Центратор и нормализатор

В математике , особенно в теории групп , централизатор (также называемый коммутантом ^[1]^[2] ) подмножества S в группе G - это набор элементов группы G , каждый из которых коммутирует с каждым элементом группы S , или, что эквивалентно, такой это сопряжение с помощью оставляет каждый элемент S фиксированным. Нормализатор из S в G представляет собой множество элементов из G ${\ Displaystyle C_ {G} (S)}$ ${\ Displaystyle г \ в C_ {G} (S)}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ Displaystyle N_ {G} (S)}$ которые удовлетворяют более слабому условию - оставить множество фиксированным при сопряжении. Центратор и нормализатор S являются подгруппы из G . Многие методы в теории групп основаны на изучении центраторов и normalisers подходящего подмножества S . $S\subseteq G$

Сформулированные соответствующим образом, определения также применимы к моноидам и полугруппам .

В теории колец , то централизатор подмножества кольца определяются по отношению к операции полугруппы (умножение) кольца. Централизатор подмножества кольца R является Подкольцо из R . В этой статье также рассматриваются централизаторы и нормализаторы в алгебре Ли .

Идеализаторная в полугруппе или кольце другой конструкция , которая находится в том же ключе , как центратор и нормализатор.

Определения [ править ]

Группа и полугруппа [ править ]

Централизатор подмножества S группы (или полугруппы) G определяется как ^[3]

\mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\}=\{g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ for all }}s\in S\}.

где только первое определение применяется к полугруппам. Если в отношении рассматриваемой группы нет двусмысленности, G можно исключить из обозначений. Когда S = { a } - одноэлементный набор, мы пишем C _G ( a ) вместо C _G ({ a }). Другое менее распространенное обозначение централизатора - Z ( a ), которое соответствует обозначению центра . С этой последней записи, нужно соблюдать осторожность , чтобы избежать путаницы между центром группы G , Z ( G ), и центратора А.Н. элемента g в G , Z ( g ).

Нормализатор из S в группе (или полугруппы) G определяется как

\mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}=\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\}.

где снова только первое определение применимо к полугруппам. Определения похожи, но не идентичны. Если g находится в централизаторе S, а s находится в S , тогда должно быть, что gs = sg , но если g находится в нормализаторе, то gs = tg для некоторого t в S , причем t может отличаться от s . То есть элементы централизатора S должны поточечно коммутировать с S , но элементы нормализатора S должны коммутировать только сS как набор . Те же обозначения, упомянутые выше для централизаторов, применимы и к нормализаторам. Нормализатор не следует путать с обычным закрытием .

Ясно, что обе являются подгруппами . $C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)$ $G$

Кольцо, алгебра над полем, кольцо Ли и алгебра Ли [ править ]

Если R представляет собой кольцо или алгебра над полем , и S представляет собой подмножество R , то централизатор S точно , как определено для групп с R в месте G .

Если это алгебра Ли (или Ли кольцо ) с продуктом Ли [ х , у ], то централизатор подмножества S из определяется как ^[4] ${\mathfrak {L}}$ ${\mathfrak {L}}$

\mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.

Определение централизаторов колец Ли связано с определением колец следующим образом. Если R - ассоциативное кольцо, то R можно задать скобочное произведение [ x , y ] = xy - yx . Конечно, тогда xy = yx тогда и только тогда, когда [ x , y ] = 0 . Если мы обозначим множество R с кронштейном продуктом в виде L _R , то очевидно , что кольцо центратор из S в R равен кольцом Ли центратор изS в L _R .

Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли) дается формулой ^[4] ${\mathfrak {L}}$

\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.

Хотя это стандартное использование термина «нормализатор» в алгебре Ли, эта конструкция на самом деле является идеализатором множества S in . Если S аддитивная подгруппа в , то это наибольшее подкольцо Ли (или подалгебра Ли, в зависимости от случая), в котором S является идеалом Ли . ^[5] ${\mathfrak {L}}$ ${\mathfrak {L}}$ $\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)$

Свойства [ править ]

Полугруппы [ править ]

Обозначим через централизатор в полугруппе , т.е. тогда образует подполугруппу и , т.е. коммутант является собственным бикоммутантом . $S'$ $S$ $A$ $S'=\{x\in A\mid sx=xs\ {\mbox{for}}\ {\mbox{every}}\ s\in S\}.$ $S'$ $S'=S'''=S'''''$

Группы [ править ]

Источник: ^[6]

Центратор и нормализатор S являются подгруппы G .
Ясно, что . Фактически, всегда является нормальной подгруппой в , являясь ядром гомоморфизма, и группа действует сопряжением как группа биекций на . Например, группа Вейля компактной группы Ли с тором определяется как , и особенно, если тор является максимальным (т. Е. ), Является центральным инструментом в теории групп Ли. $C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)$ $C_{G}(S)$ $N_{G}(S)$ $N_{G}(S)\to \mathrm {Bij} (S)$ $N_{G}(S)/C_{G}(S)$ $S$ $G$ $T$ $W(G,H)=N_{G}(T)/C_{G}(T)$ $C_{G}(T)=T$
С _С ( С _G ( S )) содержит S , но С _G ( S ) потребность не содержит S . Сдерживание происходит именно тогда, когда S абелева.
Если Н является подгруппой группы G , то N _G ( H ) содержит Н .
Если H - подгруппа G , то самая большая подгруппа G, в которой H нормальна, - это подгруппа N _G (H).
Если S - подмножество G такое, что все элементы S коммутируют друг с другом, то наибольшая подгруппа G , центр которой содержит S, является подгруппой C _G (S).
Подгруппа Н группы G называется самонормализуем подгруппа из G , если Н _О ( Н ) = Н .
Центр G точно С _G (G) , и G является абелевой группой тогда и только тогда , когда C _G (G) = Z ( G ) = G .
Для одноэлементных наборов C _G ( a ) = N _G ( a ).
По симметрии, если S и T - два подмножества в G , T ⊆ C _G ( S ) тогда и только тогда, когда S ⊆ C _G ( T ).
Для подгруппы H группы G , то N / C теорема утверждает , что фактор - группа N _G ( H ) / C _G ( H ) является изоморфна подгруппе Aut ( H ), группа автоморфизмов из Н . Поскольку N _G ( G ) = G и C _G ( G ) = Z ( G ), из теоремы N / C также следует, что G / Z ( G ) изоморфна Inn ( G), Подгруппа Aut ( G ) , состоящая из всех внутренних автоморфизмов из G .
Если мы определим групповой гомоморфизм T : G → Inn ( G ) формулой T ( x ) ( g ) = T _x ( g ) = xgx ⁻¹ , то мы можем описать N _G ( S ) и C _G ( S ) в терминах из группы действий в Inn ( G ) на G : стабилизатор S в Inn ( G ) является Т ( Н _G ( S)), а подгруппа в Inn ( G ), поточечно фиксирующая S, - это T ( C _G ( S )).
Подгруппа Н группы G называется С-замкнутый или сам-бикоммутанте , если Н = С _G ( S ) для некоторого подмножества S ⊆ G . Если так, то на самом деле H = C _G ( C _G ( H )).

Кольца и алгебры над полем [ править ]

Источник: ^[4]

Централизаторы в кольцах и алгебрах над полем - это подкольца и подалгебры над полем соответственно; централизаторы в кольцах и алгебрах Ли - это подкольца и подалгебры Ли соответственно.
Нормализатор S в кольце Ли содержит централизатор S .
C _R ( C _R ( S )) содержит S, но не обязательно равен. Теорема о двойном централизаторе касается ситуаций, когда имеет место равенство.
Если S - аддитивная подгруппа кольца Ли A , то N _A ( S ) - наибольшее подкольцо Ли в A, в котором S - идеал Ли.
Если S - подкольцо Ли кольца Ли A , то S ⊆ N _A ( S ).

См. Также [ править ]

Коммутатор
Теорема о двойном централизаторе
Идеализатор
Множители и централизаторы (банаховы пространства)
Подгруппа стабилизатора

Заметки [ править ]

^ Кевин О'Мира; Джон Кларк; Чарльз Винсонхалер (2011). Продвинутые темы линейной алгебры: плетение матричных задач через форму Вейра . Издательство Оксфордского университета . п. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.
^ Карл Генрих Хофманн; Сидни А. Моррис (2007). Теория Ли связных про-лиевских групп: теория структуры для пролиевых алгебр, пролиевых групп и связных локально компактных групп . Европейское математическое общество . п. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.
^ Якобсон (2009), стр. 41 год
^ a b c Якобсон 1979 , стр.28.
^ Jacobson 1979 , с.57.
Перейти ↑ Isaacs 2009 , главы 1-3.

Ссылки [ править ]

Айзекс, И. Мартин (2009), Алгебра: выпускной курс , Аспирантура по математике , 100 (перепечатка оригинального издания 1994 года), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , DOI : 10.1090 / GSM / 100 , ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
Джейкобсон, Натан (2009), Основы алгебры , 1 (2-е изд.), Dover Publications , ISBN 978-0-486-47189-1
Джейкобсон, Натан (1979), Алгебры Ли (переиздание оригинального издания 1962 года), Dover Publications , ISBN 0-486-63832-4, Руководство по ремонту 0559927

[O'MearaClark2011-1] Кевин О'Мира; Джон Кларк; Чарльз Винсонхалер (2011). Продвинутые темы линейной алгебры: плетение матричных задач через форму Вейра . Издательство Оксфордского университета . п. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.

[HofmannMorris2007-2] Карл Генрих Хофманн; Сидни А. Моррис (2007). Теория Ли связных про-лиевских групп: теория структуры для пролиевых алгебр, пролиевых групп и связных локально компактных групп . Европейское математическое общество . п. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.

[3] Якобсон (2009), стр. 41 год

[FOOTNOTEJacobson1979p.28-4] Якобсон 1979 , стр.28.

[FOOTNOTEJacobson1979p.57-5] Jacobson 1979 , с.57.

[FOOTNOTEIsaacs2009Chapters_1−3-6] Перейти ↑ Isaacs 2009 , главы 1-3.

[1]