Подключение (основной комплект)

В математике , и особенно в дифференциальной геометрии и калибровочной теории , соединение - это устройство, определяющее понятие параллельного переноса на связке; то есть способ «соединить» или идентифицировать волокна в близлежащих точках. Основной G -связность на основной G-расслоения Р над гладким многообразием М представляет собой особый тип связи , который совместит с действием группы G .

Принципиальная связь может рассматриваться как частный случай понятия связи Эресмана , и ее иногда называют основной связью Эресмана . Он порождает (Эресмана) связности на любом расслоении, ассоциированном с P, через конструкцию ассоциированного расслоения . В частности, на любом ассоциированном векторном расслоении главная связность индуцирует ковариантную производную , оператор, который может дифференцировать сечения этого расслоения вдоль касательных направлений в базовом многообразии. Основные связи обобщают на произвольные главные расслоения понятие линейной связности.на раме пучка в виде гладкого многообразия .

Формальное определение [ править ]

Пусть - гладкое главное G -расслоение над гладким многообразием . Тогда главная -связность на дифференциальную 1-форме на со значениями в алгебре Ли из которых является -эквивариантным и размножается в алгебре Ли генераторы из фундаментальных векторных полей на . ${\ displaystyle \ pi: P \ to M}$ ${\ displaystyle M}$ $G$ $P$ $P$ ${\mathfrak {g}}$ $G$ $G$ $P$

Другими словами, это элемент ω из таких , что $\Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})\cong C^{\infty }(P,T^{*}P\otimes {\mathfrak {g}})$

${\hbox{Ad}}_{g}(R_{g}^{*}\omega )=\omega$ где обозначает правое умножение на , и является присоединенным представлением на (явно ); $R_{g}$ $g$ $\operatorname {Ad} _{g}$ ${\mathfrak {g}}$ $\operatorname {Ad} _{g}X={\frac {d}{dt}}g\exp(tX)g^{-1}{\bigl |}_{t=0}$
если и - векторное поле на P, ассоциированное с ξ путем дифференцирования действия G на P , то (тождественно на ). $\xi \in {\mathfrak {g}}$ $X_{\xi }$ $\omega (X_{\xi })=\xi$ $P$

Иногда термин главное G-соединение относится к паре и сам по себе называется формой соединения или формой соединения 1 основного соединения. $(P,\omega )$ $\omega$

Вычислительные примечания [ править ]

Наиболее известные нетривиальные вычисления главных G-связностей выполняются с однородными пространствами из-за тривиальности (ко) касательного расслоения. (Например, пусть , - главное G-расслоение над. ) Это означает, что 1-формы на тотальном пространстве канонически изоморфны , где - двойственная алгебра Ли, следовательно, G-связи находятся в биекции с . $G\to H\to H/G$ $H/G$ $C^{\infty }(H,{\mathfrak {g}}^{*})$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $C^{\infty }(H,{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}})^{G}$

Отношение к связям Эресманна [ править ]

Основная G-связность ω на P определяет связность Эресмана на P следующим образом. Сначала отметим, что фундаментальные векторные поля, порождающие действие G на P, обеспечивают изоморфизм расслоения (покрывающий тождество P ) из расслоения VP в , где VP = ker (d π ) - ядро касательного отображения, которое называется вертикальным расслоение на P . Отсюда следует, что ω однозначно определяет отображение расслоения v : TP → $P\times {\mathfrak {g}}$ ${\mathrm {d} }\pi \colon TP\to TM$ V , тождественный на V . Такая проекция v однозначно определяется его ядром, которое является гладким подрасслоением Н из ТП ( так называемый горизонтальный пучок ) таким образом, что ТР = V ⊕ Н . Это связь Эресмана.

Наоборот, связность Эресмана H ⊂ TP (или v : TP → V ) на P определяет главную G -связь ω тогда и только тогда, когда она G -эквивариантна в том смысле, что . $H_{pg}=\mathrm {d} (R_{g})_{p}(H_{p})$

Отступите через раздел упрощения [ править ]

Тривиализующее сечение главного расслоения P задается сечение s из Р над открытым подмножеством U из M . Тогда обратный вызов s ^*ω главной связности является 1-формой на U со значениями in . Если сечение s заменяется новым сечением sg , определяемым формулой ( sg ) ( x ) = s ( x ) g ( x ), где g : M → G - гладкое отображение, то ${\mathfrak {g}}$ $(sg)^{*}\omega =\operatorname {Ad} (g)^{-1}s^{*}\omega +g^{-1}dg$ . Основная связь однозначно определяется этим семейством -значных 1-форм, и эти 1-формы также называются формами связи или формами связи 1 , особенно в более старой или более ориентированной на физику литературе. ${\mathfrak {g}}$

Связка основных подключений [ править ]

Группа G действует на касательном расслоении TP правым сдвигом. Фактор - пространство TP / G является также многообразием, и наследует структуру расслоения над ТМ , которые должны обозначать dπ : TP / G → ТМ . Пусть ρ: TP / G → М проекция на М . Волокна пучка TP / G под выступом ρ несут аддитивную структуру.

Расслоение TP / G называется расслоением главных связностей ( Кобаяши, 1957 ). Участок Γ из dπ: TP / G → ТМ таким образом, что Γ: ТМ → TP / G представляет собой линейный морфизм векторных расслоений над М , могут быть идентифицированы с помощью основного соединения в P . С другой стороны , основное соединение , как определенно выше , приводит к такой секции Г TP / G .

Наконец, пусть Γ - главная связность в этом смысле. Пусть q : TP → TP / G - фактор-отображение. Горизонтальное распределение соединения - жгут

H=q^{-1}\Gamma (TM)\subset TP.

Мы снова видим ссылку на горизонтальное расслоение и, следовательно, связь Эресмана.

Аффинное свойство [ править ]

Если со и со ' - главные связности на главном расслоении P , то разность со' - со является -значной 1-формой на P, которая не только G -эквивариантна, но и горизонтальна в том смысле, что она обращается в нуль на любом сечении расслоения. вертикальное расслоение V из P . Следовательно, она является базовой и определяется 1 -формой на M со значениями в присоединенном расслоении ${\mathfrak {g}}$

{\mathfrak {g}}_{P}:=P\times ^{G}{\mathfrak {g}}.

Наоборот, любая такая форма определяет (посредством обратного вызова) G -эквивариантную горизонтальную 1-форму на P , и пространство главных G- связностей является аффинным пространством для этого пространства 1-форм.

Индуцированные ковариантные и внешние производные [ править ]

Для любого линейного представления W группы G существует ассоциированное векторное расслоение над M , и главная связность индуцирует ковариантную производную на любом таком векторном расслоении. Эта ковариантная производная может быть определена с использованием того факта , что пространство сечений над М изоморфно пространству G -эквивариантного W - значной функцию на Р . В более общем смысле, пространство k -форм со значениями in отождествляется с пространством G -эквивариантных и горизонтальных W -значных k $P\times ^{G}W$ $P\times ^{G}W$ $P\times ^{G}W$ -формы на P . Если α является такой k -формой, то ее внешняя производная d α , хотя G -эквивариантна, больше не является горизонтальной. Однако комбинация d α + ω Λ α равна. Это определяет внешний вид ковариантной производной d ^omega ; от значной к -формы на М к значной ( к + 1) -формы на М . В частности, при k = 0 мы получаем ковариантную производную на . $P\times ^{G}W$ $P\times ^{G}W$ $P\times ^{G}W$

Форма кривизны [ править ]

Форма кривизны главной G -связности ω - это -значная 2-форма Ω, определяемая формулой ${\mathfrak {g}}$

\Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ].

Она G -эквивариантна и горизонтальна, следовательно, соответствует 2-форме на M со значениями в . Отождествление кривизны с помощью этой величины иногда называют вторым структурным уравнением (Картана) . ^[1] Исторически возникновение структурных уравнений связано с развитием связи Картана . При переносе в контекст групп Ли структурные уравнения известны как уравнения Маурера – Картана : это те же уравнения, но в других условиях и обозначениях. ${\mathfrak {g}}_{P}$

Соединения на связках рам и кручение [ править ]

Если основная связка P является связкой каркасов или (в более общем смысле), если она имеет форму пайки , то соединение является примером аффинного соединения , и кривизна не является единственным инвариантом, поскольку дополнительная структура формы пайки θ , которая является эквивариантной R ⁿ -значной 1-формой на P , должна быть принята во внимание. В частности, торсионная форма на P является R ⁿ -значной 2-формой, определенной формулой

\Theta =\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta .

Является G -эквивариантным и горизонтальным, поэтому оно спускается до касательной 2-формы на M , называемой кручением . Это уравнение иногда называют первым структурным уравнением (Картана) .

Ссылки [ править ]

^ Eguchi, Tohru; Гилки, Питер Б.; Хэнсон, Эндрю Дж. (1980). «Гравитация, калибровочные теории и дифференциальная геометрия» . Отчеты по физике . 66 (6): 213–393. Bibcode : 1980PhR .... 66..213E . DOI : 10.1016 / 0370-1573 (80) 90130-1 .

Кобаяси, Шошичи (1957), "Теория связей", Ann. Мат. Pura Appl. , 43 : 119-194, DOI : 10.1007 / BF02411907 , S2CID 120972987
Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , т. 1 (Новое издание), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
Коларж, Иван; Михор, Питер; Словак, Ян (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии (PDF) , Springer-Verlag, заархивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2017 г. , получено 25 марта 2008 г.

[1] Eguchi, Tohru; Гилки, Питер Б.; Хэнсон, Эндрю Дж. (1980). «Гравитация, калибровочные теории и дифференциальная геометрия» . Отчеты по физике . 66 (6): 213–393. Bibcode : 1980PhR .... 66..213E . DOI : 10.1016 / 0370-1573 (80) 90130-1 .