Волокнистая категория

Волокнистые категории (или слоистые категории ) - это абстрактные объекты в математике, используемые для обеспечения общей основы теории происхождения . Они формализуют различные ситуации в геометрии и алгебры , в которой прообразы (или тянуть-спины ) объектов , таких как векторных расслоений могут быть определены. Например, для каждого топологического пространства существует категория векторных расслоений на пространстве, и для каждой непрерывной карты из топологического пространства X в другое топологическое пространство Y ассоциирован функтор обратного отсчетапринимая расслоения на Y для расслоений на X . Волокнистые категории формализуют систему, состоящую из этих категорий и функторов обратного образа. Подобные установки появляются в различных обличьях в математике, в частности в алгебраической геометрии , которая является контекстом, в котором первоначально появились расслоенные категории. Волокнистые категории используются для определения стеков , которые представляют собой расслоенные категории (по сайту) с «спуском». Слоения также играют важную роль в категориальной семантике теории типов и, в частности, теорий зависимых типов .

Категории волокон были введены Александром Гротендиком ( 1959 , 1971 ) и более подробно развиты Жаном Жиро ( 1964 , 1971 ).

Предпосылки и мотивация [ править ]

Есть много примеров в топологии и геометрии , где некоторые типы объектов , которые считаются существует на или выше или более некотором основном базовое пространство . Классические примеры включают векторные расслоения, главные расслоения и пучки над топологическими пространствами. Другой пример - «семейства» алгебраических многообразий, параметризованные другим многообразием. Типичным для этих ситуаций является то, что для подходящего типа карты f : X → Y между базовыми пространствами существует соответствующий прообраз (также называемыйвыдвижная назад ) операция е ^* принимать рассматриваемые объекты , определенные на Y к тому же типу объектов на X . Это действительно имеет место в приведенных выше примерах, например, прообраз векторного расслоения E на Y представляет собой векторное расслоение F ^* ( Е ) на Х .

Более того, часто бывает, что рассматриваемые «объекты на базовом пространстве» образуют категорию, или, другими словами, между ними есть карты ( морфизмы ). В таких случаях операция обратного изображения часто совместима с композицией этих карт между объектами или, говоря более техническим языком, является функтором . Опять же, это относится к примерам, перечисленным выше.

Однако часто бывает так, что если g : Y → Z - другая карта, функторы обратного изображения не строго совместимы с составными картами: если z - объект над Z (например, векторное расслоение), вполне может быть, что

{\ displaystyle f ^ {*} (g ^ {*} (z)) \ neq (g \ circ f) ^ {*} (z).}

Вместо этого эти прообразы изоморфны только естественным образом . Это введение некоторого "провисания" в систему обратных образов вызывает некоторые деликатные проблемы, и именно эту установку формализует волокнистые категории.

Основное применение расслоенных категорий - теория спуска , связанная с обширным обобщением методов «склеивания», используемых в топологии. Чтобы поддержать теорию спуска достаточной общности для применения в нетривиальных ситуациях в алгебраической геометрии, определение расслоенных категорий является довольно общим и абстрактным. Однако основная интуиция довольно проста, если иметь в виду основные примеры, рассмотренные выше.

Формальные определения [ править ]

Существует два по существу эквивалентных технических определения категорий волокон, оба из которых будут описаны ниже. Все обсуждения в этом разделе игнорируют теоретико-множественные вопросы, связанные с «большими» категориями. Обсуждение можно сделать полностью строгим, например, ограничив внимание небольшими категориями или используя вселенные .

Декартовы морфизмы и функторы [ править ]

Если φ: F → E является функтор между двумя категориями и S является объектом Е , то подкатегория из F , состоящая из тех объектов х , для которых φ ( х ) = S , и эти морфизмы м , удовлетворяющий ф ( т ) = идентификатор _S , называется категория волокна (или волокна ) над S , и обозначается F _S . Морфизмы F _S называются S-морфизмами., а для x , y объектов F _S множество S -морфизмов обозначается Hom _S ( x , y ). Изображение объекта или морфизма в F по φ называется его проекцией (по φ). Если f является морфизмом E , то те морфизмы F, которые проецируются на f , называются f-морфизмами , а множество f -морфизмов между объектами x и y в F обозначается Hom _f ( x, у ).

Морфизм m : x → y в F называется φ-декартовым (или просто декартовым ), если он удовлетворяет следующему условию:

если f : T → S - проекция m , и если n: z → y - f -морфизм, то существует ровно один T -морфизм a : z → x такой, что n = m ∘ a .

Декартовой морфизм т : х → у называется прообраз ее проекции F = φ ( м ); объект х называется прообразом из Y с помощью F .

Декартовы морфизмы категории волокна F _S являются точно изоморфизмами F _S . В общем, может быть более одного декартова морфизма, проецирующегося на данный морфизм f : T → S , возможно, имеющего разные источники; таким образом, может быть более одного прообраза данного объекта y в F _S посредством f . Тем не менее, это является прямым следствием определения , что два таких прообразы изоморфны в F _T .

Функтор φ: F → E также называется E-категории , или сказал , чтобы F в E -категории или категории по E . Е -функтор из Й -category ф: Р → Е к Й -category ф: G → E есть функтор & alpha ; : F → G такое , что ψ ∘ α = φ. E -категории естественным образом образуют 2-категорию , где 1-морфизмы являются E -функторами, а 2-морфизмы являются естественными преобразованиями междуE -функторы, компоненты которых лежат в каком-либо слое.

E -функтор между двумя Е -Категории называется декартовым функтор , если он принимает декартовы морфизмов в декартовых морфизмов. Декартовы функторы между двумя E -категориями F , G образуют категорию Cart _E ( F , G ) с естественными преобразованиями как морфизмами. Особый случай обеспечивается рассмотрением E как E- категории через тождественный функтор: тогда декартов функтор из E в E- категорию F называется декартовым сечением.. Таким образом, декартово секция состоит из выбора одного объекта х _S в F _S для каждого объекта S в E , и для каждого морфизма F : T → S выбор прообраз м _е : х _Т → х _S . Декартову раздел, таким образом, (строго) совместимая система обратных изображений над объектами E . Категория декартовых сечений F обозначается через

{\ displaystyle {\ underset {\ longleftarrow} {\ mathrm {Lim}}} (F / E) = \ mathrm {Cart} _ {E} (E, F).}

В важном случае , когда Е имеет терминальный объект е (таким образом , в частности , когда Е является топосом или категория Е _{/ S} из стрелок с целевой S в Е ) функтор

{\ displaystyle \ epsilon \ двоеточие {\ underset {\ longleftarrow} {\ mathrm {Lim}}} (F / E) \ to F_ {e}, \ qquad s \ mapsto s (e)}

является полностью верным (лемма 5.7 Жиро (1964)).

Волокнистые категории и разделенные категории [ править ]

Технически наиболее гибкое и экономичное определение расслоенных категорий основано на концепции декартовых морфизмов. Это эквивалентно определению в терминах расщеплений , последнее определение фактически является оригинальным, представленным в Grothendieck (1959); определение в терминах декартовых морфизмов было введено Гротендиком (1971) в 1960–1961 гг.

Е категория φ: F → E является расслаиваются категория (или расслаиваются Е-категория , или категория расслаивается над Е ) , если каждый морфизм F из Е , чьи кообласть находится в диапазоне проекции имеет , по меньшей мере , один прообраз, и , кроме того композиция m ∘ n любых двух декартовых морфизмов m , n в F всегда декартова. Другими словами, E -категория является расслоенной категорией, если прообразы всегда существуют (для морфизмов, содомены которых находятся в области проекции) и транзитивны .

Если E имеет терминальный объект e и если F расслоен над E , то функтор ε из декартовых сечений в F _e, определенный в конце предыдущего раздела, является эквивалентностью категорий и, более того, сюръективным для объектов.

Если F - расслоенная E -категория, всегда возможно для каждого морфизма f : T → S в E и каждого объекта y в F _S выбрать (используя аксиому выбора ) ровно один прообраз m : x → у . Выбранный таким образом класс морфизмов называется расщеплением, а выбранные морфизмы называются транспортными морфизмами (расщепления). Разделенная категория вместе с расщеплением называется разделенной категорией . Спайность называется нормализованной.если транспортные морфизмы включают в себя все тождества из F ; это означает, что прообразы тождественных морфизмов выбираются как тождественные морфизмы. Очевидно, если расщепление существует, его можно выбрать для нормализации; ниже мы будем рассматривать только нормированные сколы.

Выбор (нормированная) расщепления для расслоенного E -category F указывает, для каждого морфизма F : T → S в Е , А функтор F ^* : F _S → Р _Т : на объекты F ^* это просто прообраз самая соответствующий транспортный морфизм, а на морфизмах он естественным образом определяется определяющим универсальным свойством декартовых морфизмов. Операция, которая ставит в соответствие объекту S из E слоистую категорию F _S и морфизм fпрообраз функтор F ^* является почти контравариантным функтором из Й к категории категорий. Однако в целом он не коммутируется строго с композицией морфизмов. Вместо этого, если f : T → S и g : U → T - морфизмы в E , то существует изоморфизм функторов

{\ displaystyle c_ {f, g} \ двоеточие \ quad g ^ {*} f ^ {*} \ to (f \ circ g) ^ {*}.}

Эти изоморфизмы удовлетворяют следующим двум совместимости:

${\ displaystyle c_ {f, \ mathrm {id} _ {T}} = c _ {\ mathrm {id} _ {S}, f} = \ mathrm {id} _ {f ^ {*}}}$
для трех последовательных морфизмов и объекта выполняется следующее: ${\ displaystyle h, g, f \ двоеточие \ quad V \ to U \ to T \ to S}$ ${\ Displaystyle х \ в F_ {S}}$ ${\ Displaystyle c_ {е, g \ circ h} \ cdot c_ {g, h} (f ^ {*} (x)) = c_ {f \ circ g, h} (x) \ cdot h ^ {*} (c_ {f, g} (x)).}$

Можно показать (см. Grothendieck (1971) раздел 8), что, наоборот, любой набор функторов f ^* : F _S → F _T вместе с изоморфизмами c _{f, g,} удовлетворяющими указанным выше совместимости, определяет разделенную категорию. Эти коллекции функторов обратного изображения обеспечивают более интуитивное представление о слоистых категориях; и действительно, именно в терминах таких совместимых функторов обратного образа расслоенные категории были введены Гротендиком (1959).

В упомянутой ниже статье Грея проводится аналогия между этими идеями и понятием расслоения пространств.

Эти идеи упрощаются в случае группоидов , как показано в упомянутой ниже статье Брауна, которая получает полезное семейство точных последовательностей из расслоения группоидов.

Разделения и разделенные волокнистые категории [ править ]

(Нормализованное) расщепление, при котором композиция двух транспортных морфизмов всегда является транспортным морфизмом, называется расщеплением , а расслоенная категория с расщеплением называется расщепленной (расслоенной) категорией . В терминах функторов прообраза условие расщепления означает, что композиция функторов прообраза, соответствующих составным морфизмам f, g в E, равна функтору прообраза, соответствующему f ∘ g . Другими словами, все изоморфизмы совместимости c _{f, g} из предыдущего раздела являются тождествами для расщепленной категории. Таким образом, разделив E-категории в точности соответствуют истинным функторам из E в категорию категорий.

В отличие от расщеплений, не все категории волокон допускают расщепления. Пример см. Ниже .

Ко-декартовы морфизмы и ко-расслоенные категории [ править ]

Можно изменить направление стрелок в определениях выше, чтобы прийти к соответствующим концепциям совместных декартовых морфизмов, совместно расслоенных категорий и разделенных совместно-расслоенных категорий (или совместно-расщепленных категорий). Точнее, если φ: F → E - функтор, то морфизм m : x → y в F называется декартовым, если он декартов для противоположного функтора φ ^op : F ^op → E ^op . Тогда m также называется прямым образом, а y - прямым образом x дляf = φ ( m ). Совместно расслаиваются Е -category является Е -category таким образом, что прямое изображение существует для каждого морфизма в Е и что состав прямых изображений является прямым изображением. Совместно расщепления и совместное расщепление определяются аналогично, соответствующие прямые функторов изображений вместо обратных функторов изображения.

Свойства [ править ]

Две категории расслоенных категорий и разделенные категории [ править ]

Категории, расслоенные над фиксированной категорией E, образуют 2-категорию Fib ( E ), где категория морфизмов между двумя расслоенными категориями F и G определяется как категория Cart _E ( F , G ) декартовых функторов из F в G .

Точно так же разделенные категории над E образуют 2-категорию Scin ( E ) (от французского catégorie scindée ), где категория морфизмов между двумя разделенными категориями F и G является полной подкатегорией Scin _E ( F , G ) в E - функторы от F до G , состоящие из этих функторов , которые преобразуют каждый транспортный морфизм F в транспортном морфизм G . Каждый такой морфизм расщепленных E-категорий также является морфизмом E- волоконных категорий, т. Е. Scin_E ( F , G ) ⊂ Cart_E ( F , G ).

Существует естественный забывчивый 2-функтор i : Scin ( E ) → Fib ( E ), который просто забывает о расщеплении.

Существование эквивалентных разделенных категорий [ править ]

Хотя не все расслоенные категории допускают расщепление, каждая расслоенная категория фактически эквивалентна расщепленной категории. Действительно, существует две канонических способы построения эквивалентного раздвоения категории для данной категории расслоенных F над E . Точнее, забывчивый 2-функтор i : Scin ( E ) → Fib ( E ) допускает правый 2-сопряженный S и левый 2-сопряженный L (теоремы 2.4.2 и 2.4.4 Жиро 1971 г.) и S ( F ) и L ( F ) - две связанные категории разделения. Функторы присоединения S( F ) → F и F → L ( F ) являются декартовыми и эквивалентными ( там же ). Тем не менее, в то время как их состав S ( F ) → L ( Р ) является эквивалентностью (категорий, и действительно расслоенных категорий), это не в общем морфизм расщепленных категорий. Таким образом, эти две конструкции в целом различаются. Две предыдущие конструкции категорий разбиения используются критически при построении стека, связанного с расслоенной категорией (и, в частности, стека, связанного с предварительным стеком ).

Категории, расслоенные в группоиды [ править ]

С расслоенными категориями существует связанная конструкция, называемая категориями, расслоенными в группоидах. Они расслаиваются категории , такие , что любой подкатегории дается ${\ displaystyle p: {\ mathcal {F}} \ to {\ mathcal {C}}}$ ${\mathcal {F}}$

Исправить объект $c\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})$
Объекты подкатегории - это где $x\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}})$ $p(x)=c$
Стрелки даны такими, что $f:x\to y$ $p(f)={\text{id}}_{c}$

обозначается группоид . Ассоциированные 2-функторы из конструкции Гротендика являются примерами стеков . Короче говоря, ассоциированный функтор отправляет объект в категорию , а морфизм индуцирует функтор из расслоенной структуры категории. А именно, для объекта, рассматриваемого как объект , есть объект, где . Эта ассоциация дает функтор, который является функтором группоидов. ${\mathcal {F}}_{c}$ $F_{p}:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}$ $c$ ${\mathcal {F}}_{c}$ $d\to c$ $x\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}}_{c})$ ${\mathcal {F}}$ $y\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}})$ $p(y)=d$ ${\mathcal {F}}_{c}\to {\mathcal {F}}_{d}$

Примеры [ править ]

Волокнистые категории [ править ]

Функтор Ob : Cat → Set , отправляющий категорию своему набору объектов, является расслоением. Для множества S , волокно состоит из категорий С с Ob (С) = S . Декартовы стрелки являются полностью точными функторами.
Категории стрелок : Для любой категории Е категории стрелки А ( Е ) в Е имеют в качестве объектов Морфизмов в Е , и , как морфизмы коммутативных квадраты в Е (точнее, морфизм из ( F : X → T ) до ( g : Y → S ) состоит из морфизмов ( a : X → Y ) и ( b : T → S ) таких, что bf = ga ). Функтор, который направляет стрелку к своей цели, делает A (E ) в E- категорию; для объекта S из Й волокно Е _S является категория Е _{/ S} из S -Объекты в Е , т.е. стрелки в Е с целевой S . Декартовы морфизмы в A ( E ) - это в точности декартовы квадраты в E , поэтому A ( E ) расслоено над E именно тогда, когда в E существуют расслоенные произведения .
Пучки волокон : волокнистые продукты существуют в категории Top из топологических пространств и , таким образом , в предыдущем примере А ( Top ) расслаивается над Top . Если Fib - это полная подкатегория в A ( Top ), состоящая из стрелок, которые являются отображениями проекций расслоений , то Fib _S - категория расслоений на S, а Fib расслоено над Top . Выбор расщепления сводится к выбору обычных функторов обратного изображения (или обратного отклика) для пучков волокон.
Векторные расслоения : аналогично предыдущим примерам проекции ( p : V → S ) вещественных (комплексных) векторных расслоений на их базовые пространства образуют категорию Vect _R ( Vect _C ) над Top (морфизмы векторных расслоений относительно вектора пространственная структура волокон). Эта Top -категория также расслоена, а функторы обратного изображения являются обычными функторами обратного отсчета для векторных расслоений. Эти расслоенные категории являются (неполными) подкатегориями Fib .
Пучки на топологических пространствах : Функторы прообраза пучков превращают категории Sh ( S ) пучков на топологических пространствах S в (расщепленную) расслоенную категорию Sh над Top . Эту расслоенную категорию можно описать как полную подкатегорию A ( Top ), состоящую из эталевых пространств пучков. Как и в случае с векторными расслоениями, пучки групп и колец также образуют расслоенные категории Top .
Пучки на топосах : Если Е является топосом и S является объектом Е , категория Х _S из S -Объектов также топос, интерпретируемый как категория пучков на S . Если f : T → S - морфизм в E , функтор прообраза f ^* можно описать следующим образом: для пучка F на E _S и объекта p : U → T в E _T выполняется f^* F ( U ) = Hom_T ( U , f ^* F ) равно Hom_S ( f ∘ p , F ) = F ( U ). Это прообраз сделать категории E _S в разделенном расслаивается категории на E . Это может быть применено, в частности, к «большим» топосам TOP топологических пространств.
Квазикогерентные пучки на схемах . Квазикогерентные пучки образуют расслоенную категорию над категорией схем . Это один из мотивирующих примеров для определения расслоенных категорий.
Волокнистая категория, не допускающая расщепления : группу G можно рассматривать как категорию с одним объектом, а элементы G - как морфизмы, композиция морфизмов задается групповым законом. Гомоморфизм группы f : G → H можно тогда рассматривать как функтор, который превращает G в H- категорию. Можно проверить, что в этой установке все морфизмы в G декартовы; следовательно, G расслоена над H в точности тогда, когда f сюръективна. Расщепление в этих установках является (теоретико-множественным) разделом из Fкоторый коммутирует строго с композицией, или, другими словами, сечение f, которое также является гомоморфизмом. Но, как хорошо известно в теории групп , это не всегда возможно (можно взять проекцию в расширении нерасщепленной группы ).
Ко-расслоенная категория пучков : Функтор прямого образа пучков превращает категории пучков на топологических пространствах в ко-расслоенную категорию. Транзитивность прямого изображения показывает, что оно даже естественно совместно расщепляется.

Категория, расслоенная в группоидах [ править ]

Один из основных примеров категорий, расслоенных на группоиды, происходит от внутренних группоидов по отношению к категории . Итак, учитывая группоидный объект ${\mathcal {C}}$

$x{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}y$

есть связанный объект группоида

$h_{x}{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}$

в категории контравариантных функторов из вложения йонеды . Поскольку эта диаграмма, примененная к объекту, дает группоид, внутренний для множеств ${\underline {\text{Hom}}}({\mathcal {C}}^{op},{\text{Sets}})$ $z\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})$

$h_{x}(z){\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}(z)$

есть связанный небольшой группоид . Это дает контравариантный 2-функтор и, используя конструкцию Гротендика , дает категорию, расслоенную на группоиды над . Обратите внимание, что категория волокон над объектом - это просто связанный группоид из исходного группоида в наборах. ${\mathcal {G}}$ $F:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}$ ${\mathcal {C}}$

Групповой фактор [ править ]

Учитывая групповой объект, действующий на объект из , существует связанный объект группоида $G$ $X$ $a:G\to {\text{Aut}}(X)$

$G\times X{\underset {t}{\overset {s}{\rightrightarrows }}}{}X$

где есть проекция на и представляет собой композицию на карте . Этот группоид дает индуцированную категорию, расслоенную на обозначенные группоиды . $s:G\times X\to X$ $X$ $t:G\times X\to X$ $G\times X\xrightarrow {\left(a,{\text{id}}\right)} {\text{Aut}}(X)\times X\xrightarrow {(f,x)\mapsto f(x)} X$ $p:[X/G]\to {\mathcal {C}}$

См. Также [ править ]

Строительство Гротендика
Стек (математика)
Критерий Артина

Ссылки [ править ]

Жиро, Жан (1964). "Méthode de la descente". Mémoires de la Société Mathématique de France . 2 : viii + 150.

Жиро, Жан (1971). «Cohomologie non abélienne». Springer . ISBN 3-540-05307-7. Cite journal requires |journal= (help)
Гротендик, Александр (1959). "Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. I. Généralités. Descente par morphismes fidèlement plats". Séminaire Bourbaki . 5 (Exposé 190): viii + 150.
Грей, Джон У. (1966). «Категории волоконно-волокнистых». Proc. Конф. Категориальная алгебра (Ла-Хойя, Калифорния, 1965) . Springer Verlag. С. 21–83.
Браун Р., "Расслоения группоидов", J. Algebra 15 (1970) 103–132.
Гротендик, Александр (1971). "Catégories fibrées et descente". Реветментэс и фундаментальная группа . Springer Verlag. С. 145–194. arXiv : math / 0206203 . Bibcode : 2002math ...... 6203G .
Бенабу, Жан (1985). «Волокнистые категории и основы наивной теории категорий» . Журнал символической логики . 50 (1): 10–37. DOI : 10.2307 / 2273784 . JSTOR 2273784 .
Джейкобс, Барт (1999). Категориальная логика и теория типов . Исследования по логике и основам математики 141. Северная Голландия, Эльзевир. ISBN 0-444-50170-3.

Анджело Вистоли, Заметки о топологиях Гротендика, расслоенных категориях и теории спуска , arXiv: math.AG/0412512 .
Fibred Categories à la Bénabou , Thomas Streicher
Введение в расслоения, теорию топосов, эффективные топосы и скромные множества , Уэсли Фоа
Р. Браун и Р. Сивера, "Вычисления алгебраических копределов в теории гомотопий с использованием расслоенных и ко-волоконных категорий" , Теория и приложения категорий , 22 (2009) 222–251.
Р. Браун, П. Дж. Хиггинс, Р. Сивера, "Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические омега-группоиды", Европейское математическое общество, трактаты по математике, Vol. 15, ISBN 978-3-03719-083-8 . [1] .

Внешние ссылки [ править ]

SGA 1.VI - Категории волокон и происхождение - страницы 119-153
Расслоение Гротендика в nLab