В математике , эквивариантная когомологий (или Борель когомологий ) является теория когомологий из алгебраической топологии , которая применяется для топологических пространств с действием группы . Его можно рассматривать как общее обобщение групповых когомологий и обычной теории когомологий . В частности, кольцо эквивариантных когомологий пространства с действием топологической группы определяется как обычное кольцо когомологий с кольцом коэффициентовиз гомотопического фактора :
Если является единичной группой , это обычное кольцо когомологий из, тогда как если является сжимаемым , она сводится к кольцу когомологий классифицирующего пространства (т. е. групповые когомологии когда G конечна.) Если G действует на X свободно , то каноническое отображение является гомотопической эквивалентностью, и поэтому мы получаем:
Также можно определить эквивариантные когомологии из с коэффициентами в -модуль А ; это абелевы группы . Эта конструкция является аналогом когомологий с локальными коэффициентами.
Если X - многообразие, G - компактная группа Ли иполе действительных чисел или поле комплексных чисел (наиболее типичная ситуация), то указанные выше когомологии могут быть вычислены с использованием так называемой модели Картана (см. эквивариантные дифференциальные формы ).
Эту конструкцию не следует путать с другими теориями когомологий, такими как когомологии Бредона или когомологии инвариантных дифференциальных форм : если G - компактная группа Ли, то с помощью аргумента усреднения [ цитата необходима ] любая форма может быть сделана инвариантной; таким образом, когомологии инвариантных дифференциальных форм не дают новой информации.
Двойственность Кошуля, как известно, имеет место между эквивариантными когомологиями и обычными когомологиями.
Гомотопический фактор
Гомотопический фактор , называемый также Гомотопическое пространством орбит или Борель строительством , является «гомотопический правильной» версией пространства орбит (фактор своим -action), в котором сначала заменяется большим, но гомотопически эквивалентным пространством, так что действие гарантированно будет бесплатным .
Для этого построим универсальное расслоение EG → BG для G и напомним, что EG допускает свободное G- действие. Тогда произведение EG × X , гомотопически эквивалентное X, поскольку EG стягиваемо, допускает «диагональное» G- действие, определяемое формулой ( e , x ). g = ( например , g −1 x ): более того, это диагональное действие является бесплатным, поскольку оно свободно на EG . Таким образом, мы определяем гомотопический фактор X G как пространство орбит ( EG × X ) / G этого свободного G-действия .
Другими словами, гомотопический фактор - это ассоциированное X -расслоение над BG, полученное действием G на пространстве X и главном расслоении EG → BG . Это расслоение X → X G → BG называется борелевским расслоением .
Пример гомотопического фактора
Следующий пример - предложение 1 из [1] .
Пусть X - комплексная проективная алгебраическая кривая . Мы отождествляем X как топологическое пространство с множеством комплексных точек, которая является компактной римановой поверхностью . Пусть G - комплексная односвязная полупростая группа Ли. Тогда любое главное G -расслоение на X изоморфно тривиальному расслоению, поскольку классифицирующее пространство является 2-связным и X имеет вещественную размерность 2. Устранены некоторые гладкие G -расслоениена X . Тогда любое главное G- расслоение на изоморфен . Другими словами, наборвсех классов изоморфизма пар, состоящих из главного G- расслоения на X и комплексно-аналитической структуры на нем, можно отождествить с множеством комплексно-аналитических структур наили, что эквивалентно, множество голоморфных связностей на X (поскольку связи интегрируемы по причине размерности). является бесконечномерным комплексным аффинным пространством и поэтому стягиваемо.
Позволять - группа всех автоморфизмов (т. е. калибровочная группа .) Тогда гомотопический фактор группы от классифицирует комплексно-аналитические (или эквивалентно алгебраические) главные G -расслоения на X ; т.е. именно классифицирующее пространство дискретной группы .
Можно определить стек модулей главных расслоений как стек частных а затем гомотопический фактор это, по определению, гомотопический тип из.
Эквивариантные характеристические классы
Пусть Е быть эквивариантное векторное расслоение на А , G -многообразием M . Это приводит к векторному расслоению на гомотопический фактор так что он тянется обратно к пачке над . Эквивариантный характеристический класс E тогда является обычным характеристическим классом, который является элементом пополнения кольца когомологий . (Для применения теории Черна – Вейля используется конечномерная аппроксимация EG .)
В качестве альтернативы, можно сначала определить эквивариантный класс Черна, а затем определить другие характеристические классы как инвариантные полиномы классов Черна, как в обычном случае; например, эквивариантный класс Тодда эквивариантного линейного расслоения - это функция Тодда, вычисленная в эквивариантном первом классе Черна расслоения. (Эквивариантный класс Тодда линейного расслоения является степенным рядом (не полиномом, как в неэквивариантном случае) в эквивариантном первом классе Черна; следовательно, он принадлежит пополнению кольца эквивариантных когомологий.)
В неэквивариантном случае первый класс Черна можно рассматривать как биекцию между множеством всех классов изоморфизма комплексных линейных расслоений на многообразии M и[1] В эквивариантном случае это означает: эквивариантный первый Черн дает биекцию между множеством всех классов изоморфизма эквивариантных комплексных линейных расслоений и.
Теорема локализации
Теорема о локализации - один из самых мощных инструментов эквивариантных когомологий.
Смотрите также
Заметки
- ^ используя когомологии Чеха и изоморфизмзадано экспоненциальным отображением .
Рекомендации
- Атья, Майкл ; Ботт, Рауль (1984), «Отображение момента и эквивариантные когомологии», Топология , 23 : 1–28, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (84) 90021-1
- Мишель Брион, "Эквивариантные когомологии и эквивариантная теория пересечений" [2]
- Гореский, Марк ; Коттвиц, Роберт ; МакФерсон, Роберт (1998), "Эквивариантная когомология, кошу двойственность и теорема локализации", Inventiones Mathematicae , +131 : 25-83, CiteSeerX 10.1.1.42.6450 , DOI : 10.1007 / s002220050197 , S2CID +6006856
- Сян, Ву-И (1975). Теория когомологий топологических групп преобразований . Нью-Йорк: Спрингер.
- Ту, Лоринг В. (март 2011 г.). "Что такое ... Эквивариантные когомологии?" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 58 (3): 423–426.
дальнейшее чтение
- VW Guillemin и С. Штернберг. Суперсимметрия и эквивариантная теория де Рама. Springer-V erlag, Берлин, 1999 г.
- CM Вернь, Эквивалентная когомология и теория Стокса
Внешние ссылки
- Эквивариантные когомологии и модель Картана - отличная обзорная статья, описывающая основы теории и основные важные теоремы
- "Эквивариантные когомологии" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Янг-Хун Кием, Введение в эквивариантную теорию когомологий.
- Что такое эквивариантные когомологии группы, действующей на себя сопряжением?