В математике , то склейка аксиома вводится для определения , какой пучок на топологическом пространстве должен удовлетворять, учитывая, что это предпучок , который по определению является контравариантным функтором
в категорию который изначально считается категорией множеств . Здесьэто частичный порядок из открытых множеств изупорядоченные по включению карты ; и рассматривается как категория стандартным образом, с уникальным морфизмом
если является подмножеством из, и никак иначе.
Как сформулировано в пучке статьи, существует определенная аксиома,должны удовлетворять, для любой открытой крышки открытого набора. Например, для открытых множеств а также с союзом и пересечение , необходимое условие состоит в том, чтобы
- это подмножество С равным изображением в
Говоря менее формальным языком, раздел из над одинаково хорошо задается парой секций: на а также соответственно, которые «соглашаются» в том смысле, что а также иметь общий образ в при соответствующих ограничительных картах
а также
- .
Первое серьезное препятствие в теории пучков состоит в том, чтобы увидеть, что эта аксиома склеивания или исправления является правильной абстракцией от обычной идеи в геометрических ситуациях. Например, векторное поле - это сечение касательного расслоения на гладком многообразии ; это говорит о том, что векторное поле на объединении двух открытых множеств является (не больше и не меньше) векторными полями на двух множествах, которые совпадают в местах их перекрытия.
Учитывая это базовое понимание, в теории есть и другие вопросы, и некоторые из них будут рассмотрены здесь. Другое направление - это топология Гротендика , и еще одно - логический статус «локального существования» (см. Семантику Крипке – Джояла ).
Снятие ограничений на C
Перефразируя это определение так, чтобы оно работало в любой категории который имеет достаточную структуру, отметим, что мы можем записать объекты и морфизмы, задействованные в приведенном выше определении, на диаграмме, которую мы назовем (G) для «склейки»:
Здесь первая карта является продуктом карт ограничений
и каждая пара стрелок представляет два ограничения
а также
- .
Стоит отметить, что эти карты исчерпывают все возможные карты ограничений среди , то , а .
Условие для быть связкой - это именно то, что это предел диаграммы. Это подсказывает правильную форму аксиомы склеивания:
- Предпучка является пучком, если для любого открытого множества и любой сборник открытых наборов чей союз , является пределом диаграммы (G) выше.
Один из способов понять аксиому склеивания - заметить, что «неприменение» to (G) дает следующую диаграмму:
Здесь является копредел этой диаграммы. Аксиома склейки гласит, что превращает копределы таких диаграмм в пределы.
Связки на основе открытых наборов
В некоторых категориях можно построить связку, указав только некоторые ее части. В частности, пустьбыть топологическим пространством с базисом . Мы можем определить категорию O ′ ( X ) как полную подкатегорию чьими объектами являются . Б-пучок на со значениями в контравариантный функтор
которое удовлетворяет аксиоме склейки для множеств из . То есть на выборе открытых наборов, задает все секции связки, а на других открытых наборах она не определена.
B-пучки эквивалентны пучкам (т. Е. Категория пучков эквивалентна категории B-пучков). [1] Явно связка наможно ограничить до B-пучка. В обратном направлении, учитывая B-связку мы должны определить разделы на других объектах . Для этого учтите, что для каждого открытого набора, мы можем найти коллекцию чей союз . Категорически говоря, такой выбор делает копредел полной подкатегории чьи объекты . С контравариантно, определим быть предел изотносительно ограничительных отображений. (Здесь мы должны предположить, что этот предел существует в.) Если - базовое открытое множество, то является конечным объектом указанной выше подкатегории , и поэтому . Следовательно, расширяет в предпучку на . Можно проверить, что является связкой, по сути, потому что каждый элемент каждого открытого покрытия является объединением базисных элементов (по определению базиса), и каждое попарное пересечение элементов в открытом покрытии представляет собой объединение базисных элементов (опять же по определению базиса).
Логика C
Первые потребности теории пучков были связаны с пучками абелевых групп ; так что принимая категориюпоскольку категория абелевых групп была естественной. В приложениях к геометрии, например комплексных многообразиях и алгебраической геометрии , идея пучка локальных колец является центральной. Однако это не совсем то же самое; говорят вместо локально окольцованного пространства , потому что неверно, за исключением банальных случаев, что такой пучок является функтором в категорию локальных колец . Именно стебли пучка являются локальными кольцами, а не совокупности секций (которые являются кольцами , но в целом не близки к локальным ). Мы можем думать о локально окольцованном пространстве как параметризованное семейство локальных колец, в зависимости от в .
Более внимательное обсуждение здесь развеивает любую загадку. Можно свободно говорить о пучке абелевых групп или колец, потому что это алгебраические структуры (определяемые, если кто-то настаивает, явной сигнатурой ). Любая категорияналичие конечных продуктов поддерживает идею группового объекта , который некоторые предпочитают просто называть группой в . В случае такой чисто алгебраической структуры мы можем говорить либо о пучке, имеющем значения в категории абелевых групп, либо об абелевой группе в категории пучков множеств ; это действительно не имеет значения.
В случае с локальным кольцом это имеет значение. На базовом уровне мы должны использовать второй стиль определения, чтобы описать, что означает локальное кольцо в категории. Это логичный вопрос: аксиомы для локального кольца требуют использования экзистенциальной квантификации в форме, которая для любого в ринге, один из а также является обратимым . Это позволяет указать, каким должно быть «локальное кольцо в категории» в случае, если категория поддерживает достаточную структуру.
Связка
Чтобы повернуть данный предварительный пучок в пучок , есть стандартное устройство, называемое связкой или шкиванием . Грубая интуиция того, что нужно делать, по крайней мере, для предварительного пучка наборов, состоит в том, чтобы ввести отношение эквивалентности, которое делает эквивалентные данные, предоставляемые разными покрытиями на перекрытиях, путем уточнения покрытий. Поэтому один подход должны пойти на стебли и восстановить пучок пространства в наилучшем пучку произведено из .
Такое использование языка убедительно указывает на то, что мы имеем дело с присоединенными функторами . Поэтому имеет смысл заметить, что пучки наобразуют полную подкатегорию предварительных пучков на. Здесь подразумевается утверждение, что морфизм пучков - это не что иное, как естественное преобразование пучков, рассматриваемых как функторы. Таким образом, мы получаем абстрактную характеристику пучков, сопряженных с включением слева . В некоторых приложениях, естественно, требуется описание.
Говоря более абстрактным языком, связки на формируют отражающую подкатегорию из предпучков (Mac Lane- Moerdijk пучков в геометрии и логики стр. 86). В теории топоса для топологии Ловера – Тирни и ее пучков есть аналогичный результат (там же, стр. 227).
Другие аксиомы склеивания
Аксиома склейки теории пучков довольно общая. Можно отметить , что Майер-Виторис аксиома из гомотопической теории , например, представляет собой особый случай.
Смотрите также
- Схемы склеивания
Заметки
- ^ Вакил, Математика 216: Основы алгебраической геометрии , 2.7.
Рекомендации
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Algébrique Éléments de géométrie: I. Le langage des schémas" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . DOI : 10.1007 / bf02684778 . Руководство по ремонту 0217083 .