Торсор (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии для гладкой алгебраической группы G , G -торсора или главного G- расслоения P над схемой X называется схема (или даже алгебраическое пространство ) с действием группы G , локально тривиальным в данной топологии Гротендика в в том смысле, что замена базы вдоль «некоторого» накрывающего отображения является тривиальным торсором ( G действует только на второй фактор). ^[1] Эквивалентно G -торсор P на X является${\ displaystyle Y \ times _ {X} P}$${\ displaystyle Y \ to X}$${\ displaystyle Y \ times G \ to Y}$главное однородное пространство для групповой схемы (т. е. действует просто транзитивно на .)${\ displaystyle G_ {X} = X \ times G}$${\ displaystyle G_ {X}}$${\ displaystyle P}$

Определение может быть сформулировано на теоретико- пучковом языке: пучок P в категории X -схем с некоторой топологией Гротендика является G -торсором, если в топологии существует покрытие , называемое локальной тривиализацией, такое, что ограничение P для каждого тривиального -торсора.${\ displaystyle \ {U_ {i} \ to X \}}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle G_ {U_ {i}}}$

Линейное расслоение - это не что иное, как -расслоение, и, как и линейное расслоение, две точки зрения торсоров, геометрическая и теоретико-связочная, используются взаимозаменяемо (разрешая P быть стеком, подобным алгебраическому пространству, если необходимо ^{[2 ]} ).${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$

Обычно торсор рассматривается не только для групповой схемы, но в более общем смысле для группового пучка (например, для группового пучка fppf).

Примеры и основные свойства [ править ]

Примеры

• Торсор на X является главным расслоением на X .${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n}}$
• Если является конечным расширением Галуа , то является -торсором (примерно потому, что группа Галуа действует просто транзитивно на корнях). Этот факт является основой для спуска Галуа . Смотрите интегральное расширение для обобщения.${\ displaystyle L / K}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} L \ to \ operatorname {Spec} K}$${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (L / K)}$

Замечание: G -торсор P над X изоморфен тривиальному торсору тогда и только тогда, когда он непуст. (Доказательство: если есть , то это изоморфизм.)${\displaystyle P(X)=\operatorname {Mor} (X,P)}$${\displaystyle s:X\to P}$${\displaystyle X\times G\to P,(x,g)\mapsto s(x)g}$

Пусть P - G -торсор с локальной тривиализацией в этальной топологии. Тривиальный торсор допускает сечение: значит, есть элементы . Закрепление таких секций , мы можем написать однозначно на с . Различные варианты выбора количества 1-кограниц в когомологиях; то есть определить класс когомологий в группе когомологий пучка (точнее, когомологий Чеха с коэффициентом пучка) . ^[3] Единичному элементу соответствует тривиальный торсор. Наоборот, легко увидеть, что любой класс в определяет G -торсор на X , единственный с точностью до изоморфизма.${\displaystyle \{U_{i}\to X\}}$${\displaystyle s_{i}\in P(U_{i})}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{i}g_{ij}=s_{j}}$${\displaystyle U_{ij}}$${\displaystyle g_{ij}\in G(U_{ij})}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle H^{1}(X,G)}$${\displaystyle H^{1}(X,G)}$

Если G - связная алгебраическая группа над конечным полем , то любое G- расслоение над тривиально. ( Теорема Лэнга .)${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$

Сокращение структурной группы [ править ]

Большинство конструкций и терминологии, относящиеся к основным расслоениям в алгебраической топологии, дословно переносятся на G- расслоения. Например, если есть G -расслоение и G действует слева на схеме F , то можно сформировать ассоциированное расслоение со слоем F . В частности, если Н является замкнутой подгруппой группы G , то для любого H -расслоения P , является G -расслоение называется индуцированное расслоение .${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle P\times ^{G}F\to X}$${\displaystyle P\times ^{H}G}$

Если Р является G -расслоение, изоморфная индуцированного расслоения для некоторого H -расслоения Р» , то Р называется допускает снижение структурной группы от G до H .${\displaystyle P'\times ^{H}G}$

Пусть X - гладкая проективная кривая над алгебраически замкнутым полем k , G - полупростая алгебраическая группа и P - G- расслоение на относительной кривой , R - конечно порожденная k -алгебра. Тогда теорема Дринфельда и Симпсон утверждает , что, если G односвязен и раскол , есть этальна морфизм такой , что допускает уменьшение структурной группы к подгруппам Борель группы G . ^{[4] [5]}${\displaystyle X_{R}=X\times _{\operatorname {Spec} k}\operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle R\to R'}$${\displaystyle P\times _{X_{R}}X_{R'}}$

Инварианты [ править ]

Если P параболическая подгруппа гладкой аффинной групповой схемы G с связными слоями, то степень его неустойчивости, обозначаемых , является степень ее алгебры Ли в качестве векторного расслоения на X . Тогда степень неустойчивости G равна . Если G является алгебраической группой , и Е является G - торсором, то степень неустойчивости Е является степенью внутренней формы из G , индуцированной Е (который является групповой схемой над X ); то есть . E называется полустабильным${\displaystyle \operatorname {deg} _{i}(P)}$${\displaystyle \operatorname {Lie} (P)}$${\displaystyle \operatorname {deg} _{i}(G)=\max\{\operatorname {deg} _{i}(P)|P\subset G{\text{ parabolic subgroups}}\}}$ ${\displaystyle {}^{E}G=\operatorname {Aut} _{G}(E)}$${\displaystyle \operatorname {deg} _{i}(E)=\operatorname {deg} _{i}({}^{E}G)}$если и стабильно если .${\displaystyle \operatorname {deg} _{i}(E)\leq 0}$${\displaystyle \operatorname {deg} _{i}(E)<0}$

См. Также [ править ]

• Теорема Бовиля – Ласло
• Стек модулей основных расслоений

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Беренд, К. Формула следа Лефшеца для стека модулей основных пучков. Кандидатская диссертация.
• Беренд, Кай; Конрад, Брайан; Эдидин, Дан; Фултон, Уильям; Фантечи, Барбара; Гётче, Лотар; Креш, Эндрю (2006), Алгебраические стеки , архивировано из оригинала 05.05.2008.
• Милн, Джеймс С. (1980), Étale cohomology , Princeton Mathematical Series, 33 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7, Руководство по ремонту  0559531

Дальнейшее чтение [ править ]

• Брайан Конрад, [ http://math.stanford.edu/~conrad/papers/cosetfinite.pdf Теоремы конечности для алгебраических групп над функциональными полями]