В математике теория расслоений со структурной группой ( топологическая группа ) позволяет операцию создания связанного пучка , в котором типичное волокно пучка изменяется с к , Которые являются оба топологическими пространствами с действием группы из. Для расслоения F со структурной группой G функции перехода слоя (т. Е. Коцикла ) в перекрытии двух систем координат U α и U β задаются как G -значная функция g αβ на U α ∩ U β . Затем можно построить пучок волокон F 'как новый пучок волокон, имеющий те же функции перехода, но, возможно, другое волокно.
Пример
В простом футляре есть лента Мёбиуса , для которой- циклическая группа порядка 2,. Мы можем принять как любой из: действительная числовая линия , интервал , прямая действительная числовая линия минус точка 0 или двухточечный набор . Действие на них (неединичный элемент, действующий как в каждом случае) сравнимо в интуитивном смысле. Можно сказать, что более формально в терминах склейки двух прямоугольников а также вместе: нам действительно нужны данные для идентификации к себе непосредственно на одном конце и с поворотом на другом конце . Эти данные могут быть записаны в виде заплаток на функции со значениями в G . Ассоциированное расслоение строительство только наблюдение , что эти данные действительно просто , а также для что касается .
Строительство
В общем, достаточно объяснить переход от жгута с волокном , на котором действует, в ассоциированное главное расслоение (а именно расслоение, в котором, считается действовать путем перевода на самого себя). Ибо тогда мы можем уйти от к , через главный пучок. Подробности в плане данных для открытого покрытия приведены для случая спуска .
Этот раздел организован следующим образом. Сначала мы вводим общую процедуру создания ассоциированного пучка с указанным волокном из данного пучка волокон. Затем это специализируется на случае, когда указанный слой является главным однородным пространством для левого действия группы на самом себе, что дает ассоциированное главное расслоение. Если, кроме того, на слое главного расслоения задано правое действие, мы опишем, как построить любое ассоциированное расслоение с помощью конструкции расслоения . [1]
Связанные пакеты в целом
Пусть π: E → X является расслоением над топологическим пространством X со структурной группой G и типичным слоем F . По определению на слое F существует левое действие группы G (как группы преобразований ) . Предположим, кроме того, что это действие эффективно . [2] Существует локальная тривиализация расслоения E, состоящего из открытого покрытия U i множества X и набора расслоенных отображений
- φ i : π −1 ( U i ) → U i × F
таким образом, что карты переходов задаются элементами G . Точнее, существуют непрерывные функции g ij : ( U i ∩ U j ) → G такие, что
- ψ IJ ( U , F ): = φ я о φ J -1 ( U , F ) = ( у , г IJ ( у ) е ) для каждого ( ¯u , F ) ∈ ( U я ∩ U J ) × F .
Пусть теперь F 'быть определен топологическим пространством, оборудованное с непрерывным левым действием G . Тогда расслоение, ассоциированное с E со слоем F ′, является расслоением E ′ с локальной тривиализацией, подчиненной покрытию U i , функции перехода которого задаются формулами
- ψ ′ ij ( u , f ′) = ( u , g ij ( u ) f ′) для ( u , f ′) ∈ ( U i ∩ U j ) × F ′
где G -значной функции г IJ ( у ) такое же , как те , полученных из локальной банализации исходного пучка Е .
В этом определении явно соблюдается условие коцикла для функций перехода, поскольку в каждом случае они задаются одной и той же системой G -значных функций. (Используя другую локальную тривиализацию и переходя к общему уточнению, если необходимо, преобразование g ij через ту же кограницу.) Следовательно, по теореме построения расслоения , это дает расслоение E ′ со слоем F ′, как заявлено.
Главный пучок, связанный с пучком волокон
Как и раньше, предположим , что Е является расслоением со структурной группой G . В частном случае, когда G имеет свободное и транзитивное левое действие на F ′, так что F ′ является главным однородным пространством для левого действия G на самом себе, тогда ассоциированное расслоение E ′ называется главным G- расслоением, ассоциированным с расслоение Е . Если, кроме того, новый слой F ′ отождествлен с G (так что F ′ наследует правое действие G, а также левое действие), то правое действие G на F ′ индуцирует правое действие G на E ′ . При таком выборе отождествления E ′ становится главным расслоением в обычном смысле. Обратите внимание, что, хотя не существует канонического способа указать правое действие на главном однородном пространстве для G , любые два таких действия приведут к основным расслоениям, которые имеют одно и то же базовое расслоение со структурной группой G (поскольку это происходит из левого действия группы G). G ) и изоморфны как G -пространства в том смысле, что существует G -эквивариантный изоморфизм расслоений, связывающий их.
Таким образом, основное G- расслоение, снабженное правильным действием, часто рассматривается как часть данных, определяющих расслоение волокон со структурной группой G , поскольку для расслоения волокон можно построить главное расслоение с помощью соответствующей конструкции связки. Затем, как в следующем разделе, можно пойти другим путем и получить любой пучок волокон, используя продукт волокна.
Жгут волокон, связанный с основным жгутом
Пусть π: P → X - главное G- расслоение и ρ: G → Homeo ( F ) - непрерывное левое действие группы G на пространстве F (в гладкой категории у нас должно быть гладкое действие на гладком многообразии) . Не умаляя общности, мы можем предпринять это действие, чтобы оно было эффективным.
Определите правое действие G на P × F с помощью [3] [4]
Затем определить с помощью этого действия , чтобы получить пространство E = P × ρ F = ( P × F ) / G . Обозначим класс эквивалентности ( p , f ) через [ p , f ]. Обратите внимание, что
Определим отображение проекции π ρ : E → X как π ρ ([ p , f ]) = π ( p ). Обратите внимание, что это четко определено .
Тогда л р : Е → X является расслоением со слоем F и структурной группой G . Функции перехода задаются ρ ( т IJ ) , где т IJ являются функции перехода главного расслоения P .
Сокращение структурной группы
Концепция спутника связанных пучков является уменьшением структурной группы из а-пучок . Мы спрашиваем, есть ли-пучок , такие, что связанный -бандл есть , с точностью до изоморфизма . Более конкретно, это спрашивает, являются ли данные перехода для можно последовательно записать со значениями в . Другими словами, мы просим идентифицировать изображение связанного отображения связки (которое на самом деле является функтором ).
Примеры редукции
Примеры векторных расслоений включают: введение метрики, приводящей к сокращению структурной группы от общей линейной группы GL ( n ) до ортогональной группы O ( n ); и существование комплексной структуры на вещественном расслоении, приводящей к редукции структурной группы от действительной общей линейной группы GL (2 n , R ) до комплексной полной линейной группы GL ( n , C ).
Другой важный случай - нахождение разложения векторного расслоения V ранга n в виде суммы Уитни (прямой суммы) подрасслоений ранга k и nk , в результате чего структурная группа сокращается с GL ( n , R ) до GL ( k , R ) × GL ( nk , R ).
Можно также выразить условие для определения слоения как редукции касательного расслоения к подгруппе блочных матриц, но здесь редукция является только необходимым условием, поскольку существует условие интегрируемости, так что применима теорема Фробениуса .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Все эти конструкции принадлежат Эресманну (1941-3). Приписывается Стинродом (1951), стр. 36
- ^ Эффективность - обычное требование для пучков волокон; см. Steenrod (1951). В частности, это условие необходимо обеспечить существование и единственность главного расслоениясвязанным с Е .
- ^ Husemoller, Dale (1994), стр. 45.
- ^ Шарп, RW (1997), стр. 37.
Книги
- Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-00548-6.
- Хусемоллер, Дейл (1994). Пучки волокон (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-94087-8.
- Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: Обобщение Картана программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9.