В математике , А алгебра Ли (произносится / л я / «Ли») представляет собой векторное пространство вместе с операцией, называемой скобкой Ли , альтернированное билинейное отображение , удовлетворяющий тождеству Якоби . [a] Векторное пространствовместе с этой операцией является неассоциативной алгеброй , что означает, что скобка Ли не обязательно ассоциативна .
Алгебры Ли тесно связаны с группами Ли , которые являются группами , которые также гладкие многообразия : любая группа Ли приводит к алгебре Ли, которая является его касательным пространством в единице. Наоборот, любой конечномерной алгебре Ли над действительными или комплексными числами существует соответствующая связная группа Ли, единственная с точностью до конечных покрытий ( третья теорема Ли ). Это соответствие позволяет изучать структуру и классификацию групп Ли в терминах алгебр Ли.
В физике группы Ли появляются как группы симметрии физических систем, и их алгебры Ли (касательные векторы, близкие к единице) могут рассматриваться как бесконечно малые движения симметрии. Таким образом, алгебры Ли и их представления широко используются в физике, особенно в квантовой механике и физике элементарных частиц.
Элементарный пример - пространство трехмерных векторов с операцией скобки, определенной перекрестным произведением Это кососимметрично, поскольку , и вместо ассоциативности он удовлетворяет тождеству Якоби:
Это алгебра Ли группы Ли вращений пространства , и каждый векторможно представить как бесконечно малое вращение вокруг оси v со скоростью, равной величине v . Скобка Ли - это мера некоммутативности между двумя вращениями: поскольку вращение коммутирует само с собой, у нас есть свойство альтернированности.
История
Алгебры Ли были введены для изучения концепции бесконечно малых преобразований по Marius Софус Ли в 1870 - х годах, [1] и независимо друг от друга обнаружили Киллинг [2] в 1880 - х годах. Название « алгебра Ли» было дано Германом Вейлем в 1930-х годах; в более старых текстах используется термин бесконечно малая группа .
Определения
Определение алгебры Ли
Алгебра Ли - это векторное пространство над некоторым полем F вместе с бинарной операцией называется скобкой Ли, удовлетворяющей следующим аксиомам: [b]
- для всех скаляров a , b в F и всех элементов x , y , z в .
- для всех х в .
- для всех x , y , z в .
Использование билинейности для расширения скобки Ли и с помощью альтернативности показывает, что для всех элементов x , y в, показывая, что билинейность и альтернативность вместе означают
- для всех элементов x , y в . Если поле в характерном не 2 , то антикоммутативность предполагает альтернативность, так как это означает ,[3]
Алгебру Ли принято обозначать строчной буквой fraktur, такой как. Если алгебра Ли связана с группой Ли , то эта алгебра обозначается фрактурной версией группы: например, алгебра Ли группы SU ( n ) является.
Генераторы и измерение
Элементы алгебры Ли говорят, что порождают его, если наименьшая подалгебра, содержащая эти элементы, являетсясам. Размерность алгебры Ли является ее размерность как векторное пространство над F . Мощность минимального порождающего множества алгебры Ли всегда меньше или равна ее размерности.
См. Классификацию низкоразмерных вещественных алгебр Ли для других небольших примеров.
Подалгебры, идеалы и гомоморфизмы
Скобка Ли не обязательно должна быть ассоциативной , а это означает, что не обязательно равняться . Однако он гибкий . Тем не менее, большая часть терминологии ассоциативных колец и алгебр обычно применяется к алгебрам Ли. Подалгебра Ли является подпространствомкоторая замкнута относительно скобки Ли. идеал подалгебра, удовлетворяющая более сильному условию: [4]
Гомоморфизм алгебр Ли - это линейное отображение, согласованное с соответствующими скобками Ли:
Что касается ассоциативных колец, то идеалы - это в точности ядра гомоморфизмов; учитывая алгебру Ли и идеал в нем строится фактор-алгебра или фактор-алгебра , и первая теорема об изоморфизме верна для алгебр Ли.
Поскольку скобка Ли является своего рода инфинитезимальным коммутатором соответствующей группы Ли, мы говорим, что два элемента коммутируют, если их скобка исчезает:.
Централизатор подалгебра подмножества- это набор элементов, коммутирующих с S : то есть. Централизаторсам по себе центр . Аналогичным образом , для подпространства S , то нормализатор подалгебра S является. [5] Эквивалентно, если S - подалгебра Ли, самая большая подалгебра такая, что это идеал .
Примеры
Для , коммутатор двух элементов
показывает подалгебра, но не идеал. Фактически, каждое одномерное линейное подпространство алгебры Ли имеет индуцированную абелеву структуру алгебры Ли, которая, вообще говоря, не является идеалом. Для любой простой алгебры Ли все абелевы алгебры Ли никогда не могут быть идеалами.
Прямая сумма и полупрямой продукт
Для двух алгебр Ли а также , их алгебра Ли прямой суммы - векторное пространствосостоящий из всех пар , с операцией
так что копии ездить друг с другом: Позволять - алгебра Ли и идеал . Если каноническая карта разбивает (т.е. допускает секцию), то Говорят , чтобы быть Полупрямое продукт из а также , . См. Также полупрямую сумму алгебр Ли .
Теорема Леви утверждает, что конечномерная алгебра Ли является полупрямым произведением своего радикала и дополнительной подалгебры ( подалгебры Леви ).
Производные
Вывод на алгебре Ли(или на любой неассоциативной алгебре ) является линейным отображением который подчиняется закону Лейбница , то есть
для всех . Внутреннее дифференцирование , связанное с любым сопряженное отображение определяется . (Это вывод как следствие тождества Якоби.) Внешние выводы - это выводы, которые не происходят из присоединенного представления алгебры Ли. Еслиявляется полупростом , каждое дифференцирование является внутренним.
Выводы образуют векторное пространство , которая является подалгеброй Ли в ; скоба коммутаторная. Внутренние дифференцирования образуют подалгебру Ли в.
Примеры
Например, для идеала алгебры Ли присоединенное представление из действует как внешние производные на поскольку для любой а также . Для алгебры Ли верхнетреугольных матриц в , у него есть идеал строго верхнетреугольных матриц (где только ненулевые элементы находятся над диагональю матрицы). Например, коммутатор элементов в а также дает
показывает, что существуют внешние производные от в .
Расщепленная алгебра Ли
Пусть V - конечномерное векторное пространство над полем F , алгебра Ли линейных преобразований и подалгебра Ли. потомназывается расщепляемым, если корни характеристических многочленов всех линейных преобразований изнаходятся в базовом поле F . [6] В более общем смысле, конечномерная алгебра Линазывается расщепляемой, если в ней есть подалгебра Картана, образ которой при присоединенном представлении является расщепляемой алгеброй Ли. Сплит вещественная форма комплексной полупростой алгебры Ли (см #Real формы и комплексификация ) является примером разделенной алгебры Ли реальной. См. Также расщепленную алгебру Ли для получения дополнительной информации.
Основа векторного пространства
Для практических вычислений часто бывает удобно выбрать явный базис в векторном пространстве алгебры. Общая конструкция для этой основы схематично представлена в константах структуры изделия .
Определение с использованием теоретико-категориальной нотации
Хотя приведенных выше определений достаточно для традиционного понимания алгебр Ли, как только это будет понято, можно будет получить дополнительное понимание, используя обозначения, общие для теории категорий , то есть путем определения алгебры Ли в терминах линейных отображений, т. Е. Морфизмов в категории векторных пространств -Без с учетом отдельных элементов. (В этом разделе предполагается , что поле, над которым определяется алгебра, имеет характеристику, отличную от двух.)
Для теоретико-категориального определения алгебр Ли необходимы два изоморфизма сплетения. Если A - векторное пространство, изоморфизм перестановки определяется
Циклическая перестановка-оплетка определяется как
где - тождественный морфизм. Эквивалентно, определяется
В этих обозначениях алгебру Ли можно определить как объект в категории векторных пространств вместе с морфизмом
который удовлетворяет двум равенствам морфизмов
а также
Примеры
Векторные пространства
Любое векторное пространство с тождественно нулевой скобкой Ли становится алгеброй Ли. Такие алгебры Ли называются абелевыми , ср. ниже. Любая одномерная алгебра Ли над полем абелева в силу альтернированности скобки Ли.
Ассоциативная алгебра с коммутаторной скобкой
- Об ассоциативной алгебре над полем с умножением , скобка Ли может быть определена коммутатором . С помощью этой скобкиявляется алгеброй Ли. [7] Ассоциативная алгебра A называется обертывающей алгеброй алгебры Ли.. Каждую алгебру Ли можно вложить в алгебру, возникающую таким образом из ассоциативной алгебры; см. универсальную обертывающую алгебру .
- Ассоциативная алгебра эндоморфизмов в качестве F -векторных пространства с указанной скобкой Ли обозначается .
- Для конечномерного векторного пространства , предыдущий пример становится алгеброй Ли n × n матриц, обозначаемой или же , [8] со скобкой, где обозначает матричное умножение. Это алгебра Ли общей линейной группы , состоящей из обратимых матриц.
Специальные матрицы
Две важные подалгебры в находятся:
- Матрицы нулевого следа образуют специальную линейную алгебру Ли , алгебра Ли специальной линейной группы . [9]
- В косоэрмитах матриц образуют унитарную алгебру Ли, алгебра Ли унитарной группы U ( n ).
Матричные алгебры Ли
Комплексная матричная группа - это группа Ли, состоящая из матриц,, где умножение G - это умножение матриц. Соответствующая алгебра Ли- пространство матриц, являющихся касательными векторами к G внутри линейного пространства: он состоит из производных гладких кривых в G в единице:
Скобка Ли задается коммутатором матриц, . Учитывая алгебру Ли, можно восстановить группу Ли как образ матричного экспоненциального отображения определяется , сходящаяся для любой матрицы : это, .
Ниже приведены примеры алгебр Ли матричных групп Ли: [10]
- Специальная линейная группа , состоящую из всех матриц размера n × n с определителем 1. Ее алгебра Лисостоит из всех матриц размера n × n с комплексными элементами и следом 0. Аналогично можно определить соответствующую вещественную группу Ли и ее алгебра Ли .
- Унитарная группа состоит из унитарных матриц размера n × n (удовлетворяющих). Его алгебра Ли состоит из кососамосопряженных матриц ().
- Специальная ортогональная группа , состоящих из вещественных ортогональных матриц с определителем единица). Его алгебра Ли состоит из вещественных кососимметричных матриц (). Полная ортогональная группа, без условия определитель-единица, состоит из и отдельный компонент связности, поэтому он имеет ту же алгебру Ли, что и. Точно так же можно определить сложную версию этой группы и алгебры, просто разрешив сложные матричные элементы.
Два измерения
- На любом поле существует с точностью до изоморфизма единственная двумерная неабелева алгебра Ли. Для образующих x, y его скобка определяется как. Он генерирует аффинную группу в одном измерении .
- Это можно реализовать с помощью матриц:
С
для любого натурального числа и любой , видно, что полученные элементы группы Ли являются верхнетреугольными матрицами 2 × 2 с единичной нижней диагональю:
Три измерения
- Алгебра Гейзенберга - трехмерная алгебра Ли, порожденная элементами x , y и z со скобками Ли
- .
- Оно реализовано как пространство строго верхнетреугольных матриц 3 × 3 с коммутаторной скобкой Ли:
- Таким образом, любой элемент группы Гейзенберга можно представить как произведение образующих групп, т. Е. Матричных экспонент этих образующих алгебры Ли,
- Алгебра Ли группы SO (3) натянута на три матрицы [11]
- Коммутационные соотношения между этими генераторами следующие:
- Трехмерное евклидово пространствос кронштейном Ли , заданным поперечному продуктом из векторов имеют те же коммутационные соотношения, что и выше: таким образом, она изоморфна . Эта алгебра Ли унитарно эквивалентна обычным операторам спиновой (физической) компоненты углового момента для частиц со спином 1 в квантовой механике .
Бесконечные измерения
- Важный класс бесконечномерных вещественных алгебр Ли возникает в дифференциальной топологии . Пространство гладких векторных полей на дифференцируемом многообразии M образует алгебру Ли, где скобка Ли определяется как коммутатор векторных полей . Одним из способов выражения скобки Ли является формализм производных Ли , который отождествляет векторное поле X с оператором в частных производных L X первого порядка, действующим на гладкие функции, позволяя L X ( f ) быть производной по направлению функции f в направление X . Скобка Ли [ X , Y ] двух векторных полей - это векторное поле, определяемое своим действием на функции по формуле:
- Алгебры Каца – Муди - это большой класс бесконечномерных алгебр Ли, структура которых очень похожа на конечномерные случаи, приведенные выше.
- Moyal алгебра является бесконечномерной алгеброй Ли , которая содержит все классические алгебры Ли как подалгебры.
- Алгебра Вирасоро имеет первостепенное значение в теории струн .
Представления
Определения
Для векторного пространства V пустьобозначим алгебру Ли , состоящую из всех линейных эндоморфизмов из V , с кронштейном , заданной. Представление алгебры Лина V - гомоморфизм алгебр Ли
Представление называется точным, если его ядро равно нулю. Теорема Адо [12] утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли имеет точное представление в конечномерном векторном пространстве.
Присоединенное представительство
Для любой алгебры Ли , мы можем определить представление
дано ; это представление в векторном пространственазывается присоединенным представлением .
Цели теории представлений
Одним из важных аспектов изучения алгебр Ли (особенно полупростых алгебр Ли) является изучение их представлений. (Действительно, большинство книг, перечисленных в разделе ссылок, посвящают значительную часть своих страниц теории представлений.) Хотя теорема Адо является важным результатом, основная цель теории представлений не состоит в том, чтобы найти точное представление данной алгебры Ли.. Действительно, в полупростом случае присоединенное представление уже точное. Скорее цель состоит в том, чтобы понять все возможные представления, с точностью до естественного понятия эквивалентности. В полупростом случае над полем нулевой характеристики теорема Вейля [13] утверждает, что каждое конечномерное представление является прямой суммой неприводимых представлений (тех, которые не имеют нетривиальных инвариантных подпространств). Неприводимые представления, в свою очередь, классифицируются теоремой старшего веса .
Теория представлений в физике
Теория представлений алгебр Ли играет важную роль в различных разделах теоретической физики. Там рассматриваются операторы в пространстве состояний, удовлетворяющие определенным естественным коммутационным соотношениям. Эти коммутационные соотношения обычно возникают из-за симметрии задачи - в частности, они являются соотношениями алгебры Ли соответствующей группы симметрии. Примером могут служить операторы углового момента , коммутационные соотношения которых аналогичны отношениям алгебры Лигруппы вращений SO (3) . Обычно пространство состояний очень далеко от того, чтобы быть неприводимым под действием соответствующих операторов, но можно попытаться разложить его на неприводимые части. При этом нужно знать неприводимые представления данной алгебры Ли. Например, при изучении квантового атома водорода в учебниках по квантовой механике дается (не называя это так) классификация неприводимых представлений алгебры Ли..
Теория строения и классификация
Алгебры Ли можно до некоторой степени классифицировать. В частности, это имеет приложение к классификации групп Ли.
Абелева, нильпотентная и разрешимая
Аналогично абелевым, нильпотентным и разрешимым группам, определенным в терминах производных подгрупп, можно определить абелевы, нильпотентные и разрешимые алгебры Ли.
Алгебра Ли является абелевойесли скобка Ли обращается в нуль, т.е. [ x , y ] = 0, для всех x и y в. Абелевы алгебры Ли соответствуют коммутативным (или абелевым ) связным группам Ли, таким как векторные пространстваили тори , и все имеют вид имеется в виду n -мерное векторное пространство с тривиальной скобкой Ли.
Более общий класс алгебр Ли определяется обращением в нуль всех коммутаторов данной длины. Алгебра Лиявляется нильпотентной , если нижний центральный ряд
в конце концов становится равным нулю. По теореме Энгеля алгебра Ли нильпотентна тогда и только тогда, когда для каждого u изсопряженный Эндоморфизм
нильпотентен.
В более общем смысле алгебра Ли называется разрешимым, если производный ряд :
в конце концов становится равным нулю.
Каждая конечномерная алгебра Ли имеет единственный максимальный разрешимый идеал, называемый ее радикалом . При лиевском соответствии нильпотентные (соответственно разрешимые) связные группы Ли соответствуют нильпотентным (соответственно разрешимым) алгебрам Ли.
Простой и полупростой
Алгебра Ли « проста », если она не имеет нетривиальных идеалов и не является абелевой. (То есть одномерная - обязательно абелева - алгебра Ли по определению непроста, даже если в ней нет нетривиальных идеалов.) Алгебра Линазывается полупростым, если он изоморфен прямой сумме простых алгебр. Есть несколько эквивалентных характеризаций полупростых алгебр, таких как отсутствие ненулевых разрешимых идеалов.
Понятие полупростоты алгебр Ли тесно связано с полной сводимостью (полупростотой) их представлений. Когда основное поле F имеет нулевую характеристику , любое конечномерное представление полупростой алгебры Ли является полупростым (т. Е. Прямой суммой неприводимых представлений). В общем случае алгебра Ли называется редуктивной, если присоединенное представление полупросто. Таким образом, полупростая алгебра Ли редуктивна.
Критерий Картана
Критерий Картана дает условия для того, чтобы алгебра Ли была нильпотентной, разрешимой или полупростой. Он основан на понятии формы Киллинга , симметричной билинейной формы на определяется формулой
где tr обозначает след линейного оператора . Алгебра Липолупросто тогда и только тогда, когда форма Киллинга невырождена . Алгебра Ли разрешимо тогда и только тогда, когда
Классификация
Разложение Леви выражает произвольную алгебру Ли как полупрямая сумма из ее разрешимого радикала и полупростая алгебра Ли, почти каноническим образом. (Такое разложение существует для конечномерной алгебры Ли над полем характеристики нуль. [14] ) Более того, полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем полностью классифицированы по их корневым системам .
Отношение к группам Ли
Хотя алгебры Ли часто изучаются сами по себе, исторически они возникли как средство изучения групп Ли .
Кратко опишем связь между группами Ли и алгебрами Ли. Любая группа Ли порождает канонически детерминированную алгебру Ли (конкретно касательное пространство в единице ). Наоборот, для любой конечномерной алгебры Ли, существует соответствующая связная группа Ли с алгеброй Ли . Это третья теорема Ли ; см. формулу Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа . Эта группа Ли не определена однозначно; однако любые две группы Ли с одной и той же алгеброй Ли локально изоморфны и, в частности, имеют одно и то же универсальное покрытие . Например, специальная ортогональная группа SO (3) и специальная унитарная группа SU (2) порождают одну и ту же алгебру Ли, которая изоморфна с кросс-произведением, но SU (2) является односвязным двумерным покрытием SO (3).
Однако, если мы рассматриваем односвязные группы Ли, мы имеем взаимно однозначное соответствие: для каждой (конечномерной вещественной) алгебры Ли, существует единственная односвязная группа Ли с алгеброй Ли .
Соответствие между алгебрами Ли и группами Ли используется несколькими способами, включая классификацию групп Ли и связанный с этим вопрос теории представлений групп Ли. Каждое представление алгебры Ли однозначно поднимается до представления соответствующей связной односвязной группы Ли, и, наоборот, каждое представление любой группы Ли индуцирует представление алгебры Ли группы; представления находятся во взаимно однозначном соответствии. Следовательно, знание представлений алгебры Ли решает вопрос о представлениях группы.
Что касается классификации, можно показать, что любая связная группа Ли с данной алгеброй Ли изоморфна универсальному покрытию по модулю дискретной центральной подгруппы. Таким образом, классификация групп Ли становится просто вопросом подсчета дискретных подгрупп центра , если классификация алгебр Ли известна (решена Картаном и др. В полупростом случае).
Если алгебра Ли бесконечномерна, проблема более тонкая. Во многих случаях экспоненциальное отображение даже не является локально гомеоморфизмом (например, в Diff ( S 1 ) можно найти диффеоморфизмы, сколь угодно близкие к тождеству, которых нет в образе exp). Более того, некоторые бесконечномерные алгебры Ли не являются алгеброй Ли какой-либо группы.
Реальная форма и сложность
Для комплексной алгебры Ли , действительная алгебра Ли Говорят , чтобы быть реальной формой изесли комплексификация изоморфен . [15] Реальная форма не обязательно должна быть уникальной; Например, имеет две реальные формы а также . [15]
Для полупростой конечномерной комплексной алгебры Ли , его расщепленная форма - это реальная форма, которая расщепляется; т. е. он имеет подалгебру Картана, которая действует через присоединенное представление с действительными собственными значениями. Расщепленная форма существует и единственна (с точностью до изоморфизмов). [15] компактная форма реальная форма, алгебра Ли компактной группы Ли. Компактная форма существует и также уникальна. [15]
Алгебра Ли с дополнительными структурами
Алгебру Ли можно снабдить некоторыми дополнительными структурами, которые считаются совместимыми со скобкой. Например, градуированная алгебра Ли - это алгебра Ли с градуированной структурой векторного пространства. Если он также идет с дифференциалом (так что лежащее в основе градуированное векторное пространство является цепным комплексом ), то оно называется дифференциальной градуированной алгеброй Ли .
Симплициальная алгебра Ли является симплициальным объектом в категории алгебр Ли; другими словами, он получается заменой основного набора симплициальным набором (так что его лучше рассматривать как семейство алгебр Ли).
Кольцо лжи
Кольцо Ли возникает как обобщение алгебр Ли, или через изучение нижнего центрального ряда из групп . Кольцо Ли определяется как неассоциативное кольцо с антикоммутативным умножением, удовлетворяющим тождеству Якоби . Более конкретно, мы можем определить кольцо Либыть абелевой группой с операцией обладающий следующими свойствами:
- Билинейность:
- для всех х , у , г ∈ L .
- Тождество Якоби :
- для всех х , у , г в L .
- Для всех x в L :
Кольца Ли не обязательно должны быть добавляемыми группами Ли . Любая алгебра Ли является примером кольца Ли. Любое ассоциативное кольцо можно превратить в кольцо Ли, задав скобочный оператор. Обратно любой алгебре Ли существует соответствующее кольцо, называемое универсальной обертывающей алгеброй .
Кольца Ли используются при изучении конечных p-групп через соответствие Лазара . Нижние центральные факторы в р -группа является конечной абелев р -группой, так модулей над Z / р Z . Прямая сумма нижних центральных факторов задает структуру кольца Ли, определяя скобку как коммутатор двух представителей смежного класса. Структура кольца Ли обогащена другим гомоморфизмом модулей, отображением степени p , что делает ассоциированное кольцо Ли так называемым ограниченным кольцом Ли.
Кольца Ли также полезны при определении p-адических аналитических групп и их эндоморфизмов при изучении алгебр Ли над кольцами целых чисел, таких как целые p-адические числа . Определение конечных групп лиева типа из-за Шевалле включает ограничение от алгебры Ли над комплексными числами до алгебры Ли над целыми числами, а затем сокращение по модулю p, чтобы получить алгебру Ли над конечным полем.
Примеры
- Любая алгебра Ли над общим кольцом вместо поля является примером кольца Ли. Кольца Ли не являются присоединяемыми группами Ли , несмотря на название.
- Любое ассоциативное кольцо можно превратить в кольцо Ли, задав скобочный оператор
- В качестве примера кольца Ли, возникающего из изучения групп , пусть быть группой с операцию коммутатора, и пусть быть центральной серией в - это коммутаторная подгруппа содержится в для любой . потом
- является кольцом Ли со сложением, обеспечиваемым групповой операцией (которая является абелевой в каждой однородной части), а операция скобки задается формулой
- продлен линейно. Центральность серии гарантирует, что коммутатор придает скобке соответствующие теоретические свойства Ли.
Смотрите также
|
|
Замечания
- ^ Скобки [,] обозначают билинейную операцию «×»; часто это коммутатор : [ x , y ] = x y - y x для ассоциативного произведения в том же векторном пространстве. Но не обязательно!
- ^ Бурбаки (1989 , раздел 2) допускает в более общем случае модуль над коммутативным кольцом ; в этой статье это называется кольцом Ли .
Рекомендации
- ^ О'Коннор и Робертсон 2000
- ^ О'Коннор и Робертсон 2005
- Перейти ↑ Humphreys 1978 , p. 1
- ^ В силу антикоммутативности коммутатора понятия левого и правого идеала в алгебре Ли совпадают.
- ^ Якобсон 1962 , стр. 28 год
- ^ Якобсон 1962 , стр. 42
- ↑ Бурбаки 1989 , §1.2. Пример 1.
- ↑ Бурбаки 1989 , §1.2. Пример 2.
- Перейти ↑ Humphreys 1978 , p. 2
- ^ Холл 2015 , §3.4
- ^ Холл 2015 , Пример 3.27
- ^ Якобсон 1962 , гл. VI
- ^ Холл 2015 , теорема 10.9
- ^ Якобсон 1962 , гл. III, § 9.
- ^ а б в г Фултон и Харрис 1991 , §26.1.
Источники
- Бельтицэ, Даниэль (2006). Гладкие однородные структуры в теории операторов . Монографии и обзоры CRC по чистой и прикладной математике. 137 . CRC Press. ISBN 978-1-4200-3480-6. Руководство по ремонту 2188389 .
- Боза, Луис; Fedriani, Eugenio M .; Нуньес, Хуан (01.06.2001). «Новый метод классификации комплексных филиформных алгебр Ли». Прикладная математика и вычисления . 121 (2–3): 169–175. DOI : 10.1016 / s0096-3003 (99) 00270-2 . ISSN 0096-3003 .
- Бурбаки, Николас (1989). Группы Ли и алгебры Ли: главы 1-3 . Springer. ISBN 978-3-540-64242-8.
- Эрдманн, Карин и Вильдон, Марк. Введение в алгебры Ли , 1-е издание, Springer, 2006 г. ISBN 1-84628-040-0
- Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту 1153249 . OCLC 246650103 .
- Холл, Брайан К. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для выпускников по математике. 222 (2-е изд.). Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-319-13467-3 . ISBN 978-3319134666. ISSN 0072-5285 .
- Hofmann, Karl H .; Моррис, Сидней А (2007). Теория Ли связных пролиевых групп . Европейское математическое общество. ISBN 978-3-03719-032-6.
- Хамфрис, Джеймс Э. (1978). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для выпускников по математике. 9 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7.
- Джейкобсон, Натан (1979) [1962]. Алгебры Ли . Дувр. ISBN 978-0-486-63832-4.
- Кац, Виктор Г .; и другие. Примечания к курсу для MIT 18.745: Введение в алгебры Ли . Архивировано 20 апреля 2010 года.CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )
- Мубаракзянов Г.М. (1963). «О разрешимых алгебрах Ли» . Изв. Выс. Учеб. Завед. Математика . 1 (32): 114–123. Руководство по ремонту 0153714 . Zbl 0166.04104 .
- О'Коннор, Джей Джей ; Робертсон, EF (2000). «Биография Софуса Ли» . Архив истории математики MacTutor.
- О'Коннор, Джей Джей; Робертсон, EF (2005). «Биография Вильгельма Киллинга» . Архив истории математики MacTutor.
- Попович, РО; Бойко ВМ; Нестеренко, М.О .; Лутфуллин, МВт; и другие. (2003). «Реализации вещественных алгебр Ли малой размерности». J. Phys. A: Математика. Gen . 36 (26): 7337–60. arXiv : math-ph / 0301029 . Bibcode : 2003JPhA ... 36.7337P . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 36/26/309 . S2CID 9800361 .
- Серр, Жан-Пьер (2006). Алгебры Ли и группы Ли (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-55008-2.
- Стиб, Вилли-Ханс (2007). Непрерывные симметрии, алгебры Ли, дифференциальные уравнения и компьютерная алгебра (2-е изд.). World Scientific. DOI : 10,1142 / 6515 . ISBN 978-981-270-809-0. Руководство по ремонту 2382250 .
- Варадараджан, Вееравалли С. (2004). Группы Ли, алгебры Ли и их представления (1-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-90969-1.
Внешние ссылки
- "Алгебра Ли" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Маккензи, Дуглас (2015). "Элементарное введение в алгебры Ли для физиков" .