Векторное поле убийства

В математике , A векторное поле Киллинга (часто называют полем Киллинга ), названный в честь Киллинг , является векторным полем на риманова многообразия (или псевдориманова многообразия ) , который сохраняет метрику . Killing полей являются бесконечно малыми генераторами из изометрии ; то есть потоки генерируются Killing полей являются непрерывными изометриями этого многообразия . Проще говоря, поток создает симметриюв том смысле, что перемещение каждой точки на объекте на одинаковое расстояние в направлении вектора Киллинга не искажает расстояния на объекте.

Определение [ править ]

В частности, векторное поле X является полем Киллинга, если производная Ли по X метрики g равна нулю: ^[1]

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = 0 \ ,.}$

С точки зрения связи Леви-Чивита , это

${\ Displaystyle г (\ набла _ {Y} X, Z) + г (Y, \ nabla _ {Z} X) = 0 \,}$

для всех векторов Y и Z . В локальных координатах это составляет уравнение Киллинга ^[2]

${\displaystyle \nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=0\,.}$

Это условие выражается в ковариантной форме. Следовательно, достаточно установить его в предпочтительной системе координат, чтобы он сохранялся во всех системах координат.

Примеры [ править ]

Векторное поле на круге, который указывает по часовой стрелке и имеет одинаковую длину в каждой точке, является векторным полем Киллинга, поскольку перемещение каждой точки на круге вдоль этого векторного поля просто вращает круг.

Вектор Киллинга в гиперболической плоскости [ править ]

Игрушечный пример векторного поля Киллинга находится на верхней полуплоскости, снабженной метрикой Пуанкаре . Пара обычно называется гиперболической плоскостью и имеет векторное поле Киллинга (с использованием стандартных координат). Это должно быть интуитивно понятно, поскольку ковариантная производная переносит метрику по интегральной кривой, генерируемой векторным полем (изображение которого параллельно оси x).${\displaystyle M=\mathbb {R} _{y>0}^{2}}$ ${\displaystyle g=y^{-2}(dx^{2}+dy^{2})}$${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle \partial _{x}}$${\displaystyle \nabla _{\partial _{x}}g}$

Смертельные поля на 2-х сферах [ править ]

Поля Киллинга на двумерной сфере или любой сфере должны быть в некотором смысле «очевидными» из обычной интуиции: сферы, будучи сферосимметричными, должны обладать полями Киллинга, которые генерируются бесконечно малым вращением вокруг любой оси. Это даже просто на соответствующем уровне абстракции. Однако при явном выражении в терминах координатных диаграмм поля Киллинга имеют неочевидную структуру, скрывающую их природу. Об этом говорится ниже. Эта «неочевидная» структура характерна для многообразий, которые не являются сферами, и, таким образом, 2-сфера представляет собой хорошую игрушечную модель, на которой можно исследовать интуитивную интерпретацию полей Киллинга. ${\displaystyle S^{2}}$

Обычная метрика на сфере

${\displaystyle g(\Omega )=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

и, очевидно, вращение вокруг полюса должно быть изометрией. Бесконечно малый генератор вращения может быть идентифицирован как генератор поля Киллинга. Это можно сразу записать: это

${\displaystyle U=\partial _{\phi }}$

Обратите внимание, что это нормализовано к единице длины. Поверхность сферы двумерна, поэтому очевидно, что существует еще один генератор изометрий; это можно принять как

${\displaystyle V=\partial _{\theta }.}$

Поля уничтожения обладают тем свойством, что скобка Ли из двух полей уничтожения по-прежнему является полем уничтожения. Таким образом, убийство поля на многообразии М , таким образом , образуют подалгебру Ли векторных полей на M . Некоторый интерес представляет размерность этой алгебры (сколько у нее генераторов?) И ее структурные константы - учитывая ортонормированный базис этой алгебры, какие числа появляются в${\displaystyle e_{1},\cdots ,e_{n}}$${\displaystyle {f_{ij}}^{k}}$${\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}?}$

Прямое вычисление приводит к неожиданному взрыву синусов и косинусов. Возможно, это не очевидно; конечно, на экваторе это есть. Однако при удалении от экватора два векторных поля и два больше не являются ортонормированными, и поэтому, как правило, это точка общего положения. Хуже того, чтобы получить размерность алгебры, нужно либо определить, что образует полный линейно независимый базис алгебры (что делает алгебру трехмерной), либо, возможно, существует четвертый, пятый, ... (линейно- независимое) векторное поле , полученный путем вычисления и и так далее. Существует нет каких- либо особых априорно${\displaystyle W=[U,V]}$${\displaystyle \theta =\pi /2}$${\displaystyle [\partial _{\phi },\partial _{\theta }]=0.}$${\displaystyle \partial _{\phi }}$${\displaystyle \partial _{\theta }}$${\displaystyle [\partial _{\phi },\partial _{\theta }]\neq 0}$${\displaystyle (\theta ,\phi )\in S^{2}}$${\displaystyle U,V,W}$${\displaystyle [U,W]}$${\displaystyle [U,[U,W]]}$основание полагать, что алгебра двумерна или трехмерна; это нужно как-то доказать. Система координат сферы не поддается таким расчетам.

Самое простое решение - встроить сферу в трехмерное евклидово пространство, а затем работать в ортонормированных декартовых координатах, где коммутаторы прямолинейны. Обычная 3-пространственная система координат задается формулой ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle x=\sin \theta \cos \phi \qquad y=\sin \theta \sin \phi \qquad z=\cos \theta }$

Генератор распознается как вращение вокруг оси.${\displaystyle \partial _{\phi }}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle R=x\partial _{y}-y\partial _{x}=\sin ^{2}\theta \,\partial _{\phi }}$

Второй генератор, вращающийся вокруг оси, явно${\displaystyle x}$

${\displaystyle S=z\partial _{y}-y\partial _{z}}$

Перемещая эти два, можно быстро найти третий генератор для вращения вокруг оси.${\displaystyle T=[R,S]}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle T=z\partial _{x}-x\partial _{z}}$

То, что это составляет полную основу, легко проверить, отметив, что

${\displaystyle [R,S]=T\quad [S,T]=R\quad [T,R]=S}$

Можно сделать вывод, что алгебра Ли для полей Киллинга на двумерной сфере является трехмерной и что это множество обеспечивает полную основу для алгебры. То, что они удовлетворяют, должно быть либо очевидно из конструкции, либо может быть непосредственно подтверждено постфактум . Как векторные поля они не ортонормированы глобально; они не ортогональны и не имеют единичной длины для точек общего положения. Их нельзя глобально нормализовать с помощью « теоремы о волосатом шарике », в которой «нельзя расчесать волосы на сфере, не оставив пучка или лысины». ${\displaystyle R,S,T}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{R}g={\mathcal {L}}_{S}g={\mathcal {L}}_{T}g=0}$

Попытки дальнейшей ортогонализации или нормализовать эти векторные поля не являются плодотворными, и нет каких - либо особых дополнительных упрощений возможно, другие , чем работа в репер системе координат. В данном конкретном случае, работая в системе координат, можно применить Ходжа двойственного ( кросс-продукт в трех измерениях). Полученные векторы не лежат в касательном пространстве , а значит, находятся «вне многообразия». Они везде нормальные к сфере; координаты являются внешними по сравнению с внутренними координатами . Полезность этого состоит в том, что теперь в пространстве вложения двойственные пары Ходжа${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle TS^{2}}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle \theta ,\phi }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle *R,*S,*T}$глобально ортонормированы ( т.е. ортонормированы в каждой точке сферы).

Работая во внутренней системе координат , достаточно легко сделать одно из векторных полей единичной длины. По общепринятому соглашению в общей теории относительности, например, в координатах Шварцшильда , он является генератором вращения вокруг оси -оси. Нормализуя это и выражая в сферических координатах, мы имеем${\displaystyle \theta ,\phi }$${\displaystyle z}$

${\displaystyle R^{\prime }={\frac {R}{\sin ^{2}\theta }}=\partial _{\phi }}$

${\displaystyle S^{\prime }={\frac {S}{\sin ^{2}\theta }}=\sin \phi \,\partial _{\theta }+\cot \theta \,\cos \phi \,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle T^{\prime }={\frac {T}{\sin ^{2}\theta }}=\cos \phi \,\partial _{\theta }-\cot \theta \,\sin \phi \,\partial _{\phi }}$

и нетрудно проверить, что коммутаторы все еще верны:

${\displaystyle [R^{\prime },S^{\prime }]=T^{\prime }\quad [S^{\prime },T^{\prime }]=R^{\prime }\quad [T^{\prime },R^{\prime }]=S^{\prime }}$

Это три образующих алгебры. Конечно, любая другая (невырожденная) их линейная комбинация также порождает алгебру. Обратите внимание на несколько неинтуитивный подсчет: хотя поверхность сферы двумерна, и поэтому можно ожидать двух различных изометрий, на самом деле их больше. Этот несколько удивительный результат является общим свойством симметрических пространств . Это описывается далее как разложение Картана : в каждой точке многообразия алгебра полей Киллинга естественным образом распадается на две части, одна из которых касается многообразия, а другая обращается в нуль (в выбранной точке). точка).

Поля смерти в пространстве Минковского [ править ]

Поля Киллинга пространства Минковского - это три генератора вращений ( маленькая группа ) и три генератора ускорений . Это

• Векторные поля, генерирующие три вращения, часто называемые J- генераторами,

  ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}~;}$

• Векторные поля, генерирующие три буста, генераторы K ,

  ${\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}.}$

Вместе они образуют группу Лоренца . См. Эту статью для подробного обсуждения.

Поля смерти в общей теории относительности [ править ]

Типичное использование поля Киллинга - это выражение симметрии в общей теории относительности (в которой геометрия пространства-времени, искаженная гравитационными полями , рассматривается как 4-мерное псевдориманово многообразие). В статической конфигурации, в которой ничего не меняется со временем, вектор времени будет вектором Киллинга, и, таким образом, поле Киллинга будет указывать в направлении поступательного движения во времени. Например, метрика Шварцшильда имеет четыре поля Киллинга: одно временноподобное и две изометрии, происходящие из ее сферической симметрии; они разделены на три, показанные для системы координат сферы выше. Метрика Керраимеет только два поля Киллинга: времяподобное поле и осесимметричное поле (решения Керра соответствуют вращающимся черным дырам и не являются сферически симметричными; они только осесимметричны относительно оси вращения.) См. координаты Шварцшильда # векторные поля Киллинга для примера.

Убивающее поле постоянной координаты [ править ]

Если метрические коэффициенты в некотором координатном базисе не зависят от одной из координат , то - вектор Киллинга, где - дельта Кронекера . ^[3]${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$${\displaystyle dx^{a}\,}$${\displaystyle x^{\kappa }\,}$${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{\kappa }^{\mu }\,}$${\displaystyle \delta _{\kappa }^{\mu }\,}$

Чтобы доказать это, допустим . Тогда и сейчас давайте посмотрим на условие убийства${\displaystyle g_{\mu \nu },_{0}=0\,}$${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{0}^{\mu }\,}$${\displaystyle K_{\mu }=g_{\mu \nu }K^{\nu }=g_{\mu \nu }\delta _{0}^{\nu }=g_{\mu 0}\,}$

${\displaystyle K_{\mu ;\nu }+K_{\nu ;\mu }=K_{\mu ,\nu }+K_{\nu ,\mu }-2\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }K_{\rho }=g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-g^{\rho \sigma }(g_{\sigma \mu ,\nu }+g_{\sigma \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\sigma })g_{\rho 0}\,}$

и от . Условие убийства становится${\displaystyle g_{\rho 0}g^{\rho \sigma }=\delta _{0}^{\sigma }\,}$

${\displaystyle g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-(g_{0\mu ,\nu }+g_{0\nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,0})=0\,}$

то есть , что правда.${\displaystyle g_{\mu \nu ,0}=0}$

• Физический смысл состоит, например, в том, что, если ни один из метрических коэффициентов не является функцией времени, многообразие должно автоматически иметь временноподобный вектор Киллинга.
• С точки зрения непрофессионала, если объект не трансформируется или не «развивается» во времени (по прошествии времени), прохождение времени не изменит размеры объекта. Сформулированный таким образом результат звучит как тавтология, но нужно понимать, что этот пример очень надуманный: поля убийства применимы также к гораздо более сложным и интересным случаям.

Свойства [ править ]

Поле Киллинга однозначно определяется вектором в некоторой точке и его градиентом (т. Е. Всеми ковариантными производными поля в этой точке).

Скобка Ли двух полей Killing еще поле Killing. Умерщвление поля на многообразии М , таким образом , образуют подалгебру Ли векторных полей на M . Это и есть алгебра Ли группы изометрий многообразия , если M является полным . Риманова многообразия с транзитивной группой изометрии является однородное пространство .

Для компактных многообразий

• Отрицательная кривизна Риччи означает, что нет нетривиальных (ненулевых) полей Киллинга.
• Неположительная кривизна Риччи означает, что любое поле Киллинга параллельно. т.е. ковариантная производная по любому векторному полю j тождественно равна нулю.
• Если секционная кривизна положительна, а размерность M четная, поле Киллинга должно иметь ноль.

Дивергенция каждого векторного поля Киллинга равна нулю.

Если - векторное поле Киллинга и - гармоническое векторное поле , то - гармоническая функция .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle g(X,Y)}$

Если - векторное поле Киллинга и - гармоническая p-форма , то${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0\,.}$

Геодезические [ править ]

Каждый вектор Киллинга соответствует количеству, которое сохраняется вдоль геодезических . Эта сохраняющаяся величина является метрическим произведением между вектором Киллинга и геодезическим касательным вектором. То есть вдоль геодезической с некоторым аффинным параметром уравнение${\displaystyle \lambda ,}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\lambda }}\left(K_{\mu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}\right)=0}$

доволен. Это помогает аналитически изучать движения в пространстве-времени с симметриями. ^[4]

Разложение Картана [ править ]

Как отмечалось выше, скобка Ли из двух полей уничтожения по-прежнему остается полем уничтожения. Таким образом, поля Киллинга на многообразии образуют подалгебру Ли всех векторных полей при выборе точки алгебру можно разложить на две части:${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle p\in M~,}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:X(p)=0\}}$

и

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:\nabla X(p)=0\}}$

где - ковариантная производная . Эти две части ортогональны и разбивают алгебру в том, что и${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}\cap {\mathfrak {h}}=\varnothing ~.}$

Интуитивно изометрии локально определяют подмногообразие всего пространства, а поля Киллинга показывают, как «скользить по» этому подмногообразию. Они покрывают касательное пространство этого подмногообразия. Касательное пространство должно иметь ту же размерность, что и изометрии, эффективно действующие в этой точке. То есть ожидается${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle T_{p}N}$${\displaystyle T_{p}N\cong {\mathfrak {m}}~.}$Тем не менее, в целом количество полей Киллинга больше, чем размер этого касательного пространства. Как это может быть? Ответ заключается в том, что «лишние» поля Killing избыточны. Взятые вместе, поля обеспечивают полную основу для касательного пространства в любой конкретной выбранной точке; линейные комбинации можно заставить исчезнуть в этой конкретной точке. Это было видно на примере полей убийства на 2-сферической сфере: есть 3 поля убийства; в любой заданной точке два покрывают касательное пространство в этой точке, а третий является линейной комбинацией двух других. Выбор любых двух определяет оставшиеся вырожденные линейные комбинации, определяющие ортогональное пространство${\displaystyle {\mathfrak {m}};}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}.}$

Картановская инволюция [ править ]

Картановская инволюции определяются как зеркальное отражение или изменения направления геодезического. Его дифференциал меняет направление касательных к геодезической. Это линейный оператор нормы один; он имеет два инвариантных подпространства с собственным значением +1 и -1. Эти два подпространства соответствуют и соответственно.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$

Это можно уточнить. Фиксируя точку рассмотреть геодезический , проходящий через , с инволюция определяется как${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \gamma (0)=p~.}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$

${\displaystyle \sigma _{p}(\gamma (\lambda ))=\gamma (-\lambda )}$

Эта карта является инволюцией в том смысле, что, будучи ограничена геодезическими вдоль полей Киллинга, она также явно является изометрией. Это однозначно определено. Позвольте быть группой изометрий, порожденных полями Киллинга. Функция, определяемая${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=1~.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle s_{p}:G\to G}$

${\displaystyle s_{p}(g)=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}^{-1}}$

является гомоморфизмом из . Его бесконечно малое является${\displaystyle G}$${\displaystyle \theta _{p}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \theta _{p}(X)=\left.{\frac {d}{d\lambda }}s_{p}(e^{\lambda X})\right|_{\lambda =0}}$

Инволюция Картана является гомоморфизмом алгебр Ли в том смысле, что

${\displaystyle \theta _{p}[X,Y]=[\theta _{p}X,\theta _{p}Y]}$

для всех Подпространство имеет нечетную четность относительно инволюции Картана , в то время как имеет четность. То есть, обозначив инволюцию Картана в точке , как один имеет${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}~.}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle \theta _{p}}$

${\displaystyle \left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {m}}=-Id}$

и

${\displaystyle \left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {h}}=+Id}$

где - карта идентичности. Из этого следует, что подпространство является подалгеброй Ли в, поскольку это подпространства четной и нечетной четности, скобки Ли расщепляются, так что и${\displaystyle Id}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}~.}$${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}~.}$

Приведенное выше разложение справедливо во всех точках для симметричного пространства ; доказательства можно найти в Jost. ^[5] Они также верны в более общих условиях, но не обязательно во всех точках многообразия. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle M}$

В частном случае симметричного пространства это явно имеется, то есть поля Киллинга покрывают все касательное пространство симметричного пространства. Эквивалентно, тензор кривизны ковариантно постоянен на локально симметричных пространствах, и поэтому они локально распараллеливаемы; это теорема Картана – Амброуза – Хикса .${\displaystyle T_{p}M\cong {\mathfrak {m}};}$

Обобщения [ править ]

• Векторные поля Киллинга могут быть обобщены на конформные векторные поля Киллинга, определенные для некоторого скаляра . Производные однопараметрических семейств конформных отображений являются конформными полями Киллинга.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\,}$${\displaystyle \lambda .}$
• Киллинговые тензорные поля - это симметричные тензорные поля T такие, что бесследная часть симметризации обращается в нуль. Примеры многообразий с тензорами Киллинга включают вращающуюся черную дыру и космологию FRW . ^[6]${\displaystyle \nabla T\,}$
• Векторные поля Киллинга также могут быть определены на любом (возможно, неметрическом ) многообразии M, если мы возьмем любую группу Ли G, действующую на нем, вместо группы изометрий. ^[7] В этом более широком смысле векторное поле Киллинга является прямым инвариантным векторным полем на G действием группы. Если действие группы является эффективным, тем пространство киллинговой векторной полей изоморфно алгеброй Ли в  G .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

См. Также [ править ]

• Аффинное векторное поле
• Коллинеация кривизны
• Гомотетическое векторное поле
• Форма убийства
• Горизонт смерти
• Убийство спинора
• Коллинеация материи
• Симметрии пространства-времени

Ссылки [ править ]