Модули алгебраических кривых

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найти источники:  «Модули алгебраических кривых»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В алгебраической геометрии , А пространство модулей ( алгебраические ) кривых является геометрическим пространством ( как правило, схемы или алгебраическая стека ), точки которого представляют собой классы изоморфных алгебраических кривых . Таким образом, это частный случай пространства модулей . В зависимости от ограничений, применяемых к рассматриваемым классам алгебраических кривых, соответствующая проблема модулей и пространство модулей различаются. Также различают тонкие и грубые пространства модулей для одной и той же проблемы модулей.

Самая основная проблема - это вопрос о модулях гладких полных кривых фиксированного рода . Над полем из комплексных чисел они соответствуют точно компактных римановых поверхностей данного рода, для которых Бернхард Риман доказал первые результаты о пространствах модулей, в частности , их размеры ( «число параметров , от которых зависит комплексная структура»).

Наборы модулей устойчивых кривых [ править ]

Стек модулей классифицирует семейства гладких проективных кривых вместе с их изоморфизмами. Когда , этот стек может быть компактифицирован путем добавления новых «граничных» точек, которые соответствуют стабильным узловым кривым (вместе с их изоморфизмами). Кривая устойчива, если она полная, связная, не имеет особых точек, кроме двойных точек, и имеет только конечную группу автоморфизмов. Полученный стек обозначается . Оба стека модулей содержат универсальные семейства кривых.${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$${\ displaystyle g> 1}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g}}$

Обе стопки выше имеют размер ; следовательно, стабильная узловая кривая может быть полностью определена путем выбора значений параметров, когда . В нижнем роде необходимо учитывать наличие гладких семейств автоморфизмов, вычитая их количество. Существует ровно одна комплексная кривая рода нуль, сфера Римана, и ее группа изоморфизмов - это PGL (2). Следовательно, размерность равна${\ displaystyle 3g-3}$${\ displaystyle 3g-3}$${\ displaystyle g> 1}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ dim ({\ text {пространство кривых рода 0}}) - \ dim ({\ text {группа автоморфизмов}}) & = 0- \ dim (\ mathrm {PGL} (2)) \\ & = - 3. \ end {align}}}$

Точно так же в роде 1 существует одномерное пространство кривых, но каждая такая кривая имеет одномерную группу автоморфизмов. Следовательно, размер стека равен 0.${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1}}$

Конструкция и несводимость [ править ]

Это нетривиальная теорема, доказанная Пьера Делинь и Дэвид Мамфорд , ^[1] , что модули стек неприводим, то есть он не может быть выражен в виде объединения двух собственных substacks. Они доказывают это, анализируя локус из кривых стабильных в схеме Гильберта${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$${\ displaystyle H_ {g}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Hilb} _ {\ mathbb {P} ^ {5g-5-1}} ^ {P_ {g} (n)}}$

триканонически вложенных кривых (из вложения очень обильных для каждой кривой), которые имеют многочлен Гильберта (примечание: это можно вычислить с помощью теоремы Римана – Роха ). Затем стек${\ displaystyle \ omega _ {C} ^ {\ otimes 3}}$ ${\ Displaystyle P_ {g} (n) = (6n-1) (g-1)}$

${\ displaystyle [H_ {g} / \ mathrm {PGL} (5g-6)]}$

является конструкцией пространства модулей . Используя ^{раздел 1} теории деформации , Делинь и Мамфорд показывают, что этот стек гладкий, и используют стек${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$

${\displaystyle \mathrm {Isom} _{S}(C,C')}$

изоморфизмов между стабильными кривыми, чтобы показать, что имеет конечные стабилизаторы, следовательно, это стек Делиня – Мамфорда (названный в честь их статьи). Более того, они находят расслоение как ^{раздел 3}${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle H_{g}}$

${\displaystyle H_{g}^{o}\coprod H_{g,1}\coprod \cdots \coprod H_{g,n}}$,

где

• ${\displaystyle H_{g}^{o}}$ - подсхема гладких устойчивых кривых,
• ${\displaystyle H_{g,i}}$является неприводимой компонентой ,${\displaystyle S^{*}=H_{g}\setminus H_{g}^{o}}$

и проанализируйте компоненты (как фактор GIT ). Если бы существовало несколько компонентов , ни один из них не был бы полным. Кроме того, любой компонент должен содержать неособые кривые. Следовательно, особое геометрическое место связно, следовательно, оно содержится в единственном компоненте . Кроме того, поскольку каждый компонент пересекается , все компоненты должны содержаться в одном компоненте, следовательно, грубое пространство неприводимо. Из общей теории алгебраических стеков это означает, что фактор стека неприводим.${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}^{0}=H_{g}^{0}/\mathrm {PGL} (5g-6)}$${\displaystyle H_{g}^{o}}$${\displaystyle H_{g}}$${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle H_{g}}$${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle H_{g}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

Правильность [ править ]

Собственно или компактность для орбиобразий , следует из теоремы об уменьшении стабильного на кривых. ^[1] Это можно найти, используя теорему Гротендика о стабильной редукции абелевых многообразий и показывая ее эквивалентность стабильной редукции кривых. ^{[1] раздел 5.2}

Грубые пространства модулей [ править ]

Можно также рассматривать грубые пространства модулей, представляющие классы изоморфизма гладких или стабильных кривых. Эти грубые пространства модулей фактически изучались до того, как было введено понятие стека модулей. Фактически, идея стека модулей была введена Делинем и Мамфордом в попытке доказать проективность грубых пространств модулей. В последние годы стало очевидно, что набор кривых на самом деле является более фундаментальным объектом.

Грубые пространства модулей имеют ту же размерность, что и стеки, когда ; однако в роде 0 грубое пространство модулей имеет размерность ноль, а в роде один - размерность один.${\displaystyle g>1}$

Примеры пространств модулей низкого рода [ править ]

Род 0 [ править ]

Определение геометрии пространства модулей кривых рода может быть установлено с помощью теории деформации . Число модулей для кривой рода , например , дается группой когомологий${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle H^{1}(C,T_{C})}$

При двойственности Серра эта группа когомологий изоморфна

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,\omega _{C}\otimes T_{C}^{\vee })\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})\end{aligned}}}$

для дуализирующего пучка . Но использование Римана-Роха показывает, что степень канонического расслоения равна , поэтому степень является , следовательно, нет глобальных секций, что означает${\displaystyle \omega _{C}}$${\displaystyle -2}$${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 2}}$${\displaystyle -4}$

${\displaystyle H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$

показывающий отсутствие деформаций кривых рода . Это доказывает, что это всего лишь одна точка, и единственный род кривых равен . Единственный техническая сложность является группой автоморфизмов является алгебраической группой , которая rigidifies раза три очка ^[2] на фиксировано, поэтому большинство авторов берут в виде .${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,3}}$

Род 1 [ править ]

Случай рода 1 - один из первых хорошо изученных случаев пространств модулей, по крайней мере, над комплексными числами, потому что классы изоморфизма эллиптических кривых классифицируются J-инвариантом

${\displaystyle j:{\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }\to \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$

где . Топологически это просто аффинная линия, но ее можно компактифицировать в стек с лежащим в основе топологическим пространством , добавив стабильную кривую на бесконечности. Это эллиптическая кривая с одним острием. Строительство общего корпуса было первоначально завершено Делинем и Рапопортом . ^[3]${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }={\mathcal {M}}_{1,1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$

Обратите внимание, что большинство авторов рассматривают случай кривых рода один с одной отмеченной точкой как начало группы, поскольку в противном случае группа стабилизатора в гипотетическом пространстве модулей имела бы группу стабилизатора в точке, заданной кривой, поскольку эллиптические кривые имеют структуру абелевой группы . Это добавляет ненужной технической сложности к этому гипотетическому пространству модулей. С другой стороны, это гладкий стек Делиня – Мамфорда .${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$

Род 2 [ править ]

Пространство аффинных параметров [ править ]

В роде 2 это классический результат , что все такие кривые гиперэллиптическая , ^{[4] стр 298} , так что пространство модулей может быть определено полностью из ветви локуса кривой с использованием формулы Римана-Гурвица . Поскольку произвольная кривая рода 2 задается многочленом вида

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-a)(x-b)(x-c)}$

для некоторого однозначно определенного пространства параметров для таких кривых задается${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}\setminus (\Delta _{a,b}\cup \Delta _{a,c}\cup \Delta _{b,c}),}$

где соответствует локусу . ^[5]${\displaystyle \Delta _{i,j}}$${\displaystyle i\neq j}$

Взвешенное проективное пространство [ править ]

Используя весовое проективное пространство и формулу Римана – Гурвица , гиперэллиптическую кривую можно описать как многочлен вида ^[6]

${\displaystyle z^{2}=ax^{6}+bx^{5}y+cx^{4}y^{2}+dx^{3}y^{3}+ex^{2}y^{4}+fxy^{5}+gy^{6},}$

где параметры для разделов . Тогда геометрическое место участков, не содержащих тройного корня, будет содержать каждую кривую, представленную точкой .${\displaystyle a,\ldots ,f}$${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} (3,1),{\mathcal {O}}(g))}$${\displaystyle C}$${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{2}}$

Род 3 [ править ]

Это первое пространство модулей кривых, которое имеет как гиперэллиптическое, так и негиперэллиптическое геометрическое место. ^{[7] [8]} Все негиперэллиптические кривые задаются плоскими кривыми степени 4 (с использованием формулы степени родов ), которые параметризованы гладким множеством в схеме Гильберта гиперповерхностей

${\displaystyle \mathrm {Hilb} _{\mathbb {P} ^{2}}^{8t-4}\cong \mathbb {P} ^{{\binom {6}{4}}-1}}$.

Затем пространство модулей расслаивается подсеками

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{3}=[H_{2}/\mathrm {PGL} (3))]\coprod {\mathcal {M}}_{3}^{\mathrm {hyp} }}$.

Бирациональная геометрия [ править ]

Гипотеза об унирациональности [ править ]

Во всех предыдущих случаях пространства модулей могут быть найдены унирациональными , что означает, что существует доминирующий рациональный морфизм

${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}-->{\mathcal {M}}_{g}}$

и давно ожидалось, что это будет верно для всех родов. Фактически, Севери доказал, что это верно для поколений до . ^[9] Однако оказывается, что для рода ^{[10] [11] [12]} все такие пространства модулей имеют общий тип, то есть они не унирациональны. Они достигли этого, изучая размерность Кодаиры грубых пространств модулей.${\displaystyle 10}$${\displaystyle g\geq 23}$

${\displaystyle \kappa _{g}=\mathrm {Kod} ({\overline {\mathcal {M}}}_{g}),}$

и нашел для . В самом деле, для ,${\displaystyle \kappa _{g}>0}$${\displaystyle g\geq 23}$${\displaystyle g>23}$

${\displaystyle \kappa _{g}=3g-3=\dim({\mathcal {M}}_{g}),}$

и, следовательно, имеет общий тип.${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

Геометрическая импликация [ править ]

Это важно с геометрической точки зрения, поскольку подразумевает, что любая линейная система на линейчатом многообразии не может содержать универсальную кривую . ^[13]${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}}$

Стратификация границы ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$[ править ]

Пространство модулей имеет естественную стратификацию на границе , точки которой представляют кривые особого рода . ^[14] Он распадается на слои.${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$${\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=\coprod _{0\leq h\leq (g/2)}\Delta _{h}^{*}}$,

где

• ${\displaystyle \Delta _{h}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{h}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g-h}}$для .${\displaystyle 1\leq h<g/2}$
• ${\displaystyle \Delta _{0}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{g-1,2}/(\mathbb {Z} /2)}$ где действие переставляет две отмеченные точки.
• ${\displaystyle \Delta _{g/2}\cong ({\overline {\mathcal {M}}}_{g/2}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g/2})/(\mathbb {Z} /2)}$когда бы то ни было.${\displaystyle g}$

Кривые, лежащие выше этих локусов, соответствуют

• Пара кривых, соединенных двойной точкой.${\displaystyle C,C'}$
• Нормализации из рода кривой в одной двойной точке сингулярности.${\displaystyle g}$
• Пара кривых одного рода, соединенных в двойной точке с точностью до перестановки.

Стратификация ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}}$[ править ]

Для случая рода существует стратификация, заданная формулой${\displaystyle 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{2}&=\Delta _{0}^{*}\coprod \Delta _{1}^{*}\\&={\overline {\mathcal {M}}}_{1,2}/(\mathbb {Z} /2)\coprod ({\overline {\mathcal {M}}}_{1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{1})/(\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}$.

Дальнейший анализ этих стратов может быть использован для получения образующих кольца Чжоу ^{[14], предложение 9.1} .${\displaystyle A^{*}({\overline {\mathcal {M}}}_{2})}$

Модули отмеченных кривых [ править ]

Можно также обогатить проблему, рассматривая стек модулей узловых кривых рода g с n отмеченными точками, попарно различными и отличными от узлов. Такие отмеченные кривые называются устойчивыми, если подгруппа автоморфизмов кривых, фиксирующих отмеченные точки, конечна. Полученные наборы модулей гладких (или стабильных) кривых рода g с n отмеченными точками обозначаются (или ) и имеют размерность .${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$${\displaystyle 3g-3+n}$

Особый интерес представляет стек модулей кривых рода 1 с одной отмеченной точкой. Это стопка эллиптических кривых . Модульные формы уровня 1 - это участки линейных пучков в этом стеке, а модульные формы уровня N - это участки линейных пучков на стеке эллиптических кривых со структурой уровня N (примерно маркировка точек порядка N ).${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}$

Граничная геометрия [ править ]

Важным свойством компактифицированных пространств модулей является то, что их граница может быть описана в терминах пространств модулей для родов . Данной отмеченной стабильной узловой кривой можно связать ее дуальный граф , граф с вершинами, помеченными неотрицательными целыми числами и разрешенными петлями, множественными ребрами, а также пронумерованными полуребрами. Здесь вершины графа соответствуют неприводимым компонентам узловой кривой, разметка вершины - это арифметический род соответствующей компоненты, ребра соответствуют узлам кривой, а полуребра соответствуют разметкам. Замыкание геометрического места кривых с заданным двойственным графом в изоморфно${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'}}$${\displaystyle g'<g}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$стек-фактор произведения компактифицированных пространств модулей кривых на конечную группу. В произведении фактор, соответствующий вершине v, имеет род g _v, взятый из разметки, и количество меток, равное количеству исходящих ребер и полуребер в v . Общий род g - это сумма g _v плюс количество замкнутых циклов в графе.${\displaystyle \prod _{v}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}}$${\displaystyle n_{v}}$

Стабильные кривые, двойственный граф которых содержит вершину, помеченную знаком (следовательно, все остальные вершины имеют и граф является деревом), называются «рациональным хвостом», а их пространство модулей обозначается . Стабильные кривые, двойственный граф которых является деревом, называются «компактным типом» (поскольку якобиан компактен), а их пространство модулей обозначается . ^[2]${\displaystyle g_{v}=g}$${\displaystyle g_{v}=0}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {r.t.} }}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {c.} }}$

См. Также [ править ]

• Модули отмеченных кривых
• Гипотеза Виттена
• Тавтологическое кольцо
• Теорема Гротендика – Римана – Роха.

Ссылки [ править ]

Классические ссылки [ править ]

• Гротендик, Александр (1960–1961). "Методы построения в аналитической геометрии. I. Описание аксиоматики пространства Teichmüller et de ses variantes" (PDF) . Séminaire Henri Cartan . Париж. 13 (1). Выставки № 7 и 8.

• Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис Клэр (1994). Геометрическая теория инвариантов (3-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-56963-4. Руководство по ремонту  1304906 . OCLC  29184987 .
• Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода» (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75–109. CiteSeerX  10.1.1.589.288 . DOI : 10.1007 / bf02684599 . S2CID  16482150 .

Книги по модулям кривых [ править ]

• Харрис, Джо ; Моррисон, Ян (1998). Модули кривых . Springer Verlag . ISBN 978-0-387-98429-2.

• Кац, Николас М ; Мазур, Барри (1985). Арифметические модули эллиптических кривых . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08352-0.
• Геометрия алгебраических кривых, том II, Арбарелло Энрико, Корнальба Маурицио, Гриффитс Филлип при участии Джозефа Дэниела Харриса. Серия: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 268, 2011, XXX, 963с. 112 илл., 30 илл. в цвете.

Когомологии и теория пересечений [ править ]

• Звонкин, Дмитрий (2012). «Введение в пространства модулей кривых и теорию их пересечений». В Пападопулосе, Афанасе (ред.). Справочник по теории Тейхмюллера, Том III (PDF) . Цюрих, Швейцария: Издательство Европейского математического общества. С. 667–716. DOI : 10.4171 / 103-1 / 12 . ISBN 978-3-03719-103-3. MR  2952773 https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/sites/ifmaquette.ujf-grenoble.fr/files/ete2011-zvonkine.pdf . Отсутствует или пусто |title=( справка )
• Фабер, Карел; Пандхарипанде, Рахул (2013). Фаркас, Гаврил; Моррисон, Ян (ред.). Тавтологические и нетавтологические когомологии пространства модулей кривых (PDF) . Справочник модулей. Vol. Я . Дополнительные лекции по математике (ALM). 24 . Сомервилль, Массачусетс: Международная пресса. С. 293–330. ISBN 9781571462572. Руководство по ремонту  3184167 .

Внешние ссылки [ править ]

• «Топология и геометрия пространства модулей кривых»
• «Модули стабильных отображений, инварианты Громова-Виттена и квантовые когомологии»