Набор спиноров

В дифференциальной геометрии , учитывая спиновую структуру на n - мерный ориентируемый риманов многообразие одной определяет расслоение спинорного быть комплексным векторным расслоением , связанное с соответствующим главным расслоением спиновых рам над и спиновым представлением его структурной группы на пространстве спиноров . ${\ displaystyle n}$ ${\displaystyle (M,g),\,}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {S} }\colon {\mathbf {S} }\to M\,}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n)\,}$ ${\displaystyle \Delta _{n}.\,}$

Участок спинорного пучка называется спинорным полем .${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$

Формальное определение [ править ]

Пусть быть спиновой структура на риманов многообразия , что есть, эквивариантный подъем ориентированных ортонормированного расслоения реперов относительно двойного покрытия из специальной ортогональной группы по спиновой группе .${\displaystyle ({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })}$ ${\displaystyle (M,g),\,}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$${\displaystyle \rho \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n)}$

Расслоение спинорная определяется ^[1] , чтобы быть комплексным векторным расслоением${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$

${\displaystyle {\mathbf {S} }={\mathbf {P} }\times _{\kappa }\Delta _{n}\,}$

связанный с спиновой структурой с помощью спинового представления , где обозначает группу из унитарных операторов , действующих на гильбертовом пространстве Стоит отметить , что спин представление является верным и унитарным представлением группы . ^[2]${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ ${\displaystyle \kappa \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,}$${\displaystyle {\mathrm {U} }({\mathbf {W} })\,}$ ${\displaystyle {\mathbf {W} }.\,}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n)}$

См. Также [ править ]

• Пучок ортонормированных кадров
• Спинор
• Спинорное представление
• Геометрия вращения
• Связка Клиффорда
• Комплект модуля Clifford

Заметки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08542-5.
• Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2055-1