Групповой функтор

В математике групповой функтор - это групповой функтор в категории коммутативных колец. Хотя его обычно рассматривают как обобщение групповой схемы , само понятие не включает в себя теорию схем . Из-за этой особенности некоторые авторы, особенно Уотерхаус и Милн (которые следовали за Уотерхаусом) ^[1], развивают теорию групповых схем, основанную на понятии группового функтора вместо теории схем.

Формальная группа , как правило , определяется как особый вид групповой функтора.

Групповой функтор как обобщение групповой схемы

Схема может рассматриваться как контравариантный функтор из категории из S -схем к категории множеств , удовлетворяющим склейки аксиомы ; перспектива, известная как функтор точек . С этой точки зрения групповая схема является контравариантным функтором из категории групп, которая является пучком Зарисского (т. Е. Удовлетворяет аксиоме склейки для топологии Зарисского).${\ displaystyle {\ mathsf {Sch}} _ {S}}$${\ displaystyle {\ mathsf {Sch}} _ {S}}$

Например, если Γ - конечная группа, то рассмотрим функтор, который отправляет Spec ( R ) множеству локально постоянных функций на ней. ^{[ требуется пояснение ]} Например, схема группы

${\ displaystyle SL_ {2} = \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {Z} [a, b, c, d]} {(ad-bc-1)}} \ right)}$

можно описать как функтор

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},-\right)}$

Если взять, например, кольцо , то${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}SL_{2}(\mathbb {C} )&=\operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},\mathbb {C} \right)\\&\cong \left\{{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {C} ):ad-bc=1\right\}\end{aligned}}}$

Групповая связка

Полезно рассмотреть групповой функтор, учитывающий топологию (если таковая имеется) базовой категории; а именно, тот, который является пучком, и групповой функтор, который является пучком, называется групповым пучком. Это понятие появляется, в частности, при обсуждении торсора (где выбор топологии является важным вопросом).

Например, p -делимая группа является примером группового пучка fppf (группового пучка относительно топологии fppf). ^[2]

Смотрите также

• функтор группы автоморфизмов

Примечания

использованная литература

• Уотерхаус, Уильям (1979), Введение в аффинные групповые схемы , Тексты для выпускников по математике, 66 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-6217-6 , ISBN 978-0-387-90421-4, Руководство по ремонту  0547117