Эквивариантная дифференциальная форма

В дифференциальной геометрии эквивариантная дифференциальная форма на многообразии M, на которую действует группа Ли G, является полиномиальным отображением

{\ Displaystyle \ альфа: {\ mathfrak {g}} \ to \ Omega ^ {*} (M)}

от алгебры Ли к пространству эквивариантных дифференциальных форм на M ; т.е. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ operatorname {Lie} (G)}$

{\ Displaystyle \ альфа (\ Operatorname {Ad} (g) X) = g \ alpha (X).}

Другими словами, эквивариантная дифференциальная форма является инвариантным элементом

{\ displaystyle \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}] \ otimes \ Omega ^ {*} (M) = \ operatorname {Sym} ({\ mathfrak {g}} ^ {*}) \ otimes \ Омега ^ {*} (M).}

^[1]

Для эквивариантной дифференциальной формы , то эквивариантная внешняя производная от определяются ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle d _ {\ mathfrak {g}} \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

{\ displaystyle (d _ {\ mathfrak {g}} \ alpha) (X) = d (\ alpha (X)) - i_ {X ^ {\ #}} (\ alpha (X))}

где d является обычным производным внешним и является внутренней продукт по фундаментальному векторному полю , порожденной X . Легко видеть (используйте тот факт, что производная Ли вдоль равна нулю), и тогда можно положить ${\ displaystyle i_ {X ^ {\ #}}}$ $d_{\mathfrak {g}}\circ d_{\mathfrak {g}}=0$ $\alpha (X)$ $X^{\#}$

H_{G}^{*}(X)=\operatorname {ker} d_{\mathfrak {g}}/\operatorname {im} d_{\mathfrak {g}}

,

который называется эквивариантная когомологией из M (который совпадает с обычными эквивариантными когомологиями , определенных в терминах борелевского строительства .) Определение обусловлено Картан. Это понятие имеет приложение к теории эквивариантного индекса .

$d_{\mathfrak {g}}$ -замкнутые или -точные формы называются эквивариантно замкнутыми или эквивариантно точными . $d_{\mathfrak {g}}$

Интеграл эквивариантно замкнутой формы может быть вычислен по его ограничению на фиксированную точку с помощью формулы локализации .

Ссылки [ править ]

^ Доказательство: при, мы имеем:Примечание- кольцо многочленов от линейных функционалов от; см. кольцо полиномиальных функций . См. Также https://math.stackexchange.com/q/101453 комментарий М. Эмертона. $V=\Omega ^{*}(M)$ $\operatorname {Mor} _{G}({\mathfrak {g}},V)=\operatorname {Mor} ({\mathfrak {g}},V)^{G}=(\operatorname {Mor} ({\mathfrak {g}},\mathbb {C} )\otimes V)^{G}.$ $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]$ ${\mathfrak {g}}$

Берлайн, Николь; Getzler, E .; Вернь, Мишель (2004), Ядра тепла и операторы Дирака , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag

Эта статья, посвященная дифференциальной геометрии, является незавершенной . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Доказательство: при, мы имеем:Примечание- кольцо многочленов от линейных функционалов от; см. кольцо полиномиальных функций . См. Также https://math.stackexchange.com/q/101453 комментарий М. Эмертона. $V=\Omega ^{*}(M)$ $\operatorname {Mor} _{G}({\mathfrak {g}},V)=\operatorname {Mor} ({\mathfrak {g}},V)^{G}=(\operatorname {Mor} ({\mathfrak {g}},\mathbb {C} )\otimes V)^{G}.$ $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]$ ${\mathfrak {g}}$

[1]