В математике , более конкретно в полилинейной алгебре , переменная полилинейная карта - это полилинейное отображение со всеми аргументами, принадлежащими одному и тому же векторному пространству (например, билинейная форма или полилинейная форма ), которая равна нулю, когда любая пара аргументов равна. В более общем смысле векторное пространство может быть модулем над коммутативным кольцом .
Понятие чередования (или чередования ) используется для получения чередующейся полилинейной карты из любой полилинейной карты со всеми аргументами, принадлежащими одному и тому же пространству.
Определение
Полилинейная карта формы называется альтернированным, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
- всякий раз, когда существует такой, что тогда . [1] [2]
- всякий раз, когда существует такой, что тогда . [1] [3]
- если являются линейно зависимыми , то.
Пример
- В алгебре Ли , то скобка Ли является перемежающейся билинейной картой.
- Определитель матрицы является полилинейным переменным отображением строк или столбцов матрицы.
Характеристики
- Если любой компонент x i чередующейся полилинейной карты заменяется на x i + cx j для любых j ≠ i и c в базовом кольце R , то значение этой карты не изменяется. [3]
- Всякое чередующееся полилинейное отображение антисимметрично. [4]
- Если n ! является единицей в базовом кольце R , то любая антисимметричная n -мультилинейная форма альтернирована.
Чередование
Учитывая полилинейную карту вида , переменное полилинейное отображение определяется Говорят , чтобы быть alternatization из.
- Характеристики
- Альтернативность n- полилинейного знакопеременного отображения равна n ! раз сам.
- Альтернативность симметричного отображения равна нулю.
- Альтернативность билинейного отображения является билинейной. В частности, альтернирование любого коцикла является билинейным. Этот факт играет решающую роль в определении второй группы когомологий в виде решетки с группой чередующегося билинейных форм на решетке.
Смотрите также
Заметки
- ^ a b Lang 2002 , стр. 511–512.
- Перейти ↑ Bourbaki 2007 , p. А III.80, §4.
- ^ a b Даммит и Фут 2004 , стр. 436.
- ^ Ротман 1995 , стр. 235.
Рекомендации
- Бурбаки, Н. (2007). Eléments de mathématique . Algèbre Chapitres 1–3 (переиздание). Springer.
- Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли.
- Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике . 211 (переработанное 3-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-95385-4. OCLC 48176673 .
- Ротман, Джозеф Дж. (1995). Введение в теорию групп . Тексты для выпускников по математике. 148 (4-е изд.). Springer. ISBN 0-387-94285-8. OCLC 30028913 .