Стек модулей основных расслоений

В алгебраической геометрии, заданной гладкой проективной кривой X над конечным полем и гладкой аффинной групповой схемой G над ней, стек модулей главных расслоений над X , обозначаемый , является алгебраическим стеком, задаваемым: ^[1] для любой -алгебры R ,${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {q}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Bun} _ {G} (X)}$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {q}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Bun} _ {G} (X) (R) =}$категория главных G -расслоений над относительной кривой .${\ displaystyle X \ times _ {\ mathbf {F} _ {q}} \ operatorname {Spec} R}$

В частности, категория -точек , то есть , есть категория G -расслоения над X .${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {q}}$${\ displaystyle \ operatorname {Bun} _ {G} (X)}$${\ displaystyle \ operatorname {Bun} _ {G} (X) (\ mathbf {F} _ {q})}$

Аналогичным образом также может быть определено, когда кривая X находится над полем комплексных чисел. Грубо говоря, в комплексном случае можно определить как фактор-стек пространства голоморфных связностей на X по калибровочной группе . Замена стеки фактора (который не является топологическим пространством) по гомотопическому фактору (который является топологическим пространством) дает гомотопический тип из .${\ displaystyle \ operatorname {Bun} _ {G} (X)}$${\ displaystyle \ operatorname {Bun} _ {G} (X)}$${\ displaystyle \ operatorname {Bun} _ {G} (X)}$

В случае конечного поля не принято определять гомотопический тип . Но до сих пор можно определить ( сглаживать ) когомологий и гомологии с .${\ displaystyle \ operatorname {Bun} _ {G} (X)}$${\ displaystyle \ operatorname {Bun} _ {G} (X)}$

Основные свойства [ править ]

Известно , что это гладкий стек размерности , где есть род X . Это не конечный тип, а локально конечный тип; таким образом, обычно используется стратификация открытыми подсеками конечного типа (см. стратификацию Хардера – Нарасимхана ). Если G - расщепляемая редуктивная группа, то набор связных компонент находится в естественной биекции с фундаментальной группой . ^[2]${\ displaystyle \ operatorname {Bun} _ {G} (X)}$${\ Displaystyle (г (Х) -1) \ тусклый G}$${\ displaystyle g (X)}$${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Bun} _{G}(X))}$${\displaystyle \pi _{1}(G)}$

Формула Атьи – Ботта [ править ]

Формула следа Беренда [ править ]

Это (гипотетическая) версия формулы следа Лефшца для когда Х представляет над конечным полем, введенных Берендами в 1993 году ^[3] Она гласит: ^[4] , если G является гладкой аффинными групповой схемой с полупростым связным общим слоем , потом${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=q^{\dim \operatorname {Bun} _{G}(X)}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|H^{*}(\operatorname {Bun} _{G}(X);\mathbb {Z} _{l}))}$

где (подробности см. также в формуле следа Беренда )

• л является простым числом , что не р и кольцо из Салических целых чисел рассматривается как подкольцу .${\displaystyle \mathbb {Z} _{l}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle \phi }$- геометрический Фробениус .
• ${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=\sum _{P}{1 \over \#\operatorname {Aut} (P)}}$, сумма, пробегающая все классы изоморфизма G-расслоений на X и сходящаяся.
• ${\displaystyle \operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{*})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{i})}$для градуированного векторного пространства при условии, что ряд справа абсолютно сходится.${\displaystyle V_{*}}$

Априори ни левая, ни правая часть формулы не сходится. Таким образом, формула утверждает, что две стороны сходятся к конечным числам и что эти числа совпадают.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дж. Хейнлот, Лекции о стеке модулей векторных расслоений на кривой , предварительная версия 2009 г.
• J. Heinloth, AHW Schmitt, Кольцо когомологий стека модулей основных расслоений над кривыми, препринт 2010 г., доступно по адресу http://www.uni-essen.de/~hm0002/ .
• Гайцгори, Д; Lurie, J .; Гипотеза Вейля для функциональных полей. 2014, [1]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Число Тамагавы для функциональных полей
• К. Зоргер, Лекции о модулях главных G-расслоений над алгебраическими кривыми.

См. Также [ править ]

• Геометрические гипотезы Ленглендса
• Пробежал пространство
• Стек модулей векторных расслоений