Теорема Костанта о выпуклости

---

В математике теорема Костанта о выпуклости , введенная Бертрамом Костантом  ( 1973 ), утверждает, что проекция каждой коприсоединенной орбиты связной компактной группы Ли в двойственную подалгебру Картана является выпуклым множеством . Это частный случай более общего результата для симметричных пространств . Теорема Костанта является обобщением результата Шура (1923) , Хорна (1954) и Томпсона (1972) для эрмитовых матриц. Они доказали, что проекция на диагональные матрицы пространства всех n на nкомплексная самосопряженная матрица с заданными собственными значениями Λ = (λ ₁ , ..., λ _n ) — выпуклый многогранник, вершинами которого являются все перестановки координат матрицы Λ.

Пусть K — связная компактная группа Ли с максимальным тором T и группой Вейля W = NK ( _T ) / T . Пусть их алгебры Ли будут и . Пусть P будет ортогональной проекцией на для некоторого Ad-инвариантного скалярного произведения на . Тогда для X в P ( Ad( K )⋅ X ) есть выпуклый многогранник с вершинами w ( X ), где w пробегает группу Вейля.${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Пусть G — компактная группа Ли и σ — инволюция с K — компактной подгруппой, фиксированной σ и содержащей компоненту единицы подгруппы неподвижных точек группы σ. Таким образом , G / K — симметрическое пространство компактного типа. Позвольте и быть их алгебрами Ли и пусть σ также обозначает соответствующую инволюцию . Позвольте быть −1 собственным пространством σ и пусть быть максимальным абелевым подпространством. Пусть Q — ортогональная проекция на для некоторого Ad( K )-инвариантного скалярного произведения на . Тогда для X in , Q${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$(Ad( K )⋅ X ) — выпуклый многогранник с вершинами w ( X ), где w пробегает ограниченную группу Вейля (нормализатор в K по модулю его централизатора).${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Случай компактной группы Ли — это особый случай, когда G = K × K , K вкладывается диагонально, а σ — автоморфизм группы G , меняющий местами два множителя.

---