В математике , особенно в симплектической геометрии , отображение импульса (или отображение момента [1] ) - это инструмент, связанный с гамильтоновым действием группы Ли на симплектическом многообразии , используемый для построения сохраняющихся величин для действия. Карта импульса обобщает классические понятия линейного и углового момента . Он является важным ингредиентом в различных конструкциях симплектических многообразий, включая симплектические ( Марсдена – Вайнштейна ) факторы , обсуждаемые ниже, и симплектические разрезы.и суммы .
Формальное определение
Пусть M - многообразие с симплектической формой ω. Предположим, что группа Ли G действует на M посредством симплектоморфизмов (т. Е. Действие каждого g в G сохраняет ω). Позволять- алгебра Ли группы G ,его двойственный , и
спаривание между ними. Любой ξ виндуцирует на M векторное поле ρ (ξ), описывающее бесконечно малое действие ξ. Точнее, в точке x из M вектор является
где - экспоненциальное отображение иобозначает G -действие на М . [2] Пустьобозначим сжатие этого векторного поля с ω. Поскольку G действует симплектоморфизмами, отсюда следует, чтобудет закрыт (для всех £ в).
Предположим, что не просто закрытый, но и точный, так что для какой-то функции . Предположим также, что отображение отправка является гомоморфизмом алгебр Ли. Тогда отображение момента для G -действия на ( М , со) представляет собой карту такой, что
для всех ξ в . Здесь- функция от M до R, определяемая формулой. Карта импульса определяется однозначно с точностью до аддитивной постоянной интегрирования.
Часто требуется, чтобы отображение импульса было G -эквивариантным, где G действует начерез коприсоединенное действие . Если группа компактна или полупроста, то всегда можно выбрать константу интегрирования так, чтобы отображение момента было коприсоединенным эквивариантным. Однако в общем случае коприсоединенное действие должно быть изменено, чтобы сделать отображение эквивариантным (это имеет место, например, для евклидовой группы ). Модификация осуществляется 1- коциклом на группе со значениями в, как впервые описано Souriau (1970).
Действия гамильтоновой группы
Для определения карты импульса требуется быть закрытым . На практике полезно сделать еще более сильное предположение. G -действие называется гамильтоновой , если и только если выполнены следующие условия. Во-первых, для каждого ξ в единственная форма является точным, что означает, что он равен для некоторой гладкой функции
Если это так, то можно выбрать сделать карту линейный. Второе требование для гамильтоновости G -действия состоит в том, чтобы отображение - гомоморфизм алгебр Ли из в алгебру гладких функций на M под скобкой Пуассона .
Если действие G на ( M , ω) гамильтоново в этом смысле, то отображение импульса - это отображение такое письмо определяет гомоморфизм алгебр Ли удовлетворение . Здесь - векторное поле гамильтониана , определяется
Примеры карт импульса
В случае гамильтонова действия окружности , двойственная алгебра Ли естественно отождествляется с , а отображение импульса - это просто функция Гамильтона, которая порождает действие окружности.
Другой классический случай возникает, когда является кокасательным расслоением из а также - евклидова группа, порожденная вращениями и сдвигами. Это,является шестимерной группой, Полупрямое продукт из а также . Шесть компонентов карты импульса - это три момента импульса и три момента импульса.
Позволять - гладкое многообразие и пусть - его котангенсное расслоение с отображением проекции . Позволятьобозначим тавтологическую 1-форму на. Предполагать действует на . Индуцированное действие на симплектическом многообразии , данный для гамильтониан с отображением импульса для всех . Здесьобозначает сжатие векторного полябесконечно малое действие , с 1-формой .
Факты, упомянутые ниже, могут быть использованы для создания дополнительных примеров карт импульса.
Некоторые факты о картах импульса
Позволять группы Ли с алгебрами Ли , соответственно.
1. Пусть - коприсоединенная орбита . Тогда существует единственная симплектическая структура на такая, что карта включения это карта импульса.
2. Пусть действовать на симплектическом многообразии с участием карта импульса для действия, и - гомоморфизм групп Ли, индуцирующий действие на . Тогда действие на также является гамильтоновым, с отображением импульса, заданным формулой , где двойное отображение ( обозначает единичный элемент ). Особый интерес представляет случай, когда является подгруппой Ли в а также - карта включения.
3. Пусть быть гамильтонианом -многообразие и гамильтониан -многообразие. Тогда естественное действие на является гамильтоновым, с отображением импульса прямая сумма двух отображений импульса а также . Здесь, где обозначает карту проекции.
4. Пусть быть гамильтонианом -многообразие и подмногообразие инвариантен относительно такое, что ограничение симплектической формы на к невырожден. Это придает симплектическую структуруестественным образом. Тогда действие на также является гамильтоновым, с отображением импульса композиция отображения включения с Моментальная карта.
Симплектические частные
Предположим, что действие компактной группы Ли G на симплектическом многообразии ( M , ω) гамильтоново, как определено выше, с отображением импульса. Из условия гамильтониана следует, чтоинвариантна относительно G .
Предположим теперь, что 0 - регулярное значение μ и что G действует свободно и правильно на. Таким образоми его частное оба многообразия. Фактор наследует симплектическую форму от M ; т. е. существует единственная симплектическая форма на факторе, откат которой к равна ограничению ω на . Таким образом, частный симплектическое многообразие, называется фактором-Марсден Вайнштейн , симплектический фактор или симплектическое снижение на М по G и обозначаются. Его размерность равна размерности M минус два раза размерность G .
Плоские соединения на поверхности
Космос связностей на тривиальном расслоении на поверхности имеет бесконечномерную симплектическую форму
Калибровочная группа действует на связи путем спряжения . Идентифицироватьчерез интеграционную пару. Тогда карта
который отправляет соединение своей кривизне, является картой моментов для действия калибровочной группы на связях. В частности, пространство модулей плоских связностей по модулю калибровочной эквивалентности дается симплектической редукцией.
Смотрите также
Заметки
- ^ Карта моментов неправильно и физически некорректна. Это ошибочный перевод французского момента применения понятия. См. Этот вопрос с математическим потоком, чтобы узнать историю названия.
- ^ Векторное поле ρ (ξ) иногда называют векторным полем Киллинга относительно действия однопараметрической подгруппы, порожденной ξ. См., Например, ( Choquet-Bruhat & DeWitt-Morette 1977 )
Рекомендации
- Ж.-М. Сурьяу, Структура динамических систем , Математические методы , Данод , Париж, 1970. ISSN 0750-2435 .
- С. К. Дональдсон и П. Б. Кронхеймер, Геометрия четырехмерных многообразий , Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9 .
- Дуса Макдафф и Дитмар Саламон, Введение в симплектическую топологию , Oxford Science Publications, 1998. ISBN 0-19-850451-9 .
- Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
- Ортега, Хуан-Пабло; Ратиу, Тюдор С. (2004). Отображения импульса и гамильтонова редукция . Успехи в математике. 222 . Birkhauser Boston. ISBN 0-8176-4307-9.
- Audin, Michèle (2004), Действия тора на симплектических многообразиях , Progress in Mathematics, 93 (второе исправленное издание), Birkhäuser, ISBN 3-7643-2176-8
- Гийемен, Виктор ; Штернберг, Шломо (1990), Симплектические методы в физике (второе изд.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-38990-9
- Вудворд, Крис (2010), Отображения моментов и геометрическая теория инвариантов , Les Cours du CIRM, 1 , EUDML, стр. 55–98, arXiv : 0912.1132 , Bibcode : 2009arXiv0912.1132W
- Брюгьер, Ален (1987), " Собственность выпуклого момента приложения" (PDF) , Astérisque , Séminaire Bourbaki, 145–146: 63–87