Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигацииПерейти к поиску

В математике в теории Ли , третья теорема Ли утверждает , что всякая конечномерная алгебра Ли над вещественными числами связана с группой Ли G . Теорема является частью соответствия группа Ли – алгебра Ли .

Исторически третья теорема относилась к другому, но связанному результату. Две предыдущие теоремы Софуса Ли , переформулированные на современном языке, относятся к бесконечно малым преобразованиям действия группы на гладком многообразии . Третья теорема из списка устанавливает тождество Якоби для инфинитезимальных преобразований локальной группы Ли . Наоборот, при наличии алгебры Ли векторных полей интегрирование дает локальное действие группы Ли . Результат, теперь известный как третья теорема, обеспечивает внутреннее и глобальное обращение к исходной теореме.

Теорема Картана

Эквивалентность категории односвязных вещественных групп Ли и конечномерных вещественных алгебр Ли обычно называют (в литературе второй половины 20 века) теоремой Картана или теоремой Картана-Ли, как это было доказано Эли Картаном . Софус Ли ранее доказал инфинитезимальную версию: локальную разрешимость уравнения Маурера-Картана или эквивалентность между категорией конечномерных алгебр Ли и категорией локальных групп Ли.

Ли перечислил свои результаты как три прямые и три обратные теоремы. Бесконечно малый вариант теоремы Картана был, по сути, третьей обратной теоремой Ли. Во влиятельной книге [1] Жан-Пьер Серр назвал это третьей теоремой Ли . Исторически это название несколько вводит в заблуждение, но часто используется в связи с обобщениями.

Серр представил в своей книге два доказательства: одно основано на теореме Адо, а другое - на основе доказательства Эли Картана.

См. Также

Ссылки

  1. ^ Жан-Пьер Серр (1992) [1965] Алгебры Ли и группы Ли: Лекции 1964 года, прочитанные в Гарвардском университете , стр. 152, Springer ISBN  978-3-540-55008-2

Внешние ссылки