В математике алгебраический стек - это обширное обобщение алгебраических пространств или схем , которые являются основополагающими для изучения теории модулей . Многие пространства модулей построены с использованием методов, специфичных для алгебраических стеков, таких как теорема Артина о представимости , которая используется для построения пространства модулей точечных алгебраических кривых. и набор модулей эллиптических кривых . Первоначально они были введены Гротендиком [1] для отслеживания автоморфизмов на пространствах модулей, техника, которая позволяет рассматривать эти пространства модулей, как если бы их основные схемы или алгебраические пространства были гладкими . Но, благодаря множеству обобщений, Майкл Артин в конце концов открыл понятие алгебраических стеков . [2]
Определение
Мотивация
Одним из мотивирующих примеров алгебраического стека является рассмотрение группоидной схемы по фиксированной схеме . Например, если (где - групповая схема корней из единицы), , это карта проекции, это групповое действие
а также это карта умножения
на . Тогда, учитывая-схема , схема группоида образует группоид (где являются их ассоциированными функторами). Более того, эта конструкция функториальна наобразуя контравариантный 2-функтор
где является 2-категорией из малых категорий . Другой способ рассматривать это как расслоенную категорию через конструкцию Гротендика . Получение правильных технических условий, таких как топология Гротендика на, дает определение алгебраического стека. Например, в ассоциированном группоиде-баллы за поле , над объектом-источником есть группоид автоморфизмов . Обратите внимание, что для получения алгебраического стека из, а не просто стек, необходимы дополнительные технические гипотезы для . [3]
Алгебраические стеки
Оказывается, используя fppf-топологию [4] ( строго плоскую и локально конечного представления) на, обозначенный , формирует основу для определения алгебраических стеков. Тогда алгебраический стек [5] является расслоенной категорией
такой, что
- является категорией, расслоенной на группоиды , т. е. надкатегорией для некоторых группоид
- Диагональная карта слоистых категорий представима в виде алгебраических пространств
- Существует схема и ассоциированный 1-морфизм расслоенных категорий который является сюръективным и гладким, называемым атласом .
Разъяснение технических условий
Использование топологии fppf
Прежде всего, используется топология fppf, потому что она хорошо себя ведет в отношении спуска . Например, если есть схемы а также может быть уточнен до fppf-cover of , если плоский, локально конечный тип или локально конечного представления, то имеет это свойство. [6] этот вид идеи можно расширить, рассматривая свойства, локальные либо на цели, либо на источнике морфизма.. Для обложки мы говорим собственность является локальным в источнике, если
имеет тогда и только тогда, когда каждый имеет .
Для цели существует аналогичное понятие, называемое локальным для цели . Это означает, что прикрытие
имеет тогда и только тогда, когда каждый имеет .
Для топологии fppf погружение локально для цели. [7] В дополнение к предыдущим свойствам, локальным для источника топологии fppf,универсальная открытость также является локальной для источника. [8] Кроме того, будучи локальными, Нётериан и Якобсон локальны для источника и цели топологии fppf. [9] Это не выполняется в топологии fpqc, что делает ее не такой "красивой" с точки зрения технических свойств. Несмотря на то, что это так, использование алгебраических стеков поверх топологии fpqc все еще имеет свое применение, например, в теории хроматической гомотопии . Это потому, что стек модулей формальных групповых законов является fpqc-алгебраическим стеком [10] стр. 40 .
Представимая диагональ
По определению 1-морфизм категорий, расслоенных на группоиды, представимо алгебраическими пространствами [11] [12] [13], что означает, что существует алгебраическое пространство
такая, что связанная расслоенная категория [14] эквивалентно. Существует ряд эквивалентных условий представимости диагонали [15], которые помогают интуитивно понять это техническое условие, но одна из основных мотиваций заключается в следующем: для схемы и объекты связка представимо в виде алгебраического пространства. В частности, группа стабилизаторов для любой точки стекапредставимо в виде алгебраического пространства. Другой важной эквивалентностью представимой диагонали является техническое условие, что пересечение любых двух алгебраических пространств в алгебраическом стеке является алгебраическим пространством. Изменен с использованием продуктов из волокна
представимость диагонали равносильна представима для алгебраического пространства . Это потому, что данные морфизмы из алгебраических пространств они продолжаются до отображений с диагональной карты. Аналогичное утверждение существует для алгебраических пространств, которое дает представимость пучка накак алгебраическое пространство. [16]
Обратите внимание, что аналогичное условие представимости диагонали выполняется для некоторых формулировок более высоких стопок [17], где волокнистым продуктом является-стог для -куча .
Сюръективный и гладкий атлас
Лемма 2-Йонеды
Существование схема и 1-морфизм расслоенных категорий который является сюръективным и гладким, зависит от определения гладких и сюръективных морфизмов расслоенных категорий. Здесь является алгебраическим стеком из представимого функтора на повышен до категории, расслоенной на группоиды, где категории имеют только тривиальные морфизмы. Это означает, что набор
рассматривается как категория, обозначаемая , с объектами в в виде морфизмы
а морфизмы - это морфизм тождества. Следовательно
является 2-функтором группоидов. Показывать, что этот 2-функтор представляет собой пучок, является содержанием леммы 2-Йонеды . Используя конструкцию Гротендика, существует связанная категория, расслоенная на группоиды и обозначаемая.
Представимые морфизмы категорий, расслоенных на группоиды
Сказать этот морфизм гладко или сюръективно, мы должны ввести представимые морфизмы. [18] Морфизм категорий, расслоенных на группоиды над считается представимым, если задан объект в и объект 2-расслоенное произведение
представляется схемой. Тогда мы можем сказать, что морфизм категорий, расслоенных на группоидыявляется гладким и сюръективным, если ассоциированный морфизм
схем гладкая и сюръективная.
Стеки Делин-Мамфорд
Алгебраические стеки, также известные как стеки Артина , по определению снабжены гладким сюръективным атласом., где стек, связанный с некоторой схемой . Если атлас к тому же эталь, то называется стеком Делиня-Мамфорда . Подкласс стеков Делиня-Мамфорда полезен, потому что он обеспечивает правильную настройку для многих рассматриваемых естественных стеков, таких как стек модулей алгебраических кривых . Кроме того, они достаточно строги, чтобы объект, представленный точками в стеках Делиня-Мамфорда, не имел бесконечно малых автоморфизмов . Это очень важно, потому что бесконечно малые автоморфизмы очень затрудняют изучение теории деформации стеков Артина. Например, теория деформации стека Артина, стек модулей ранга векторных расслоений, имеет инфинитезимальные автоморфизмы, частично управляемые алгеброй Ли . Это приводит к бесконечной последовательности деформаций и препятствий в целом, что является одной из мотиваций для изучения модулей стабильных расслоений . Только в частном случае теории деформации линейных расслоений деформационно управляема, поскольку алгебра Ли абелева .
Обратите внимание, что многие стеки не могут быть естественно представлены как стеки Делиня-Мамфорда, потому что они допускают только конечные покрытия или алгебраические стеки с конечными покрытиями. Обратите внимание: поскольку каждое покрытие Etale является плоским и локально имеет конечное представление, алгебраические стеки, определенные с помощью топологии fppf, подпадают под эту теорию; но он по-прежнему полезен, поскольку многие стеки, встречающиеся в природе, имеют такую форму, например, модули кривых . Также дифференциально-геометрические аналоги таких стопок называются орбифолдами . Из условия Этале следует 2-функтор
посылая схему своей группе - торсоры можно представить в виде стека по топологии Etale, но стек Пикара из -торсоры (эквивалентно категория линейных пучков) не представима. Стеки этой формы могут быть представлены как стеки по топологии fppf. Другая причина для рассмотрения fppf-топологии по сравнению с этальной топологией - чрезмерная характеристика.последовательность куммерова
точна только как последовательность пучков fppf, но не как последовательность этальных пучков.
Определение алгебраических стеков по сравнению с другими топологиями
Использование других топологий Гротендика на дает альтернативные теории алгебраических стеков, которые либо недостаточно общие, либо плохо себя ведут в отношении обмена свойствами от основания покрытия до всего пространства покрытия. Полезно напомнить, что существует следующая иерархия обобщений.
больших топологий на .
Структурная связка
Структурный пучок алгебраического стека - это объект, вытянутый из универсального структурного пучка. на сайте . [19] Этот универсальный структурный пучок [20] определяется как
и связанный структурный пучок на категории, расслоенной на группоиды
определяется как
где происходит из карты топологий Гротендика. В частности, это означает лежит над , так , тогда . Для проверки работоспособности стоит сравнить это с категорией, расслоенной на группоиды, происходящие из-схема для различных топологий. [21] Например, если
является категорией, расслоенной на группоиды над , структурный пучок открытой подсхемы дает
Таким образом, это определение восстанавливает классический структурный пучок на схеме. Более того, для частного стека , структурный пучок просто дает -инвариантные разделы
для в . [22] [23]
Примеры
Классификация стопок
Многие классифицирующие стеки для алгебраических групп являются алгебраическими стеками. Фактически, для пространства алгебраической группы по схеме который является плоским конечного представления, стек является алгебраической [2] теоремой 6.1 .
Смотрите также
- Герб
- Чау-группа стека
- Когомологии стека
- Факторный стек
- Пучок на алгебраическом стеке
- Торический стек
- Критерий Артина
- Погоня за стеками
- Производная алгебраическая геометрия
Рекомендации
- ^ А'Кампо, Норберт; Цзи, Личжэнь; Пападопулос, Афанас (07.03.2016). «О построении Гротендиком пространства Тейхмюллера». arXiv : 1603.02229 [ math.GT ].
- ^ а б Артин, М. (1974). «Версальные деформации и алгебраические стеки» . Inventiones Mathematicae . 27 (3): 165–189. Bibcode : 1974InMat..27..165A . DOI : 10.1007 / bf01390174 . ISSN 0020-9910 . S2CID 122887093 .
- ^ «Раздел 92.16 (04T3): От алгебраического стека к презентации - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
- ^ «Раздел 34.7 (021L): Топология fppf - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
- ^ «Раздел 92.12 (026N): Алгебраические стеки - проект стеки» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
- ^ «Лемма 35.11.8 (06NB) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
- ^ «Раздел 35.21 (02YL): Свойства морфизмов, локальных в топологии fppf на целевом объекте - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
- ^ «Раздел 35.25 (036M): Свойства морфизмов, локальных в топологии fppf в источнике - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
- ^ «Раздел 35.13 (034B): Свойства схем, локальных в топологии fppf - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
- ^ Гёрсс, Пол. "Квазикогерентные пучки на стеке модулей формальных групп" (PDF) . Архивировано 29 августа 2020 года (PDF) .
- ^ {{Cite web | title = Раздел 92.9 (04SX): Морфизмы, представимые алгебраическими пространствами — Проект Stacks | url = https: //stacks.math.columbia.edu/tag/04SX%7Caccess-date=2020-0 \ mathrm {Sch} / U) _ {fppf} \ to \ mathcal {Y} , связанная категория, расслоенная на группоиды
можно представить в виде алгебраического пространства - ^ «Раздел 92.7 (04SU): Разделение категорий, расслоенных на группоиды - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 3 октября 2020 .
- ^ «Раздел 92.8 (02ZV): Категории, расслоенные на группоиды, представимые алгебраическими пространствами - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
- ^ это вложение, отправляющее набор в категорию объектов и только тождественные морфизмы. Затем конструкция Гротендика может быть применена для получения категории, расслоенной на группоиды
- ^ «Лемма 92.10.11 (045G) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
- ^ «Раздел 78.5 (046I): Начальная установка диагонали - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 29 августа 2020 .
- ^ Симпсон, Карлос (1996-09-17). «Алгебраические (геометрические) n -стека». arXiv : alg-geom / 9609014 .
- ^ «Раздел 92.6 (04ST): Представимые морфизмы категорий, расслоенных на группоиды - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 3 октября 2020 .
- ^ «Раздел 94.3 (06TI): Предварительные пучки - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 1 октября 2020 .
- ^ «Раздел 94.6 (06TU): Структурная связка - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 1 октября 2020 .
- ^ «Раздел 94.8 (076N): Представимые категории - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 1 октября 2020 .
- ^ «Лемма 94.13.2 (076S) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 1 октября 2020 .
- ^ «Раздел 76.12 (0440): Квазикогерентные пучки на группоидах - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 1 октября 2020 .
Внешние ссылки
Аксиомы Артина
- https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - Посмотрите на «Аксиомы» и «Алгебраические стеки».
- Алгебраизация Артина и стеки частных - Джарод Альпер
Статьи
- Альпер, Джарод (2009). «Справочник по литературе по алгебраическим стекам» (PDF) . S2CID 51803452 . Архивировано из оригинального (PDF) 13 февраля 2020 года. Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - Холл, Джек; Рид, Дэвид (2014). «Стек Гильберта» . Успехи в математике . 253 : 194–233. arXiv : 1011,5484 . DOI : 10.1016 / j.aim.2013.12.002 . S2CID 55936583 .
- Беренд, Кай А. (2003). «Производные ℓ-адические категории для алгебраических стеков» (PDF) . Мемуары Американского математического общества . 163 (774): 1–93. DOI : 10,1090 / мемо / 0774 . ISBN 978-1-4704-0372-0.
Приложения
- Лаффорг, Винсент (2014). «Введение в хитоуки для редуктивных групп и глобальную параметризацию Ленглендса». arXiv : 1404.6416 [ math.AG ].
- Deligne, P .; Рапопорт, М. (1973). "Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques". Модульные функции одной переменной II . Конспект лекций по математике. 349 . С. 143–316. DOI : 10.1007 / 978-3-540-37855-6_4 . ISBN 978-3-540-06558-6.
- Кнудсен, Финн Ф. (1983). "Проективность пространства модулей устойчивых кривых, II: Стеки M грамм , п {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}} " . Mathematica Scandinavica . 52 : 161. doi : 10.7146 / math.scand.a-12001 .
- Цзян, Юньфэн (2019). «О построении стека модулей проективных расслоений Хиггса над поверхностями». arXiv : 1911.00250 [ math.AG ].
Mathoverflow потоки
- Удовлетворяют ли алгебраические стеки спуску fpqc?
- Стеки в топологии fpqc
- fpqc крышки стеков
Другой
- Примеры стеков
- Заметки о топологиях Гротендика, расслоенных категориях и теории спуска
- Замечания об алгебраических стеках