}$

Калибровочная группа действует на связности сопряжением . Идентифицируйте через интеграцию пары. Тогда карта${\displaystyle {\mathcal {G}}={\text{Map}}(\Sigma ,G)}$${\displaystyle g\cdot A:=g^{-1}(dg)+g^{-1}Ag}$${\displaystyle {\text{Lie}}({\mathcal {G}})=\Omega ^{0}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})=\Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})^{*}}$

${\displaystyle \mu :\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})\rightarrow \Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}}),\qquad A\;\mapsto \;F:=dA+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]}$

который отправляет соединение своей кривизне, является картой моментов для действия калибровочной группы на связях. В частности, пространство модулей плоских связностей по модулю калибровочной эквивалентности задается симплектической редукцией.${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/{\mathcal {G}}=\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})/\!\!/{\mathcal {G}}}$

Смотрите также

• Фактор GIT
• Квантование коммутирует с редукцией .
• Группа Пуассона – Ли
• Торическое многообразие
• Геометрическая механика
• Карта Кирвана
• Теорема Костанта о выпуклости

Примечания

использованная литература

• Ж.-М. Сурьяу, Структура динамических систем , Математические методы , Данод , Париж, 1970. ISSN  0750-2435 .
• С. К. Дональдсон и П. Б. Кронхеймер, Геометрия четырехмерных многообразий , Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9 . 
• Дуса Макдафф и Дитмар Саламон, Введение в симплектическую топологию , Oxford Science Publications, 1998. ISBN 0-19-850451-9 . 
• Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
• Ортега, Хуан-Пабло; Ратиу, Тудор С. (2004). Отображения импульса и гамильтонова редукция . Успехи в математике. 222 . Birkhauser Boston. ISBN 0-8176-4307-9.
• Audin, Michèle (2004), Действия тора на симплектических многообразиях , Progress in Mathematics, 93 (второе исправленное издание), Birkhäuser, ISBN 3-7643-2176-8
• Гийемен, Виктор ; Штернберг, Шломо (1990), Симплектические методы в физике (второе изд.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-38990-9
• Вудворд, Крис (2010), Отображения моментов и геометрическая теория инвариантов , Les Cours du CIRM, 1 , EUDML, стр. 55–98, arXiv : 0912.1132 , Bibcode : 2009arXiv0912.1132W
• Брюгьер, Ален (1987), " Собственность выпуклого момента приложения" (PDF) , Astérisque , Séminaire Bourbaki, 145–146: 63–87