Форма подключения

В математике , и особенно в дифференциальной геометрии , форма связи - это способ организации данных соединения с использованием языка движущихся систем отсчета и дифференциальных форм .

Исторически сложилось так, что формы связи были введены Эли Картаном в первой половине 20-го века как часть и одна из главных мотиваций его метода движущихся систем отсчета. Форма соединения обычно зависит от выбора системы координат и не является тензорным объектом. После первых работ Картана были сформулированы различные обобщения и переосмысления формы связи. В частности, на главном расслоении , A Принципиальные схему соединения является естественной реинтерпретацией формы соединения в виде тензорный объекта. С другой стороны, форма связности имеет то преимущество, что она является дифференциальной формой, определенной на дифференцируемом многообразии, а не на абстрактном главном связке над ним. Следовательно, несмотря на отсутствие тензорности, формы соединения продолжают использоваться из-за относительной простоты выполнения с ними вычислений. ^[1] В физике формы связи также широко используются в контексте калибровочной теории через калибровочную ковариантную производную .

Форма соединения сопоставляет каждую основу о наличии векторного расслоения на матрицу дифференциальных форм. Форма соединение не тензориальная потому , что при изменении базиса , форма связности преобразуется таким образом , что предполагает внешнюю производную из переходных функций , во многом таким же образом , как и символы Кристоффеля для связности Леви-Чивита . Основным тензорным инвариантом формы соединения является форма кривизны . При наличии формы припоя, отождествляющей векторный пучок с касательным пучком, существует дополнительный инвариант - торсионная форма . Во многих случаях формы связности рассматриваются на векторных расслоениях с дополнительной структурой: расслоения со структурной группой .

Наборы векторных изображений [ править ]

Рамки на векторном пучке [ править ]

Пусть E будет векторное расслоение размерности волокна к над дифференцируемой многообразия M . Локальная рамка для E представляет собой упорядоченный базис из местных участков в E . Всегда можно построить локальный фрейм, так как векторные расслоения всегда определяются в терминах локальной тривиализации , по аналогии с атласом многообразия. То есть, для любой точки х на многообразие базовых М существует открытую окрестность U ⊂ M из йдля которого векторное расслоение над U изоморфно пространству U × R ^k : это локальная тривиализация. Таким образом, структура векторного пространства на R ^k может быть расширена до всей локальной тривиализации, а также может быть расширен базис на R ^k ; это определяет локальный фрейм. (Здесь R означает действительные числа, хотя большая часть разработок здесь может быть распространена на модули над кольцами в целом и на векторные пространства над комплексными числами в частности.)

Пусть е = ( е _{& alpha} ; ) _{& alpha ; = 1,2, ..., K} быть локальный кадр на E . Этот кадр может быть использован , чтобы выразить локально любое сечение Е . Например, предположим, что ξ - это локальная секция, определенная на том же открытом множестве, что и каркас e . потом

${\ Displaystyle \ xi = \ сумма _ {\ альфа = 1} ^ {k} е _ {\ альфа} \ xi ^ {\ alpha} (\ mathbf {e})}$

где £ , ^{& alpha} ; ( е ) обозначает компоненты из £ , в кадре е . В виде матричного уравнения это читается как

${\displaystyle \xi ={\mathbf {e} }{\begin{bmatrix}\xi ^{1}(\mathbf {e} )\\\xi ^{2}(\mathbf {e} )\\\vdots \\\xi ^{k}(\mathbf {e} )\end{bmatrix}}={\mathbf {e} }\,\xi (\mathbf {e} )}$

В общей теории относительности такие поля системы отсчета называются тетрадами . Тетрада конкретно связывает локальную систему отсчета с явной системой координат на базовом многообразии M (система координат на M устанавливается атласом).

Внешние соединения [ править ]

Соединение в Е представляет собой тип дифференциального оператора

${\displaystyle D:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Omega ^{1}M)}$

где Γ обозначает пучок локальных сечений векторного расслоения и Ω ¹ М представляет собой пучок дифференциальных 1-форм на М . Чтобы D было связью, она должна быть правильно связана с внешней производной . В частности, если v - локальное сечение E , а f - гладкая функция, то

${\displaystyle D(fv)=v\otimes (df)+fDv}$

где df - внешняя производная f .

Иногда удобно распространить определение D на произвольные E -значные формы , таким образом рассматривая его как дифференциальный оператор на тензорном произведении E с полной внешней алгеброй дифференциальных форм. Для внешней связи D, удовлетворяющей этому свойству совместимости, существует единственное расширение D :

${\displaystyle D:\Gamma (E\otimes \Omega ^{*}M)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Omega ^{*}M)}$

такой, что

${\displaystyle D(v\wedge \alpha )=(Dv)\wedge \alpha +(-1)^{{\text{deg}}\,v}v\wedge d\alpha }$

где v однородна степени deg v . Другими словами, D является дифференцированием на пучке градуированных модулей Γ ( E ⊗ Ω ^* M ).

Формы подключения [ править ]

Форма соединения возникает при применении внешнего соединения к конкретной раме e . После применения внешней связности к e _α , это единственная k × k- матрица ( ω _α ^β ) одноформ на M такая, что

${\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }.}$

В терминах формы соединения теперь можно выразить внешнее соединение любого участка E. Например, предположим, что ξ = Σ _α e _α ξ ^α . потом

${\displaystyle D\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}D(e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ))=\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\otimes d\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )+\sum _{\alpha =1}^{k}\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ).}$

Взяв компоненты с обеих сторон,

${\displaystyle D\xi (\mathbf {e} )=d\xi (\mathbf {e} )+\omega \xi (\mathbf {e} )=(d+\omega )\xi (\mathbf {e} )}$

где подразумевается, что d и ω относятся к покомпонентной производной по реперу e и матрице 1-форм, соответственно, действующей на компоненты ξ . С другой стороны , матрица 1-форма ω является априори достаточно , чтобы полностью определить соединение локально на открытом множестве , над которой основа секции е определена.

Смена кадра [ править ]

Для того чтобы расширить ω для подходящего глобального объекта, необходимо изучить , как он ведет себя , когда другой выбор основных разделов Е выбран. Напишите ω _α ^β = ω _α ^β ( e ), чтобы указать зависимость от выбора e .

Предположим, что e ′ - другой выбор локального базиса. Тогда существует обратимая k × k- матрица функций g такая, что

${\displaystyle {\mathbf {e} }'={\mathbf {e} }\,g,\quad {\text{i.e., }}\,e'_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.}$

Применение внешней связи к обеим сторонам дает закон преобразования для ω :

${\displaystyle \omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega (\mathbf {e} )g.}$

Отметим, в частности, что ω не может преобразовываться тензорным образом, поскольку правило перехода от одного кадра к другому включает производные матрицы перехода g .

Формы глобального подключения [ править ]

Если { U _р } является открытым покрытием М , а каждый U _р оснащен тривиализацией х _р из Е , то можно определить глобальную форму соединения с точкой зрения латания данных между местными формами соединений на перекрытиях регионы. Более подробно, форма связи на M - это система матриц ω ( e _p ) 1-форм, определенных на каждом U _p, которые удовлетворяют следующему условию совместимости

${\displaystyle \omega (\mathbf {e} _{q})=(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}d(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})+(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}\omega (\mathbf {e} _{p})(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q}).}$

Это условие совместимости гарантирует, в частности, что внешняя связь секции E , рассматриваемая абстрактно как секция E ⊗ Ω ¹ M , не зависит от выбора базовой секции, используемой для определения связи.

Кривизна [ править ]

Кривизны два-форма из формы связности в Е определяются

${\displaystyle \Omega (\mathbf {e} )=d\omega (\mathbf {e} )+\omega (\mathbf {e} )\wedge \omega (\mathbf {e} ).}$

В отличие от формы соединения, кривизна ведет себя тензорно при смене рамки, что можно проверить напрямую с помощью леммы Пуанкаре . В частности, если e → e g - это смена кадра, то две формы кривизны преобразуются на

${\displaystyle \Omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}\Omega (\mathbf {e} )g.}$

Одна интерпретация этого закона преобразования заключается в следующем. Пусть e ^* - дуальный базис, соответствующий шкале e . Тогда 2-форма

${\displaystyle \Omega ={\mathbf {e} }\Omega (\mathbf {e} ){\mathbf {e} }^{*}}$

не зависит от выбора рамы. В частности, Ω является векторной двумерной формой на M со значениями в кольце эндоморфизмов Hom ( E , E ). Символично,

${\displaystyle \Omega \in \Gamma (\Omega ^{2}M\otimes {\text{Hom}}(E,E)).}$

В терминах внешней связности D эндоморфизм кривизны задается формулой

${\displaystyle \Omega (v)=D(Dv)=D^{2}v\,}$

для об ∈ E . Таким образом, кривизна измеряет нарушение последовательности

${\displaystyle \Gamma (E)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{1}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{2}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \dots \ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{n}(M))}$

быть цепным комплексом (в смысле когомологий де Рама ).

Пайка и кручение [ править ]

Предположим , что размерность волокна к из Е равна размерности многообразия M . В этом случае векторный пучок E иногда помимо соединения снабжен дополнительным элементом данных: формой припоя . Форма припоя является глобально определенный вектор-один-форма θ ∈ Q , ¹ ( M , E ) таким образом, что отображение

${\displaystyle \theta _{x}:T_{x}M\rightarrow E_{x}}$

линейный изоморфизм для всех х ∈ M . Если задана форма пайки, то можно определить кручение соединения (с точки зрения внешнего соединения) как

${\displaystyle \Theta =D\theta .\,}$

Кручения Θ является Е -значными 2-формой на М .

Форма припоя и связанные с ним торсионными оба могут быть описаны в терминах локального фрейма е из Е . Если θ - припой, то он разлагается на компоненты каркаса

${\displaystyle \theta =\sum _{i}\theta ^{i}(\mathbf {e} )e_{i}.}$

Тогда компоненты кручения равны

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}(\mathbf {e} )+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}(\mathbf {e} ).}$

Как и кривизна, можно показать, что Θ ведет себя как контравариантный тензор при изменении системы отсчета:

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} \,g)=\sum _{j}g_{j}^{i}\Theta ^{j}(\mathbf {e} ).}$

Кручение, не зависящее от кадра, также можно восстановить из компонентов каркаса:

${\displaystyle \Theta =\sum _{i}e_{i}\Theta ^{i}(\mathbf {e} ).}$

Личности Бьянки [ править ]

В тождестве Бьянки относится кручение к кривизне. Первая идентичность Бьянки утверждает, что

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta .}$

в то время как вторая идентичность Бьянки утверждает, что

${\displaystyle \,D\Omega =0}$

Пример: связь Леви-Чивита [ править ]

В качестве примера предположим, что M имеет риманову метрику . Если имеется векторное расслоение E над M , то метрика может быть расширена на все векторное расслоение как метрика расслоения . Затем можно определить соединение, совместимое с этой метрикой пакета, это метрическое соединение . В частном случае, когда E является касательным расслоением TM , метрическая связность называется римановой связностью . Учитывая риманову связность, всегда можно найти уникальную эквивалентную связь без кручения . Это связь Леви-Чивитана касательном расслоении ТМ в М . ^{[2] [3]}

Локальный фрейм на касательном расслоении - это упорядоченный список векторных полей e = ( e _i | i = 1,2, ..., n = dim M ), определенных на открытом подмножестве M , которые линейно независимы в каждой точке их домен. Символы Кристоффеля определяют связь Леви-Чивита следующим образом:

${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )e_{k}.}$

Если θ = {θ ⁱ | I = 1,2, ..., п}, обозначает двойную основу из кокасательного расслоения , таким образом, что θ ^я ( е _J ) = δ ^я _J (The Кронекера ), то форма соединения является

${\displaystyle \omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=\sum _{k}\Gamma _{ki}^{j}(\mathbf {e} )\theta ^{k}.}$

В терминах формы связи внешняя связность на векторном поле v = Σ _i e _i v ⁱ задается формулой

${\displaystyle Dv=\sum _{k}e_{k}\otimes (dv^{k})+\sum _{j,k}e_{k}\otimes \omega _{j}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}.}$

Из этого можно восстановить связь Леви-Чивита в обычном смысле, заключив контракт с e _i :

${\displaystyle \nabla _{e_{i}}v=\langle Dv,e_{i}\rangle =\sum _{k}e_{k}\left(\nabla _{e_{i}}v^{k}+\sum _{j}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}\right)}$

Кривизна [ править ]

2-форма кривизны связности Леви-Чивиты - это матрица (Ω _i ^j ), заданная формулой

${\displaystyle \Omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=d\omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )+\sum _{k}\omega _{k}^{j}(\mathbf {e} )\wedge \omega _{i}^{k}(\mathbf {e} ).}$

Для простоты предположим , что кадр е является голономным , так что dθ ^я = 0. ^[4] Затем, используя теперь соглашение о суммировании повторяющихся индексов,

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\Omega _{i}^{j}&=d(\Gamma _{qi}^{j}\theta ^{q})+(\Gamma _{pk}^{j}\theta ^{p})\wedge (\Gamma _{qi}^{k}\theta ^{q})\\&\\&=\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}\left(\partial _{p}\Gamma _{qi}^{j}+\Gamma _{pk}^{j}\Gamma _{qi}^{k})\right)\\&\\&={\tfrac {1}{2}}\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}R_{pqi}{}^{j}\end{array}}}$

где R - тензор кривизны Римана .

Кручение [ править ]

Связность Леви-Чивиты характеризуется как единственная метрическая связность в касательном расслоении с нулевым кручением. Для описания кручения отметим, что векторное расслоение E является касательным расслоением. Это несет каноническую форму припоя (иногда называемую канонической одной формой , особенно в контексте классической механики ), которая представляет собой сечение θ Hom (T M , T M ) = T ^∗ M ⊗ T M, соответствующее тождественному эндоморфизму касательные пространства. В рамке e форма припоя имеет вид θ = Σ _i e _i ⊗ θ ⁱ, где снова θ ⁱ - дуальный базис.

Кручение соединения задается формулой Θ = D θ , или в терминах компонентов каркаса формы припоя формулой

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}.}$

Если снова для простоты предположить, что е голономно, это выражение сводится к

${\displaystyle \Theta ^{i}=\Gamma _{kj}^{i}\theta ^{k}\wedge \theta ^{j}}$,

которая обращается в нуль тогда и только тогда, когда Γ ⁱ _kj симметрична по своим нижним индексам.

Учитывая метрическую связь с кручением, один раз всегда можно найти единственную, уникальную связь, не имеющую кручения, это связность Леви-Чивита. Разница между римановой связностью и связанной с ней связностью Леви-Чивиты - это тензор конторсии .

Структурные группы [ править ]

Более конкретный тип формы соединения может быть построен, когда векторное расслоение E несет структурную группу . Это равносильно предпочтительный класс кадров е на Е , которые связаны с помощью группы Ли G . Например, при наличии метрики в E можно работать с фреймами, которые образуют ортонормированный базис в каждой точке. Структурная группа тогда является ортогональной группой , поскольку эта группа сохраняет ортонормированность реперов. Другие примеры включают:

• Обычные кадры, рассмотренные в предыдущем параграфе, имеют структурную группу GL ( K ) , где K является размером волокон E .
• Голоморфное касательное расслоение комплексного многообразия (или почти комплексного многообразия ). ^[5] Здесь структурная группа GL _n ( C ) ⊂ GL _2n ( R ). ^[6] Если дана эрмитова метрика , то структурная группа сводится к унитарной группе, действующей на унитарных шкалах. ^[5]
• Спиноры на многообразии со спиновой структурой . Кадры унитарны по отношению к инвариантному внутреннему произведению в пространстве спинов, и группа сводится к группе спинов .
• Голоморфные касательные расслоения на CR-многообразиях . ^[7]

В общем, пусть E - данное векторное расслоение слоистой размерности k, а G ⊂ GL ( k ) - данная подгруппа Ли общей линейной группы R ^k . Если ( e _α ) является локальным фреймом E , то матричнозначная функция ( g _i ^j ): M → G может воздействовать на e _α, чтобы создать новый фрейм

${\displaystyle e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.}$

Два таких рамы G о связанных . Неформально векторный набор E имеет структуру G- расслоения, если указан предпочтительный класс кадров, все из которых локально G- связаны друг с другом. Формально E - это расслоение со структурной группой G , типичным слоем которой является R ^k с естественным действием G как подгруппы в GL ( k ).

Совместимые соединения [ править ]

Соединение совместимо со структурой G- связки на E при условии, что связанные параллельные транспортные карты всегда отправляют один G- кадр другому. Формально вдоль кривой γ локально (т. Е. При достаточно малых t ) должно выполняться следующее :

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{0}^{t}e_{\alpha }(\gamma (0))=\sum _{\beta }e_{\beta }(\gamma (t))g_{\alpha }^{\beta }(t)}$

для некоторой матрицы g _α ^β (которая также может зависеть от t ). Дифференцирование при t = 0 дает

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}e_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\omega _{\alpha }^{\beta }({\dot {\gamma }}(0))}$

где коэффициенты omega ; _{& alpha ;} ^{& beta} ; находятся в алгебре Ли г группы Ли G .

С учетом этого наблюдения форма связности ω _α ^β, определяемая формулой

${\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} )}$

это совместимо со структурой , если матрица из одного-форма со _{& alpha ;} ^{& beta} ; ( е ) принимает значения в г .

Более того, форма кривизны совместимого соединения является двухформой со значением g .

Смена кадра [ править ]

Под сменой кадра

${\displaystyle e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }}$

где g - G -значная функция, определенная на открытом подмножестве M , форма связи преобразуется через

${\displaystyle \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} \cdot g)=(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }dg_{\alpha }^{\gamma }+(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }\omega _{\delta }^{\gamma }(\mathbf {e} )g_{\alpha }^{\delta }.}$

Или, используя матричные произведения:

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega g.}$

Чтобы интерпретировать каждый из этих терминов, напомним, что g  : M → G - G -значная (локально определенная) функция. Имея это в виду,

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{*}\omega _{\mathfrak {g}}+{\text{Ad}}_{g^{-1}}\omega (\mathbf {e} )}$

где ω _g - форма Маурера-Картана для группы G , здесь подтянутая к M по функции g , а Ad - присоединенное представление группы G на ее алгебре Ли.

Основные пакеты [ править ]

Форма соединения, представленная до сих пор, зависит от конкретного выбора рамы. В первом определении рама - это просто локальная основа секций. Каждому кадру дается форма связи с законом преобразования для перехода от одного кадра к другому. Во втором определении сами фреймы несут некоторую дополнительную структуру, предоставляемую группой Ли, и изменения фрейма ограничиваются теми, которые принимают в нем свои значения. Язык основных связок, изобретенный Чарльзом Эресманномв 1940-х годах предлагает способ организации этих многочисленных форм связи и законов преобразования, связывающих их в единую внутреннюю форму с единым правилом преобразования. Недостатком этого подхода является то, что формы больше не определены на самом многообразии, а скорее на более крупном основном связке.

Основное соединение для формы соединения [ править ]

Предположим , что E → M является векторное расслоение со структурной группой G . Пусть { U } открытое покрытие из М , вместе с G -реперное на каждом U , обозначим через е _U . Они связаны на пересечении перекрывающихся открытых множеств

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}}$

для некоторого G -значной функции ч _UV , определенный на ¯u П V .

Пусть F _G E множество всех G реперы берется по каждой точке М . Это является главным G расслоением над M . Подробно, используя тот факт, что все G- кадры связаны с G , F _G E может быть реализовано в терминах склейки данных между наборами открытой крышки:

${\displaystyle F_{G}E=\left.\coprod _{U}U\times G\right/\sim }$

где отношение эквивалентности определяется формулой${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle ((x,g_{U})\in U\times G)\sim ((x,g_{V})\in V\times G)\iff {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}{\text{ and }}g_{U}=h_{UV}^{-1}(x)g_{V}.}$

На F _G E определите основную G -связь следующим образом, задав однозначную g -форму для каждого произведения U × G , которая соблюдает отношение эквивалентности в областях перекрытия. Сначала позвольте

${\displaystyle \pi _{1}:U\times G\to U,\quad \pi _{2}:U\times G\to G}$

- карты проекции. Теперь для точки ( x , g ) ∈ U × G положим

${\displaystyle \omega _{(x,g)}=Ad_{g^{-1}}\pi _{1}^{*}\omega (\mathbf {e} _{U})+\pi _{2}^{*}\omega _{\mathbf {g} }.}$

1-формы ω построена таким образом , отношениях переходы между перекрывающимися наборами, и , следовательно , опускается , чтобы дать глобально определенную 1-форму на главном расслоении Р _О Е . Можно показать , что ω является главной связью в том смысле , что он воспроизводит генераторы правого G действия на F _G E и эквивариантно переплетается правильное действие на Т (F _G E ) с присоединенным представлением G .

Формы подключения, связанные с основным подключением [ править ]

С другой стороны , главная G -связность ω в главном G -расслоений P → M приводит к набору соединительных форм на М . Пусть е  : M → P является локальным сечением Р . Тогда подъём ω вдоль e определяет g -значную однозначную форму на M :

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} })={\mathbf {e} }^{*}\omega .}$

Изменяя фреймы с помощью G- значной функции g , можно увидеть, что ω ( e ) преобразуется требуемым образом с помощью правила Лейбница и присоединения:

${\displaystyle \langle X,({\mathbf {e} }\cdot g)^{*}\omega \rangle =\langle [d(\mathbf {e} \cdot g)](X),\omega \rangle }$

где X - вектор на M , а d означает прямой ход .

См. Также [ править ]

• Связь Ehresmann
• Картановое соединение
• Аффинная связь
• Форма кривизны

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Черн С.-С., Темы дифференциальной геометрии , Институт перспективных исследований, записанные на мимеографе конспекты лекций, 1951.
• Черн СС; Мозер, Дж. К. (1974), "Вещественные гиперповерхности в комплексных многообразиях", Acta Math. , 133 : 219-271, DOI : 10.1007 / BF02392146
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1978), принципы алгебраической геометрии , Джон Вили и сыновья, ISBN 0-471-05059-8
• Йост, Юрген (2011), Риманова геометрия и геометрический анализ (PDF) , Universitext (шестое изд.), Springer, Heidelberg, DOI : 10.1007 / 978-3-642-21298-7 , ISBN 978-3-642-21297-0, MR  2829653
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, т. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, т. 2 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15732-5
• Спивак, Майкл (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию (Том 2) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3
• Спивак, Майкл (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию (Том 3) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-72-1
• Уэллс, РО (1973), Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0
• Уэллс Р.О. (1980), Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях , Прентис – Холл.